圆周角的优秀教案

⑴ 了解圆周角与圆心角之间的关系，理解圆周角的概念，掌握圆周角定理，能熟练运用圆周角定理进行有关证明和计算；

⑵ 经历观察、实验、比较、猜想、证明等探索圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论的数学思想方法以及从特殊到一般的认识规律；

⑶ 在合作交流活动中，享受自主探究发现知识的乐趣，在几何图形的运动变化中，感受变化美、动态美，培养学生勇于探索和勤于思考的精神。

2．教学过程的设计

⑴创设情境，导入新课

我首先从学生已掌握的旧知识出发，提出问题：什么叫圆心角？图1中∠AOB的特点是什么？有哪些相关的性质？

学生思考后回答，师生共同纠正评价，进一步明确：顶点在圆心的角叫圆心角；在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

然后我用多媒体展示在北京海洋馆里人们通过圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇的海底世界的图片，如图2，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D和E。在学生理解题意后，我向学生提问：你知道哪位同学的观赏角度最好吗？

学生结合图形大胆猜想，猜想的结果是否正确，我并不给出明确的答案，而是设置一个悬念，并向学生说明：通过今天的学习，我们就可以解决这个问题，从而引入本节课的课题—圆周角。

⑵合作探究，学习新知

我首先引导学生认识圆周角。

提出问题1：在图2中，∠AOB的顶点在圆心，∠AOB是圆心角；∠ACB、∠ADB和∠AEB这三个角有什么共同的特征吗？学生思考，回答问题后，师生共同纠正评价，明确共同的特征是：①角的顶点在圆周上；②角的两边都和圆相交。

提出问题2：你能尝试叙述一下“圆周角”的概念吗？学生通过类比回答问题，师生修改、补充、达成共识得到圆周角的概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

提出问题3：圆周角与圆心角的概念有什么区别、联系吗？学生思考进行回答，其他学生补充完善后，我利用多媒体课件指出圆周角与圆心角概念之间的区别、联系：

图形              角的顶点             角的两边

圆心角∠AOB                    在圆心                  两边和圆相交（不必强调）

圆周角∠ACB                    在圆上                    两边和圆相交（必须强调）

提出问题4:判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

学生思考后回答问题，图（3）（6）（8）中的角是圆周角。我及时给予鼓励评价，并由学生总结强调：圆周角的概念中两个特征缺一不可：①顶点在圆上；②两边和圆相交。

我顺势引导学生观察图（3）（6）（8）中三个圆周角的位置特征，继续提问：

问题5:圆心与圆周角之间存在几种不同的位置关系？

学生先思考，再与同桌交流，我借助几何画板，从运动的观点引导学生观察归纳，师生达成共识后明确指出：圆心与圆周角之间存在三种位置关系。圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部。为圆周角定理的分类证明做好铺垫，渗透分类讨论思想。

然后我引导学生探究圆周角的性质

观察实验，测量比较

我请同学们分成小组，先在学案纸上任意画同一条弧AB所对的圆心角和圆周角，再用量角器分别度量出这两个角的大小，填入表格中，并比较它们在度数之间有怎样的关系？

参与学生小组活动，对于发现规律的学习小组，给予及时的表扬，并鼓励他们用准确简练的语言，归纳概括提出猜想。

对于没有发现规律的小组，我引导学生根据圆心与圆周角不同的位置关系，正确画出图形，渗透分类讨论思想，并测量比较圆心角和圆周角度数之间的关系，帮助他们发现规律。

提出猜想，直观验证

在学生分小组进行观察实验、度量比较、充分讨论的基础上，我请小组代表阐述本组合作交流、探究发现的规律，提出猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

我适时地利用几何画板进行直观演示，验证学生提出的猜想。

拖动点C，观察到弧AB所对的圆周角虽然有无数个，但度量∠AOB和∠ACB的度数后，发现：圆周角∠ACB都等于它所对的圆心角∠AOB的一半。

拖动点A，改变弧AB的大小，观察发现上述规律不变，即∠ACB=∠AOB。

推理证明，归纳性质

在几何画板直观验证的基础上，我让学生分小组进一步对猜想进行推理证明。

我积极参与学生小组活动，对于能正确书写推理证明过程的学习小组，给予及时的鼓励表扬，并引导学生反思总结：在证明过程中，你运用了哪些数学思想方法？

对于证明有困难的学习小组，我分三步给予启发引导：

第一步：让学生结合图形正确写出已知和求证；

第二步：引导学生分三种情况进行讨论。从第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况开始，利用“三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质”加以证明；

第三步：引导学生把其他两种一般情况“圆心在角的内部或外部”，通过添加直径这条辅助线，转化为第一种“圆心在角的一边上”的特殊情况来解决。

给予学生足够多的时间，让学生进行充分的讨论证明，然后我请小组代表运用实物投影进行展示交流，我和学生共同进行修改、补充和完善，并用多媒体课件展示规范的推理证明过程，最后由学生总结概括得到圆周角定理，我进行板书。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

已知：在⊙Ｏ中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB。

求证：

证明：① 如图1，圆心O在∠ACB的边上    

∵ OC =OB，∴∠B =∠C

∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角，

∴∠AOB = ∠C+ ∠B

∴∠AOB = 2∠ACB 即∠ACB =1\\2∠AOB

② 如图2，圆心O在∠ACB的内部

作直径CD，利用（1）的结果，有

∠ACD =∠AOD ，∠BCD =∠BOD

∴∠ACD + ∠BCD =（∠AOD +∠BOD）

即∠ACB =1\\2∠AOB

③ 如图3，圆心O在∠ACB的外部

作直径CD，利用（1）的结果，有

∠ACD =∠AOD ，∠BCD =∠BOD

∴∠BCD - ∠ACD =（∠BOD -∠AOD）

即∠ACB =1\\2∠AOB

在得到圆周角定理后，请学生结合图形写出推理形式，并由一名同学板演。

符号语言：

∵在⊙o中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，

∴∠ACB =1\\2∠AOB

（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）。

在学生对圆周角定理的文字、图形、符号三种语言已有正确认识的基础上，进一步强调：

①定理的条件：是“一条弧”。

②定理的结论：为角的有关计算、角相等、弧相等、弦相等的有关证明提供了新的方法和依据。

③定理的证明过程：使用完全归纳法进行证明，体现了分类讨论、转化等数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律。

解决问题，反思感悟

在正确理解圆周角定理后，继续问学生：你现在能解决引例中提出的问题吗？

问题：在北京海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内神奇的海底世界。 如图，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，同学丙和丁分别站在其他靠墙的位置D和E。你知道哪位同学的观赏角度最好吗？

解：因为∠ACB、∠ADB和∠AEB是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角，

所以∠ACB＝∠ADB＝∠AEB＝∠AOB。

因为的角度越大，观赏角度越佳，

所以站在点O的位置时观赏角度最好，站在点C、D、E的位置时观赏效果一样。

在解决问题后，我引导学生小结，反思感悟到：正确掌握圆周角定理是解决问题的关键。

本阶段通过学生合作交流等活动，探究圆周角的概念和圆周角定理，逐步体会分类讨论、转化等数学思想方法以及特殊到一般的认知规律。

⑶应用知识，培养能力

首先，安排了第一组练习：“比一比，谁最棒！”

①如图1，Ｃ是⊙o上的一点，如果∠Ｃ＝35°,那么∠AOB = ；

②如图2，AB、AC为⊙o的两条弦，延长CA到D，使AD = AB，如果∠ADB = 30º，那么∠BOC = ；

③如图3，已知A、C、B、D是⊙Ｏ上的点，如果∠AOB = 100°，那么∠ACB = ，∠ADB = ；

④如图4，A、B是⊙Ｏ上的两点，如果∠AOB=80°,C是⊙Ｏ上不与点A、B重合的任一点，那么∠ACB = 。

图1 图2 　 　 图3 　　 图4

第①题是由圆周角直接求圆心角，第③题是由圆心角直接求圆周角，目的是使学生熟悉掌握圆周角定理；

第②题需要先利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质确定圆周角后，再求出圆心角，目的是使学生进一步掌握圆周角定理；

第④题点C在劣弧上还是在优弧上不确定，需要分类讨论求解，目的是使学生灵活掌握圆周角定理；

以上题目，我采用课堂竞赛的形式组织学生完成，由学生思考后进行口答，其他学生补充、修改，我及时给予鼓励评价，本阶段通过“比一比，谁最棒”这个练习，激发学生学习积极性，使学生从不同的角度，逐步理解掌握圆周角定理，体会圆周角定理在计算中的重要应用。

接着，安排了第二组练习：“试一试，你能行！”

已知：如图，A、B、D、E为⊙o上的四个点，点E为DC延长线上的一点。

求证：①∠BCD+∠A=180°；∠ABC+∠ADC=180°；

②∠BCE=∠A。

此题先由学生思考，写出证明过程后，再分小组讨论交流，我有针对性地进行巡视。

对于言之有理、落笔有据，书写规范的学生给予及时的鼓励表扬，并引导他们用简练的语言，归纳概括圆内接四边形的重要结论。

对于暂时没有发现解题思路的学生，我引导学生通过做半径，构造圆心角，使圆周角与同弧所对的圆心角联系起来，从而解决问题。

在学生小组讨论交流后，我利用投影有针对性地展示收集到的不同学生的证明过程，并给予评价指导。

然后我进一步向学生提问：你知道圆内接四边形有哪些性质吗？

在学生充分发言的基础上，师生共同修改完善、归纳总结、达成共识后得到：

圆内接四边形的对角互补, 一个外角等于它的内对角。

通过这个问题的解决，让学生进一步体会圆周角定理在证明中的重要应用。

最后，我安排了第三组练习：“做一做，夺金牌”

在2008年北京奥运会上，中国选手奋力拼搏，获得100枚奖牌，我校数学兴趣小组也要参加北京市的“OM”头脑奥林匹克比赛，比赛用的道具都是老师和同学自己动手制作的。一天，小明找到老师，他想在一块圆形纸板上画八个45º的角，组成一个美丽的图案（如图），希望可以提供一种比较简单的做法，你能帮助小明想个好办法吗？

通过这个问题的解决，让学生进一步感受到圆周角定理在实际生活中的广泛应用，从而激发学生的学习积极性。并进一步体会分类讨论思想。

⑷归纳总结，提升认识

为了使学生对本节课有一个整体的感知，我和学生共同回顾了本节课的学习内容和重点。结合学生发言，我引导学生进一步从知识与技能、过程与方法等方面进行反思归纳总结。

①顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

②“观察、实验、比较、分析、归纳、猜想、证明”是探究问题常用的策略；“从特殊到一般”是认识事物常用的数学方法；“分类讨论、转化”是解决问题常用的数学思想。

本节课重点研究圆周角的概念以及圆周角定理。主要采取引导发现、合作探究的教学方法。首先，让学生在实际生活中通过直观感受，抽象概括圆周角的特征，以准确的语言明确揭示圆周角的本质，并对圆周角的概念进行比较、辨析，深化理解圆周角的概念，从而逐步体会圆周角与圆心的三种位置关系，渗透分类讨论思想；然后引导学生经历观察、实验、分析、比较、归纳、猜想、证明探索圆周角定理的过程，并借助几何画板的直观演示，增强学生对圆周角定理的感性认识，体会几何图形运动变化中的不变性；通过分情况证明圆周角定理的过程，体会转化、分类讨论、完全归纳法的数学思想方法以及从特殊到一般的认知规律；通过选取由易到难不同层次的练习，从不同的角度，使学生熟练掌握圆周角定理，感受圆周角定理在计算、证明以及实际生活中的广泛应用；通过学生小结，回顾知识，培养学生的归纳概括能力以及善于反思的能力，从而进一步体会数学思想方法是解题的灵魂。

在初中数学教学中，通过分类讨论思想的渗透，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。掌握分类思想，有助于学生理解知识，整理知识、消化知识和获取知识，使学生学会一种分析问题和处理问题的思想方法，从而提高学生全面观察事物、灵活处理问题的能力。