高中数学空间向量运算的坐标表示专项练习

1．下列向量中与向量a＝(0,1,0)平行的向量是(　　)

A．b＝(1,0,0)    B．c＝(0，－1,0)

C．d＝(－1，－1,1)    D．e＝(0,0，－1)

2．已知向量a＝(1,0,1)，b＝(2,0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于(　　)

A．1    B．

C．    D．

3．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两点A(1,2,2)，B(2，－2,1)，则|AB|＝(　　)

A．18    B．12

C．3    D．2

4．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为____．

5．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1,1，－4)．

(1)计算2a－3b和|2a－3b|．

(2)求〈a，b〉．

A组·素养自测

一、选择题

1．已知向量a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，则|a－b|等于(　　)

A．1    B．

C．3    D．9

2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　)

A．x＝，y＝1    B．x＝，y＝－4

C．x＝2，y＝－    D．x＝1，y＝－1

3．(2020·福建省南平市高二期末)在空间中，已知＝(1，－1,0)，＝(－1,0,1)，则异面直线AB与DC所成角的大小为(　　)

A．30°    B．60°

C．120°    D．150°

4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形    B．等边三角形

C．直角三角形    D．等腰直角三角形

5．(多选题)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，a⊥b，则x＋y的值是(　CD　)

A．3    B．－1

C．－3    D．1

二、填空题

6．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝____．

7．若向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)＝____．

8．已知a＝(1，－2,1)，b＝(3,0,5)，c＝(0,0，λ)，若a·(b－c)＝0，则λ＝___．

三、解答题

9．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数x，使与＋λ垂直？

10．已知a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

B组·素养提升

一、选择题

1．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)

A．(－1,1,0)    B．(1，－1,0)

C．(0，－1,1)    D．(－1,0,1)

2．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)

A．30°    B．60°

C．120°    D．150°

3．(2020·山东东营高二检测)已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(　　)

A．    B．

C．    D．

4．(多选题)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的平方可以取的值为(　　)

A．    B．

C．    D．1

二、填空题

5．(2021·河南安阳高二检测)已知a＝(2,3，－1)，b＝(－2，1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为　____．

6．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则向量a－b与a的夹角为____；若ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是____．

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝____，EF＝____．

三、解答题

8．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,2)．

(1)若∥，∥，求点D的坐标；

(2)问是否存在实数α、β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．

答案

1．下列向量中与向量a＝(0,1,0)平行的向量是(　B　)

A．b＝(1,0,0)    B．c＝(0，－1,0)

C．d＝(－1，－1,1)    D．e＝(0,0，－1)

[解析]　比较选项中各向量，观察哪个向量符合λa＝(0，λ，0)的形式，经过观察，只有c＝－a．

2．已知向量a＝(1,0,1)，b＝(2,0，－2)，若(ka＋b)·(a＋kb)＝2，则k的值等于(　D　)

A．1    B．

C．    D．

[解析]　由已知得|a|＝，|b|＝2，a·b＝0，

所以由(ka＋b)·(a＋kb)＝2可得k|a|2＋k|b|2＋(k2＋1)a·b＝2，即2k＋8k＝2，解得k＝．

3．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两点A(1,2,2)，B(2，－2,1)，则|AB|＝(　C　)

A．18    B．12

C．3    D．2

[解析]　根据空间中两点间距离，得|AB|＝

＝3．故选C．

4．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为____．

[解析]　设H(x，y，z)，则＝(x，y，z)，＝(x，y－1，z－1)，＝(－1,1,0)．

因为BH⊥OA，所以·＝0，即－x＋y－1＝0　①

又点H在直线OA上，

所以＝λ，即　②

联立①②解得

所以点H的坐标为．

5．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1,1，－4)．

(1)计算2a－3b和|2a－3b|．

(2)求〈a，b〉．

[解析]　(1)2a－3b＝2(2，－1，－2)－3(1,1，－4)＝(4，－2，－4)－(3,3，－12)＝(1，－5,8)．

|2a－3b|＝＝3．

(2)cos〈a，b〉＝＝＝，

又〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝．

A组·素养自测

一、选择题

1．已知向量a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，则|a－b|等于(　B　)

A．1    B．

C．3    D．9

[解析]　∵a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，

∴a－b＝(1,1,1)，

∴|a－b|＝＝．

2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　B　)

A．x＝，y＝1    B．x＝，y＝－4

C．x＝2，y＝－    D．x＝1，y＝－1

[解析]　a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，

2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，

∵(a＋2b)∥(2a－b)，

∴∴

3．(2020·福建省南平市高二期末)在空间中，已知＝(1，－1,0)，＝(－1,0,1)，则异面直线AB与DC所成角的大小为(　B　)

A．30°    B．60°

C．120°    D．150°

[解析]　cos〈，〉＝＝＝，所以AB与DC的夹角为60°，故选B．

4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　C　)

A．等腰三角形    B．等边三角形

C．直角三角形    D．等腰直角三角形

[解析]　＝(3,4，－8)、＝(5,1，－7)、＝(2，－3，1)，

∴||＝＝，

||＝＝，

||＝＝，

∴||2＋||2＝75＋14＝＝||2．

∴△ABC为直角三角形．

5．(多选题)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，a⊥b，则x＋y的值是(　CD　)

A．3    B．－1

C．－3    D．1

[解析]　∵|a|＝6，∴|a|2＝36，

∴4＋16＋x2＝36，∴x2＝16，x＝±4．

又∵a⊥b，∴a·b＝4＋4y＋2x＝0，

∴x＋2y＋2＝0．

当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，

∴x＋y＝1或－3．故选CD．

二、填空题

6．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝__－__．

[解析]　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，

∴cos 120°＝，

∴k＝－．

7．若向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)＝__3__．

[解析]　∵b＋c＝(2,0,3)＋(0,2,2)＝(2,2,5)，

∴a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝4－6＋5＝3．

8．已知a＝(1，－2,1)，b＝(3,0,5)，c＝(0,0，λ)，若a·(b－c)＝0，则λ＝__8__．

[解析]　b－c＝(3,0,5－λ)，因为a·(b－c)＝0，则3＋5－λ＝0，所以λ＝8．

三、解答题

9．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，是否存在实数x，使与＋λ垂直？

[解析]　＝(6，－5,5)，＝(1，－3,6)，

＋λ＝(6＋λ，－5－3λ，5＋6λ)，

∵⊥(＋λ)

∴6(6＋λ)－5(－5－3λ)＋5(5＋6λ)＝0，

∴λ＝－，∴存在实数λ＝－，

使与＋λ垂直．

10．已知a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

[解析]　∵a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，

又∵a与b的夹角为钝角，

∴a·b＜0，即3t－＜0，

∴t＜．

若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，

即(5,3,1)＝λ．

故即t＝－．

故t的取值范围是∪．

B组·素养提升

一、选择题

1．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　B　)

A．(－1,1,0)    B．(1，－1,0)

C．(0，－1,1)    D．(－1,0,1)

[解析]　设b1＝(－1,1,0)，b2＝(1，－1,0)，b3＝(0，－1,1)，b4＝(－1,0,1)．

因为cos〈a，b1〉＝＝＝－，所以〈a，b1〉＝120°；

因为cos〈a，b2〉＝＝＝，所以〈a，b2〉＝60°；

因为cos〈a，b3〉＝＝＝－，所以〈a，b3〉＝120°；

因为cos〈a，b4〉＝＝＝－1，所以〈a，b4〉＝180°．

2．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　C　)

A．30°    B．60°

C．120°    D．150°

[解析]　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，

故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，

而|a|＝＝，

所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°．

3．(2020·山东东营高二检测)已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(　C　)

A．    B．

C．    D．

[解析]　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，

所以|b－a|＝

＝．

所以当t＝时，|b－a|min＝．

4．(多选题)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的平方可以取的值为(　BC　)

A．    B．

C．    D．1

[解析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E，G，F(x,0,0)，D(0，y,0)，且0＜x＜1，0＜y＜1．

∴＝，＝，

∵GD⊥EF，∴x＋2y－1＝0，

∴x＝1－2y，由0＜x＜1得，0＜y＜；

|DF|＝＝＝

＝，

∵0＜y＜，∴当y＝时，线段DF长度的最小值是，

又y＝0时，线段DF长度的最大值是1，

而D点不在AC的端点，故y≠0，∴|DF|＜1；

故线段DF的长度的取值范围是：．

即线段DF长度的平方的取值范围为，故选BC．

二、填空题

5．(2021·河南安阳高二检测)已知a＝(2,3，－1)，b＝(－2，1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为　__6__．

[解析]　a·b＝(2,3，－1)·(－2,1,3)＝－4＋3－3＝－4，

|a|＝，|b|＝，

所以cos〈a，b〉＝＝－．

所以sin〈a，b〉＝．

所以平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝××＝6．

6．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则向量a－b与a的夹角为____；若ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是____．

[解析]　因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则a－b＝(2,1，－2)，

所以cos〈a－b，a〉＝＝＝，

又因为向量夹角的取值范围是[0，π]，所以〈a－b，a〉＝；

因为ka＋b和2a－b垂直，

则有(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2ka2＋(2－k)a·b－b2＝0，

所以有2k×2＋(2－k)(－1＋0＋0)－5＝0，解得k＝．

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝____，EF＝____．

[解析]　以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则E，F，∴＝，＝，＝，

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴cos∠EAF＝，EF＝||＝．

三、解答题

8．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,2)．

(1)若∥，∥，求点D的坐标；

(2)问是否存在实数α、β，使得＝α＋β成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．

[解析]　(1)设D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)．

因为∥，∥，

所以，

解得，即D(－1,1,2)．

(2)依题意＝(－1,1,0)、＝(－1,0,2)、＝(0，－1，2)，

假设存在实数α、β，使得＝α＋β成立，则有(－1,0，2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，

所以，故存在α＝β＝1，使得＝α＋β成立．

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．

[解析]　如图所示，以点D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，

由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，

因为3＝，

所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，

所以3a－3＝－a，解得a＝，

所以点P的坐标为．

由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，

因为PQ⊥AE，所以·＝0，

所以·＝0，

即－－＝0，解得b＝，

所以点Q的坐标为，

因为＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，

所以＝－1，故λ＝－4．