费马点的证明.

2、当有一个内角大于或等于120°时

对三角形内任一点P

延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）

则△APC ≌ △AP'C'

∵∠BAC ≥ 120°

∴∠PAP' = 180°-∠BAP-∠C'AP' = 180°-∠BAP-∠CAP = 180°-∠BAC ≤ 60°

∴等腰三角形PAP'中，AP ≥ PP'

∴PA + PB + PC ≥ PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC

∴点A即费马点

3、当三个内角都小于120°时

在△ABC内做一点P，使得∠APC =∠BPC =∠CPA = 120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、P'B、P'C，过P'作P'H ⊥ EF于H

易证明∠D =∠E =∠F = 60°，即△DEF为正三角形，设边长为d，面积为S

则有2S = d(PA + PB + PC)

∵P'H ≤ P'A

所以2S△EP'F ≤ P'A ·d  ①

同理有

2S△DP'F ≤ P'B·d  ②

2S△EP'D ≤ P'C·d  ③

① + ② + ③，得

2(S△EP'F + S△DP'F + S△EP'D) ≤ P'A·d + P'B·d + P'C·d 

∴2S ≤ d(P'A + P'B + P'C)

又∵2S = d(PA + PB + PC) 

∴d(PA + PB + PC) ≤ d(P'A + P'B + P'C)

即PA + PB + PC ≤ P'A + P'B + P'C

当且仅当P与P'重合时，等号成立

∴点P即费马点