专题四、函数的对称性与周期性

一 、函数的对称性

（Ⅰ）函数图象的自对称（同一个函数对称性问题）

所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身.

关于函数图象的自对称,有下列性质:

偶函数关于y轴（即x=0）对称，偶函数有关系式

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

那上述关系式是否可以进行拓展？

探讨：（1）函数关于对称（类比偶函数看结构特征）

也可以写成或

简证：设点在上，通过可知，，所以上，而点与点关于x=a对称。得证。

▲ 一般形式：，函数关于直线对称

（总结特征）；（注：特别地，当a=b=0时，该函数为偶函数。）

（2）函数关于点对称（类比奇函数看结构特征）

或

简证：设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。

▲一般形式：，函数关于点对称。（总结特征）

（注：特别地，当a=b=c=0时，函数为奇函数。）

（3）那是否有函数关于点对称呢？（不可能有）

假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于对称，比如圆它会关于y=0对称。

（Ⅱ）函数图象的互对称(即两个函数的图象对称性)

   所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。

关于函数图象的互对称,有下列性质:

1、函数与函数的图象关于直线       对称。

2、函数与函数的图象关于直线       对称。

3、函数与函数的图象关于点       对称。（类似（Ⅰ）中易得出结果）

二、对称性和周期性之间的联系

周期性与对称性是相互联系、紧密相关的。

①若（x）的图象有两条对称轴x=a 和x=b(a≠b)，则（x）必为周期函数，其一个周期是对称轴之间距离的两倍，即2|b-a|；

证明：∵得

得

∴

∴    ∴函数是周期函数，且是一个周期。

②若（x）的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，则（x）必为周期函数，其一个周期是2|b-a|；

证明：类似

③若（x）的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则（x）必为周期函数，其一个周期是4|b-a|；

证明：类似

▲∴若函数的图象同时具备两种对称性，即两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。

例1、①(2006年山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 (B)

(A)－1           (B) 0             (C)   1                 (D)2

【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性。

解析：由

由是定义在R上的奇函数得，∴，故选择B。

②（《38套》第16套 题12）设定义在R上的函数满足，若，则____________。

③是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，且当时，，则当时， =                。

④（《38套》第24套 题8）已知定义在R上的函数的图像关于点对称，且满足，，则_______________。

小结：关于函数的周期性的结论：

①对于非零常数A，若函数满足，则函数必有一个周期为2A。

证明： ∴函数的一个周期为2A。

（方法：多次迭代，一通到底）

思考：若将关系式改为或或（或等式右边加负号）呢？结果如何？（没变），推导方法也一样。【小结结构特征、推导方法、相应结论】

▲区别：若（x+a）=（x+b）或（x+T）=（x），则（x）具有周期性；

若（a+x）=（b-x），则（x）具有对称性；“内同表示周期性，内反表示对称性”；

例2、数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)   ①求a100；   ②求S100.

解：由已知a1＝a，a2＝b，

所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……

由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，

于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a

又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0

    S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100＝0＋a97＋a98＋a99＋a100

       ＝a1＋a2＋a3＋a4 ＝a＋b＋(b－a)＋(－a)＝2b－a

例3、（05广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间

［0，7］上，只有．

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．

解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,

从而知函数不是奇函数,

由

,从而知函数的周期为

又,故函数是非奇非偶函数;

(II)由

(II) 又

故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.

练习

1、（2006年安徽卷理）函数对于任意实数满足条件，若则__________。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。

解析：由得，所以，则。

2、（1996全国，15）设是上的奇函数，，当0≤x≤1时，，则f（7.5）等于（ B   ）    A.0.5         B.－0.5            C.1.5         D.－1.5

3、（《38套》第5套 题7）已知定义在R上的奇函数的图像关于直线对称，，则_______________。

4、（2005天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=______________.

解析：得，假设，因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：，

从而：。

5、（2005福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间

（0，6）内解的个数的最小值是 （  B  ）     A．5    B．4    C．3      D．2

解析：由的周期性知，，即至少有根1，2，4，5。

6、已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：   等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式

解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：　，　即：，即上式对一切均成立，从而判别式 

7、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)，若f(0)＝2004，求f(2004)

解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)  所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2) 两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)

即：f(x＋3)＝－f(x)   ∴  f(x＋6)＝f(x)     f(x)是以6为周期的周期函数   

 2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004

8、已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0

⑴求证：f(x)是偶函数；

⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0)

⑴证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)

又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)   所以，f(x)为偶函数

⑵令a＝x＋m，b＝m 得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0

所以f(x＋2m)＝－f(x)于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m] ＝－f(x＋2m) ＝f(x)   即T＝4m(周期函数)