2021-2022学年上海中学高一(上)期中数学试卷

试题数：21，总分：100

1.（填空题，3分）不等式（a2+1）x＜3的解为 ___ ．

2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．

3.（填空题，3分）设正实数x，y满足xy=20，则x+4y的最小值为 ___ ．

4.（填空题，3分）给定正实数a，b，化简代数式  •  （  ）-1=___ ．

5.（填空题，3分）已知实数a，b满足log2a=log5b=  ，则lg（  ）=___ ．

6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m-1}．若A∩B=A．则m的取值范围是 ___ ．

7.（填空题，3分）已知集合A={（x，y）x2+y2=50，x，y是自然数}，则A的真子集共有 ___ 个．

8.（填空题，3分）设集合A=N，B={x|  ＞0，x∈R}，则A∩∁RB=___ ．

9.（填空题，3分）若不等式ax2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x2+bx+a＞0的解集为 ___ ．

10.（填空题，3分）设x＞1，若log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）=0，则log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）=___ ．

11.（填空题，3分）已知a、b、c均为正实数，则  的最大值为___ ．

12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1．

13.（单选题，4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（　　）

A.若a＞b，则a2＞b2

B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则  ＞  

C.若  ＞b，则a＞b2

D.若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2

14.（单选题，4分）已知实数a，b，则“  ＞0”是“|a|＞|b|”的（　　）条件

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则  =（　　）

A.  

B.  

C.  

D.  

16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（　　）

A.3

B.9

C.18

D.27

17.（问答题，6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．

18.（问答题，8分）解下列不等式：

（1）x2-5x+7＜|2x-5|；

（2）  +2x＜5．

19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，

（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；

（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．

20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x=3-  （k为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．

（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；

（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？

21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：

（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；

（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；

（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．

2021-2022学年上海中学高一（上）期中数学试卷

参与试题解析

试题数：21，总分：100

1.（填空题，3分）不等式（a2+1）x＜3的解为 ___ ．

【正确答案】：[1]（-∞，  ）

【解析】：根据a²+1＞0，结合不等式性质即可求解．

【解答】：解：因为a²+1＞0，

所以该不等式解为x＜  ，

故答案为：（-∞，  ）．

【点评】：本题考查不等式的求解，属于基础题．

2.（填空题，3分）用描述法表示所有十进制下个位为9的正整数 ___ ．

【正确答案】：[1]{x|x=10n-1，（n∈N*）}

【解析】：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），用描述法写入集合即可．

【解答】：解：十进制下个位为9的正整数为10n-1，（n∈N*），

用描述法表示为{x|x=10n-1，（n∈N*）}，

故答案为：{x|x=10n-1，（n∈N*）}．

【点评】：本题考查了进位制以及集合的表示方法，属于基础题．

3.（填空题，3分）设正实数x，y满足xy=20，则x+4y的最小值为 ___ ．

【正确答案】：[1]8  

【解析】：由基本不等式，即可得解．

【解答】：解：因为x＞0，y＞0，

所以x+4y≥2  =2  =8  ，当且仅当x=4y，即x=4  ，y=  时，等号成立，

所以x+4y的最小值为8  ．

故答案为：8  ．

【点评】：本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

4.（填空题，3分）给定正实数a，b，化简代数式  •  （  ）-1=___ ．

【正确答案】：[1]  

【解析】：由  =  ，  =  •  ，  ）-1=  代入化简即可．

【解答】：解：  •  （  ）-1

=  •  •   

=  •  =  ，

故答案为：  ．

【点评】：本题考查了有理数指数幂的化简，属于基础题．

5.（填空题，3分）已知实数a，b满足log2a=log5b=  ，则lg（  ）=___ ．

【正确答案】：[1]2

【解析】：先把已知的对数式化为指数式，求出a，b的值，再利用对数的运算性质求解．

【解答】：解：∵log2a=log5b=  ，

∴a=2  ，b=  ，

∴（ab）  =（2    ）  =102，

∴lg（  ）=lg102=2，

故答案为：2．

【点评】：本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．

6.（填空题，3分）设集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m-1}．若A∩B=A．则m的取值范围是 ___ ．

【正确答案】：[1][4，+∞）

【解析】：推导出A⊆B，列出方程组，能求出m的取值范围．

【解答】：解：集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|2-m≤x≤2m-1}，A∩B=A，

∴A⊆B，

∴  ，

解得m≥4．

∴m的取值范围是[4，+∞）．

故答案为：[4，+∞）．

【点评】：本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.（填空题，3分）已知集合A={（x，y）x2+y2=50，x，y是自然数}，则A的真子集共有 ___ 个．

【正确答案】：[1]7

【解析】：采用列举法，列举出A中的元素，再计算真子集个数．

【解答】：解：∵A={（x，y）|x2+y2=50，x，y是自然数}．

∴A={（1，7），（5，5），（7，1）}共3个元素．

∴A的真子集有23-1=7个．

故答案为：7．

【点评】：用列举法写出A的所有元素是解答本题的关键．属于易做题．

8.（填空题，3分）设集合A=N，B={x|  ＞0，x∈R}，则A∩∁RB=___ ．

【正确答案】：[1]{0，1，2，3}

【解析】：先解一元二次不等式求出集合B，再根据集合的基本运算即可求解．

【解答】：解：∵B={x|  ＞0，x∈R}={x|（x+2）（x-3）＞0}={x|x＞3或x＜-2}，

∴∁RB={x|-2≤x≤3}，

∵A=N，

∴A∩（∁RB）={0，1，2，3}，

故答案为：{0，1，2，3}．

【点评】：本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．

9.（填空题，3分）若不等式ax2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），则不等式-7x2+bx+a＞0的解集为 ___ ．

【正确答案】：[1]（  ，  ）

【解析】：设y=ax2+bx-7，ax2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），得到开口向下，2和7为函数与x轴交点的横坐标，利用根与系数的关系表示出a与b的关系，化简不等式-7x2+bx+a＞0即可求得答案．

【解答】：解：因为不等式ax2+bx-7＜0的解集为（-∞，2）∪（7，+∞），

所以  ，解得  ，

则不等式-7x2+bx+a＞0即为14x²-9x+1＜0，

解得  ，

故-7x2+bx+a＞0的解集为（  ，  ）．

故答案为：（  ，  ）．

【点评】：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．

10.（填空题，3分）设x＞1，若log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）=0，则log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）=___ ．

【正确答案】：[1]-  

【解析】：利用对数的运算性质求解．

【解答】：解：∵log2（log4x）+log4（log16x）+log16（log2x）=0，

∴  +  +  log2（log2x）=0，

∴  =0，

∴  •  •  =1，

∴  =4，

∵log2（log16x）+log16（log4x）+log4（log2x）=  =  =  =-  ，

故答案为：-  ．

【点评】：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．

11.（填空题，3分）已知a、b、c均为正实数，则  的最大值为___ ．

【正确答案】：[1]  

【解析】：根据基本不等式的性质，利用a2+  b2≥  ab，  b2+c2≥  bc，即可求出  的最大值．

【解答】：解：a、b、c均为正实数，则a2+  b2≥  ab，  b2+c2≥  bc，

∴  =  ≤  =  ，

当且仅当a=c=  b 时，等号成立，

∴  的最大值为  ．

故答案为： 

【点评】：本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．

12.（填空题，3分）集合A={1，2，4，…，26194}共有 ___ 个数在十进制下的最高位为1．

【正确答案】：[1]1859

【解析】：由2m的最高位为1，得到2mx（210）n的最高位也为1，构成以指数幂为10的周期性，得到前三个数最高位数字为l的数为20，24，27，结合周期性，即可求解．

【解答】：解：若2m的最高位为1，由210=1024，其中210的最高位为1，可得2m×（210）n的最高位也为1，所以构成以指数幂为10的周期性，

其中前三个数最高位数字为1的数为20，24，27，

即每个周期内有3个最高位为1的数字，

又由26190=20×210×619，26194=24×210×619的最高位为1，

所以在集合A={1，2，4…，26194}中最高位为1的共有619×3+2=1859个．

故答案为：1859．

【点评】：本题考查了进位制，周期性，属于中档题．

13.（单选题，4分）设a，b，c，d为实数，下列说法正确的是（　　）

A.若a＞b，则a2＞b2

B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则  ＞  

C.若  ＞b，则a＞b2

D.若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2

【正确答案】：D

【解析】：根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可求解．

【解答】：解：对于A，令a=1，b=-1，满足a＞b，但a2=b2，故A错误，

对于B，令a=2，b=1，c=2，d=1，满足a＞b＞0，c＞d＞0，但  ，故B错误，

对于C，令a=1，b=-1，满足  ＞b，但a=b2，故C错误，

对于D，∵a＞b＞0，

∴a-b＞0，a2＞b2，

∴a2-ab=a（a-b）＞0，ab-b2=b（a-b）＞0，

∴a2＞ab＞b2，故D正确．

故选：D．

【点评】：本题主要考查了作差法，以及特殊值法，属于基础题．

14.（单选题，4分）已知实数a，b，则“  ＞0”是“|a|＞|b|”的（　　）条件

A.充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分也不必要

【正确答案】：C

【解析】：由分式不等式转化为整式不等式，结合平方差公式和绝对值不等式，由充分必要条件的定义可得结论．

【解答】：解：已知实数a，b，不等式  ＞0等价为（a+b）（a-b）＞0，

即为a2-b2＞0，即a2＞b2，即为|a|＞|b|，

所以“  ＞0”是“|a|＞|b|”的充要条件．

故选：C．

【点评】：本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．

15.（单选题，4分）设a=log35，b=log57，则  =（　　）

A.  

B.  

C.  

D.  

【正确答案】：D

【解析】：利用对数的运算性质和换底公式求解．

【解答】：解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log37，

∴  =log1549-log1545

=2log157-log155-2log153

=  -  - 

=  -  - 

=  -  - 

=  -  - 

=  ，

故选：D．

【点评】：本题主要考查了对数的运算性质和换底公式的应用，是基础题．

16.（单选题，4分）已知实数a，b，c满足|a|+|b|+|c|+|a+b+c|=6，则a2+b2+c2的最大值为（　　）

A.3

B.9

C.18

D.27

【正确答案】：C

【解析】：利用绝对值的性质可知|a|≤3，|b|≤3，|c|≤3，然后取a，b，c=±3，不合题意，再取a=3，b=-3，c=0，符合题意，即可得解．

【解答】：解：∵6=|a|+|b|+|c|+|a+b+c|≥|（a+b+c）-a-b+c|=2|c|，

∴|c|≤3，

同理可得|a|≤3，|b|≤3，

若a，b，c=±3，显然不可能；

若a=3，b=-3，c=0，此时符合题意，则a2+b2+c2=18．

故选：C．

【点评】：本题考查代数式最值的求解，考查绝对值的性质及意义，考查运算求解能力，属于中档题．

17.（问答题，6分）若实数x，y满足集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等，求x，y的值．

【正确答案】：

【解析】：由集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等知，xy=1，此时，{0，1，x}={0，|x|，y}，由此能够求出x，y的值．

【解答】：解：由集合{x，xy，lg（xy）}与集合{0，|x|，y}相等知，lg（xy）=0，

即xy=1，

此时，{0，1，x}={0，|x|，y}．

所以   或   ，

解得x=y=1或x=y=-1．

当x=y=1时，A=B={0，1，1}，与集合元素互异性矛盾，应舍去；

当x=y=-1时，A=B={-1，0，1}，

故x=y=-1．

【点评】：本题考查集合相等的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意集合中元素互异性的合理运用．

18.（问答题，8分）解下列不等式：

（1）x2-5x+7＜|2x-5|；

（2）  +2x＜5．

【正确答案】：

【解析】：（1）结合不等式的特征，利用函数的对称性去掉绝对值符号求解不等式即可；

（2）将不等式进行变形，然后结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得不等式的解集．

【解答】：解：（1）当  时，不等式即：x2-5x+7＜2x-5，

整理可得x2-7x+12＜0，解得3＜x＜4，

令f（x）=x2-5x+7，g（x）=2x-5

注意到函数f（x），g（x）均关于直线  对称，

由函数的对称性可得当  时不等式的解集为1＜x＜2，

综上可得，不等式的解集为（1，2）⋃（3，4）．

（2）不等式即  ，不等式有解时，x≥1，

注意到函数  单调递增，函数g（x）=-2x+5单调递减，

且f（2）=g（2）=1，

结合函数的定义域可得不等式  的解集为{x|1≤x＜2}．

【点评】：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，对称性的应用，函数单调性的应用等知识，属于中等题．

19.（问答题，10分）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，

（1）求xy的最大值，并求取得最大值时x，y的值；

（2）求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．

【正确答案】：

【解析】：（1）由已知得4-xy=2x+y，然后结合基本不等式即可求解；

（2）由已知先用y表示x，然后代入后结合基本不等式可求．

【解答】：解：（1）因为xy+2x+y=4，

所以4-xy=2x+y  ，

当且仅当2x=y时取等号，

解得    ，

故xy的最大值8-4  ，此时x=  ，y=2  -2；

（2）因为xy+2x+y=4，

所以x=  =-1+  ，

所以x+y=-1+  +y=-3+  +y+2  =-3+2  ，

当且仅当y+2=  ，即y=  -2，x=  -1时取等号，x+y的最小值-3+2  ．

【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的配凑基本不等式的应用条件．

20.（问答题，10分）某厂家在“双11”中拟举办促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式x=3-  （k为常数），如果不搞促销活动；则该产品的年销售量是1万件．已知生产该产品的固定年投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的售价定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本只包括固定投入和再投入两部分资金）．

（1）求k的值，并将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；

（2）该厂家年利润的最大值为多少万元？为此需要投入多少万元的年促销费用？

【正确答案】：

【解析】：（1）当m=0时，x=1，求出k的值，从而得到x，然后利用每件产品的销售价格为1.5×  元，列出y的函数关系式即可；

（2）利用基本不等式求解最值，即可得到答案．

【解答】：解：（1）由题意可知，当m=0时，x=1，

则1=3-k，解得k=2，

所以x=3-  ，

因为每件产品的销售价格为1.5×  元，

∴利润函数y=x[1.5×  ]-（8+16x+m）

=4+8x-m=4+8（3-  ）-m

=-[  +（m+1）]+29（m≥0）．

（2）因为利润函数y=-[  +（m+1）]+29（m≥0），

所以，当m≥0时，  +（m+1）≥2  =8，

∴y≤-8+29=21，当且仅当  =m+1，即m=3（万元）时，ymax=21（万元）．

所以，该厂家促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．

【点评】：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

21.（问答题，14分）已知实数a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）=bx2+cx+d，g（x）=ax3+bx2+cx+d．记方程f（x）=0的解集为A，方程g（f（x））=0的解集为B，若满足A=B≠∅，则称f（x），g（x）为一对“太极函数”．问：

（1）当a=c=d=1，b=0时，验证f（x），g（x）是否为一对“太极函数”；

（2）若f（x），g（x）为一对，“太极函数”，求d的值；

（3）已知f（x），g（x）为一对“太极函数”，若a=1，c＞0，方程f（x）=0存在正根m，求c的取值范围（用含有m的代数式表示）．

【正确答案】：

【解析】：（1）根据新定义检验即可；

（2）利用新定义计算求解可得d的值；

（3）设  ，由新定义得关于t的方程  无实根，记  ，由二次函数性质求得t的范围，由h（t）min＞0可得c的范围．

【解答】：解：（1）若f（x），g（x）是否为一对“太极函救”，由f（x）=x+1=0，得x=-1，

所以g（f（-1））=g（0）=1，x=-1不是g（f（x））的零点，

所以f（x），g（x）不是一对太极函救；

（2）设r为方程的一个根，即f（r）=0，由题设g（f（r））=0，

所以g（0）=g（f（r））=d=0；

（3）因为d=0，由a=1，f（m）=0得  ，

所以  ，  ，

由f（x）=0得x=0或m，易得g（f（x））=0，

据题意，g（f（x））的零点均为f（x）的零点，

故  无实数根，

设  ，则  无实根，

记  ，

c＞0时，  ，  ，

  ，即  时，  ，解得  ，

  ，即  时，  ，0＜c＜4m2，

综上，  时，  ，  时，c∈（0，4m2）．

【点评】：本题主要考查新定义的理解与应用，函数的最值的求解，分类讨论的数学思想，二次函数的最值等知识，属于中等题．