全等几何模型讲解

一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。

这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。

1.绕点型（手拉手模型）

（1）自旋转：

例题讲解：

1. 如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=，PC=4，求△ABC的边长。

2. 如图，O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？

3.如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则∠APD=     . 

4.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

模型变形：

例题讲解： 

1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.

(1) 如图1，当点D在边BC上时，求证：① BD=CF ‚ ②AC=CF+CD.

(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；  

(3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。

2.（13北京中考）

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得

到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。

2.半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

例题：

1.在等腰直角△ABCD的斜边上取两点M,N,使得,记AM=m,MN=x,BN=n，

求证以m，x，n为边长的三角形为直角三角形。

2.如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、    Q，若△APQ的周长为2，

求的度数。

3.、分别是正方形的边、上的点，且，，为

垂足，求证：．

4. 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：

AH=AB；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．

(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．

(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想．

6.(14房山2模). 边长为2的正方形的两顶点、分别在正方形EFGH的两边、上(如图1)，现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时停止旋转，旋转过程中，边交于点，边交于点.

（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当和平行时(如图2)，求正方形旋转的度数；

（3）如图3，设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.

7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC，BD为对角线，将∠BAC绕顶点A 逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC，CD于点E、点F，连接EF，EQ．

（1）在∠BAC的旋转过程中，∠AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；

（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

8．已知在中，，，于，点在直线上，，点在线段上，是的中点，直线与直线交于点.

（1）如图1，若点在线段上，请分别写出线段和之间的位置关系和数量关系：___________，___________；

（2）在（1）的条件下，当点在线段上，且时，求证：；

（3）当点在线段的延长线上时，在线段上是否存在点，使得．若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由．

备用图

9.(2014平谷一模24)

（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45°，连接EF，

则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；

（2）在△ABC中， AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．

①如图2，当∠BAC=60°，∠DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是

②如图3，当∠BAC=，(0°<<90°)，∠DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是___________．【参考：】

注意：

(1) 在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，

∠ABM=∠ADN=45°． 

把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到．

连结．则,

，．

      ∵∠EAF=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°, 

∠DAM′+∠DAF=45°, ．

∴≌． ∴=MN．

在中，,

∴    

（2）① ；  

       ② 

3.空翻模型

例题：

1.如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?

【解析】猜测.过点作交于点，，∴

又∵，

∴，而，

∴，∴．

2.如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线

交于点，与有怎样的数量关系？

【解析】猜测.在上截取，

∴，∴

∴，∴，

∴，∴．

3.【探究发现】如图１，是等边三角形，，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F．当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；

【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B,C除外）任意一点时(其它条件不变)，结论AE=EF仍然成立．

假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点Ｅ是线段BC延长线上的任意一点”；“ 点Ｅ是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明．

【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE = BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出的值．

4.弦图模型

外弦图 内弦图 总统图

例题：

1.两个全等的30°，60°三角板ADE,BAC,如右下图所示摆放，E、A、C在一条直线上，连接BD,取BD的 中点M，连接ME，MC．

（1）求证：△EDM≌△CAM；（2）求证：△EMC为等腰直角三角形．

2.如图△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC,

(1)D为AC中点，AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证：∠ADB=∠CDF

(2)若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．

3.(14朝阳二模) 

已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且∠APD=45°，求证BD=CE．

二、对称全等模型

下图依次是450、300、22.50、150及有一个角是300直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

例题：

1. 如图1，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．

参考小萍的思路，探究并解答新问题：

如图2，在△ABC中，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，AD=4．请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）

2. 问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.

请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为_______；

当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；

可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.

（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.