三次样条插值函数在化工工艺计算中的应用

三次样条插值函数在化工工艺

计算中的应用

霍 健

唐介汾 黄丽珍 和享太 太原化工厂 太原 030021

摘要 探讨三次样条插值函数在化工工艺设计计算中的应用,并提出应注意的问题。关键词 MathCAD7.0 三次样条插值函数 化工工艺计算

1 概述

插值函数方法的基本思想是构造某个函数,作为原函数的近似表达式,通过计算这个近似表达式的值得到研究对象的近似值。目前,常用的插值方法有拉格朗日插值、埃特金插值、爱尔米特插值。上述插值方法虽然能保证插值曲线各个分段是互相衔接的,但在节点处不能保证曲线的光滑性。而样条插值法在上述插值方法的基础上大大提高了总体的光滑度,更加接近原函数。因此,近年来样条插值函数的应用日益广泛[1]。

三次样条插值函数基本原理是在每个分段构造一个三次多项式S(t),对于数据点X(i),Y (i),(i=0,1,2, ,n)定义插值函数,满足下列条件[2]:

(1)在所有节点上函数值满足 S(t i)=Y i i=1,2, ,n;

(2)在内节点i=1,2, ,n-1 上有直到二阶导数的连续性。即S(t i),S(t i),S!(t i)连续;

(3)已知端点的二阶导数。

可以看出,以上问题有唯一解。三次多项式有4个待定系数,N个子区间共有4∀N个待定系数。而三个条件结合起来的条件数:

(n+1)+3#(n-1)+2=4#n

实际应用中,端点的二阶导数较难计算。为了便于计算MathCAD7.0,将端点的二阶导数进行了必要的处理:∃端点的二阶导数为零;%端点的二阶导数与紧近邻的二阶导数相等;&端点的二阶导数是近邻与次近邻二阶导数的线性外插。笔者曾对本文4个例子不同边界条件时绘制曲线,除个别情况下端点与紧近邻点区间曲线略有差异(最大偏差<0.1),其它区间完全吻合。本文取端点的二阶导数为零,总体上不会影响计算的精度。

MathCAD7.0是一个数学软件,提供了丰富的函数库,并涵盖从普通数学、高等数学、概率和线性分析等领域。MathCAD7.0的插值方法包括拉格朗日插值、样条插值等。其中三次样条插值函数可用M++语言编写。

w(t):=C∋C

x∋C(0)

y∋C(1)

n∋rows(C)-1

vsl∋lspline(x,y)

p∋interp(vsl,x,y,

t)

p

将矩阵C赋值予C

第0列用矢量X表示

第1列用矢量Y表示

矢量vs l返回节点的二级导数

返回样条函数值

2 应用

2 1 计算物料的性质

在化工工艺设计计算中(换热器设计、固定床反应器设计),物料的性质(如密度、蒸汽压、粘度、表面张力等)随温度、压力而变化。通常先查表,然后采用内插法求出数值,但准确度不高,又不适用于计算机计算。如用数学表达式计算,又需构造函数,往往费时、难度也大。然而,采用样条插值函数,问题就简单多了。

2 1 1 环己酮饱和蒸汽压的计算

绝大多数有机物饱和蒸汽压都能按半经验公式安托尼方程计算,但环己酮的饱和蒸汽压比较特殊,在较宽温度范围内很难拟合成安托尼方程。为此,我们调用样条插值函数求取。根据有关资料[3],查出环己酮饱和蒸汽压P(kPa)与温度t (∗)的关系。用矩阵C表示(为了方便取转置,

7

2000,10(4) 霍 健等 三次样条插值函数在化工工艺计算中的应用 霍 健:工程师,1985年毕业于太原理工大学高分子工艺合成专业。主要从事技术工作。联系电话:(0351)6073739。

下同)。

C :=

1.4

26.4

38.7

52.5

67.8

77.5

90.4

110.3132.5155.6

0.1330.666

1.333

2.6665.333

8

13.3326.6653.33101.3

T t P

调用样条插值函数子程序,绘制曲线图见图1。

图1 环己酮的饱和蒸汽压与温度关系图

如计算t =103∗下环己酮的饱和蒸汽压,由p =p(t),得p =20.948。2 1 2 液体苯密度的计算

液体物质密度与温度关系的数学表达式,有关手册及资料均未介绍。大体说随着温度升高,密度逐渐降低。根据+石油化工基础数据手册,[4]

查出苯密度 (kg /m 3)与温度t(∗)的关系如下。

C :=

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

887.3877.4

867.5857.3847836.6825.7815.0803.9792.5

T t

调用样条插值函数子程序,绘制曲线图见图2。

图2 液体苯的密度与温度关系图

有关计算某一点温度下密度的值与前例相同,在此不再赘述。

2 2 关联图

化工工艺设计计算中,经常要查一些关联图,使用起来很不方便。为此,选取若干关键节点生成样条插值函数。这样不需要复杂数学推理运算就生成接近原函数的插值函数,便于在计算机中运算。2 2 1 吉利兰关联图

在精馏塔塔板数的计算中,经常需要查吉利兰

关联图[5]。为此,我们选取若干数据,生成矩阵C 。

RG =

R -RM

R +1其中R 、RM 为实际回流比及理论最小回流比。

SG =

S -SM S +1

其中S 、SM 为理论塔板数及最小理论塔板数。

C:=

0.010.020.040.10.2

0.4

0.6

1

0.680.65

0.6

0.53

0.450.320.20.018

T

RG

SG

调用样条插值函数子程序,绘制曲线图见图3。

图3 吉利兰关联图

由此,对于精馏塔塔板的计算,不必再查吉利兰关联图而直接调用样条插值函数子程序即可计算。2 2 2 NaOH 水溶液粘度的计算

NaOH 水溶液粘度是温度与其质量分数的函数。一般先固定温度研究粘度与质量分数的关系,绘制成图。我们从NaOH 水溶液粘度图[6]

,选取若干数据生成矩阵C 。

C:=

010*********

1.74.3

13

32650.8

1.4

3.38.820370.470.811.63.3

6

9.10.280.46

0.81.32.1

3

T

NaO H 水溶液质量分数20∗N aO H 水溶液的粘度30∗N aO H 水溶液的粘度60∗N aO H 水溶液的粘度100∗NaO H 水溶液的粘度

调用样条插值函数子程序,绘制曲线图见图4。

图4 NaO H 水溶液粘度曲线图

∃、%为20∗、30∗下NaOH 水溶液粘度曲线&、−为60∗、100∗下NaOH 水溶液粘度曲线

8 CHEMIC AL E NGINEERING DESIGN 化工设计2000,10(4)

如计算温度t =30∗,质量分数w =24.5%时的粘度,则调用t =30∗的样条插值函数计算

0:= (24.5,2)=5.191

如计算温度t =23.6∗、质量分数w =24 5%时的粘度,则采用内插法,将t =20∗和t =30∗、NaOH 质量分数w =24.5%时的粘度分成10等分,然后计算t =23.6∗时的粘度。

t:=23.6 w:=24.5

1:= (w,1)- (w,1)- (w,2)

10(t -20)=6.508其中 (w,1)、 (w,2)为NaO H 质量分数w =24.5%、温度为t =20∗和t =30∗时的粘度。本文为了说明样条插值函数的应用,只选取4组数据,实际应用中可以选用全部数据,生成6∀10矩阵。

3 结语

由于样条插值函数在各个分段的衔接处能保持一定程度的光滑性,在现代工业生产和科学实验中得到了广泛应用。本文只对三次样条插值函数在化工工艺设计计算的应用,作一肤浅的介绍。为了说明问题绘制一些图形,实际应用中完全没有必要绘制图形,只需调用样条插值函数子程序便可。但使用此法时,应注意以下问题:

(1)三次样条插值函数只在插值范围内有效,任何企图外推数值都会使数值失真。

(2)三次样条插值函数的构造关键在节点的选择。节点的选择好坏直接关系到与原函数的接近程度。一般节点取极值点、拐点或端点。

(3)构造三次样条插值函数不需考虑原函数的具体数学表达式,这样可使问题简化。

(4)原函数出现不连续断点的情况下,可以考虑分段进行样条插值。

(5)边界条件不同时,三次样条插值曲线有时出现端点与紧邻点区间曲线较大差异,这时,在端点与紧近邻区间增加一个节点可大大改善曲线的吻合程度。

参

考

文

献

1 王林,张小卫.微型计算机算法与程序.上海科学技术

文献出版社,1985

2 纪哲锐.Ma thCAD PLU S 6.0快速入门及应用.清华大

学出版社,1998

3 +己内酰胺生产及应用,编写组.己内酰胺生产及应

用.烃加工出版社,1988

4 卢焕章等.石油化工基础数据手册.化学工业出版社

5 上海化工学院,天津大学,浙江大学.化学工程.第二

册.化学工业出版社,1981

6 上海医药设计院.化工工艺设计手册.化学工业出版

社,1986

(修改回稿 2000-05-06)建设部文件

建标[2000]46号

关于发布国家标准+消防通信指挥系统设计规范,的通知

各有关部门,各省、自治区、直辖市建委(建设厅)、有关省计委,计划单列市建委,生产建设兵团:

根据我部+关于印发一九九七年工程建设国家标准制订、修订计划的通知,(建标[1997]108号)的要求,由会同有关部门共同制订的+消防通信指挥系统设计规范,,经有关部门会审,批准为强制性国家标准,编号为GB 50313-2000,自2000年8月1日起施行。

本规范由负责管理,沈阳消防科学研究所负责具体解释工作,建设部标准定额研究所组织中国计划出版社出版发行。

中华人民共和国建设部二000年二月二十二日

92000,10(4) 霍 健等 三次样条插值函数在化工工艺计算中的应用

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2000,10(4) AB STRAC TS OF C HE MICAL ENGINEERING DESIGN