《有余数的除法》

       ——《有余数的除法》的教学思考与实践

一、教材分析

     1、教材地位分析

“有余数的除法”是“表内除法”知识的延伸和扩展，是以“表内除法”知识作为基础进行学习的。与表内除法相比，它的内涵有了新的补充，即除法竖式和余数意义的理解。同时，“有余数的除法”是今后学习多位数除以一位数的重要基础，这部分的知识具有承上启下的作用。本单元的重点是学习余数的意义和有余数除法的横式与竖式的写法，为日后学习计算多位数除以一位数的除法打下基础。

2、修订前后教材对比分析

“有余数的除法”原是人教版实验教材三年级上册的教学内容，2011修订版新课程标准实施后调整为二年级下册。

实验版的教材内容安排如下：      

表内除法竖式的含义   例1

               意义和计算      有余数的除法竖式及余数的含义  例2

有余数的除法                      

                                余数和除数的关系    例3

                  解决问题    例4

实验版的教材编排存在着一定的缺陷，余数的意义和除法竖式之间有断裂层面。在引出余数后，学生最初是依靠实物操作、画图、乘法的方法来获取余数的，还未涉及余数的本质理解，处于初级层次。只经过一个例子，学生的体验是不丰富的，马上教学显得太匆忙，人为地制造学习难点。而从实物操作抽象到除法竖式，需要经历一个数学化的过程。

 2011修订版的教材内容安排如下：

                            表内除法与有余数的除法的含义  例1

                             余数和除法的关系   例2

              含义和计算

有余数的除法                    有余数的除法竖式和表内除法的竖式 例3

                              试商    例4

解决问题    例5、例6

2011修订版的教材摒弃了原来的缺陷，将“余数和余数的含义”这一内容放置于“有余数除法竖式和表内除法竖式”之前。这样的安排不仅注意了“是什么”，也注意了“为什么”，有利于学生对有余数除法的意义的理解。

修订前后的教材都是在学生学习了“表内除法”后学习有余数的法的，但不同的是，修订后是在学生刚学习完“表内除法”不久之后进行教学的，与“表内除法”的学习安排在同一册，并且以除法为基础，通过“平均分是否有余”、“有余数除法和表内除法的横式、竖式”等对比加以编排。这些对比，不仅可以唤起学生已有的知识经验，加深学生对有余数的除法的理解，还可以学生感受到知识之间的联系，为建构合理的知识结构网络提供支撑点。

二、教学中出现的问题以及成因分析

修订后的教材已经考虑到“有余数的除法”在整个小学教材体系中的地位、内容承载的知识与其他知识的本质联系以及学生学习这部分内容的知识储备，但是由于目前仍有一些教师对教材理解不够，挖掘不透彻，没有真正理解教材的编写意图，导致课堂教学中仍出现不少的问题。

典型问题呈现1：□÷7=4……□，余数最大是（   ），这时被除数是（   ）。

此题笔者对抽取的24名学生进行测试，有8人出错，错误率高达33.3%。主要错误类型有：

A、

B、

C、

典型问题呈现2：在算式□÷6=★……★中，余数和除数都是相同的数，你能写出几个这样的算式？

24名学生中有5人出错，错误率20.8%。主要错误为多写，或者只会写一两个。

以上两类错题，都是因为学生不理解余数的含义，没有从本质上认识余数，不明白为什么余数要比除数小，也就不会运用了。另外，对于被除数、除数、商以及余数之间的联系也是不清楚的，出现余数会填了，却用除数、商和余数相加的方法算被除数了。

分析原因，这与教师在课堂教学中没有让学生充分经历探究活动，积累活动经验，理解知识的本质联系有关。2011版新课程标准指出：数学活动经验的积累是提高数学素养的重要标志，数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀。教师设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是学生积累数学活动经验的重要途径。在本单元中，要使学生理解余数的含义，理解除法竖式的意义，必须让学生经历平均分物体的活动，在活动中通过操作、思维和语言的有机结合，逐步感知、理解有余数的除法的意义。

三、解决策略与教学思考

1、创设生活情境，感受数学与生活的联系

除法运算体现的是生活中的平均分，无论是有余数的除法还是表内除法，都是和生活中的平均分物体有关系。所以在本单元的课堂教学中，教师要创设具体生活意义的情境，激发学生的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，同时调动学生的生活经验，以助本课新知的学习。

2、开展形象的数学基本活动，积累活动经验

数学是抽象性、逻辑性很强的学科，除法运算以及除法的竖式都是“纯数学”的知识，抽象难以理解，而小学低年级学生的思维正处于以形象思维为主的阶段。所以，本单元教学必须在数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间是架起一座桥梁，这座桥梁就是以平均分物体为主的数学基本活动。这样的活动调动学生的手、口、脑，在行为操作的基础上，引导学生冷静思考、交流和发现新知。

3、引导学生比较、沟通相关知识的本质联系，建构系统的知识结构网络

有余数的除法是在学习完表内除法的基础上学习的，它的除法竖式其实是在记录平均分物体的过程。在这过程中，有“平均分”，有用“乘法”检验分了多少，也有用“减法”求剩余物体，还有用“乘加”检验是否分完等相关知识。如果教师在本单元教学中通过引导学生探索、思考，将这些知识融合在一起，那么学生就能感悟到有余数的除法实际就是运用之前学过的加减法、表内乘除法等知识记录平均分物体的过程。学生也就能比较有效地理解算理和掌握算法了，就不会出现以上所说的问题。

四、教学设计与设计意图

（1）小组开始活动，教师巡回指导，选择其中一

至两组参与探究活动。

（2）选取其中一组进行反馈

（1）反馈前面探究活动中的问题

师：仔细观察算式，你能发现什么？

生：我发现了被除数每次都多1。

生：我发现了除数都是5。

生：我发现了前面商都是2，最后一个商是3。前面的余数除了第1个和最后1个，以是每次都多1的。

   ……

（2）探究余数与除数的关系

师：小朋友们的观察得都很仔细，也能发现这么多有趣的数学现象。现在请你仔细地观察余数的除数，你又能发现什么？

生：我们发现了余数都是1、2、3、4，有两个没有余数。

师：没有余数，也就是刚好摆完没有剩余，那么我们也可以说是余几？（余0）余数是0的时候，我们一般不写出来，而是写成一般的除法算式。

生：我发现了除数都比余数大，余数都比除数小。

师：你真了不起！ 居然有了这么伟大的发现，那是不是真这样呢？我们一起来验证一下吧。

（3）对比发现

师：刚才同学说余数都比除数小，这里的除数是几？余数是1、2、3，4那么余数可以是5吗？可以是6吗？为什么？

生：不可以是5，如果是5，就又可以抱成一组了。6也不可以，6也可以再5个人抱成一组。

师：是啊，如果余数等于5，或者大于5，就可以继续分，继续抱成组了。而余数是平均分之后剩下不能再分的数量。

    教师板书：余数＜除数

3、在猜一猜的游戏中巩固余数小于除数                

师：如果我们要6人抱成一组呢，你觉得可能会剩余几人呢？你是怎么想的？

生：我觉得可能会剩余1个，因为余下1个不能抱成组了。

生：我觉得会余下两个，因为余下2个不能抱成组。

……

     生：我觉得余1至5个都有可能，因为一组需要6个人，只要比6小都可以。

师：如果用7个人？会有可能剩余几人？为什么？

三、巩固练习

1、（1）9支铅笔，每人分2支，可以分给（   ）人，还剩（   ）支。

9÷2=（    ）（人）……（   ）（支）

（2）9支铅笔，平均分给4人。分一分，把分的结果画

出来。

每人分（   ）支，还剩（   ）支。

9÷4=（   ）（支）……（   ）（支）

师：这里的商和余数分别表示什么？为什么有的单位一样，有的不一样？

2、有21个面包，选一种装法圈一圈，填一填。

3、拓展练习

□÷□=□……6，在这道除法算式中，除数最小应是（     ）。

师：你能说说这道题是什么意思？□里填几？为什么？