高中数学必修一 第五章 三角函数 单元测试 (5)(含答案解析)

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知角是第二象限的角，则的值一定

A. 小于零    B. 大于零    C. 等于零    D. 不确定

2.已知，则的值是

A.     B.     C.     D. 

3.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半纵坐标不变，得到函数的图象，关于函数，有下列四个结论：

的最小正周期为

的图象关于直线对称

在上单调递减

在有3个零点

则其中正确结论的序号是

A.     B.     C.     D. 

4.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值为2，则的取值范围是

A.     B.     C.     D. 

5.化简

A.     B.     C.     D. 

6.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象若函数的图象关于直线对称，则实数a的最小值为

A.     B.     C.     D. 

7.已知，则的值是

A.     B.     C.     D. 

8.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到函数的图象．若函数在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围为    

A.     B.     C.     D. 

二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

9.已知，且，则的值为______．

10.比较大小：______填“”或“”．

11.函数的单调递增区间为______．

12.的最大值为______．

13.已知，则______．

14.______．

15.如果函数的图象关于直线对称，那么该函数在上的最小值为______．

16.若关于x的方程在内有两相异实根，，则______．

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）

17.已知函数

求的单调增区间；

求的图象的对称中心与对称轴．

18.已知，为第二象限角．

求的值；

求的值．

19.设函数，的最小正周期为．

求的值；

求的单调减区间；

求在区间上的值域．

20.已知函数．

求函数的最小正周期和值域．

若为第二象限角，且，求的值．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：设角对应的点的坐标为，则，，

由余弦的定义可知，，

故选：A．

根据余弦的定义即可得解．

本题考查三角函数值的符号判断，属于基础题．

2.答案：A

解析：解：，

两边平方，可得，可得，

．

故选：A．

利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，两边平方利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求的值，进而根据诱导公式化简所求即可计算得解．

本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

3.答案：D

解析：解：函数，把函数的图象向右平移个单位，得到，

再把所得图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半纵坐标不变，得到函数的图象．

所以函数的最小正周期为故正确

当时，，所以，故错误．

由于，所以，所以函数在上单调递减，故正确．

当，，时，在有2个零点，故错误．

故选：D．

首先利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．

4.答案：D

解析：解：函数．

则函数在上是含原点的单调增区间．

由于函数在区间上是增函数，

所以：．

得到，解得．

由于函数在区间上恰好取得一次最大值为2，

所以，

即函数在处取得最大值，

可得：，

所以．

综上所述．

故选：D．

首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的关系式子集间的关系的应用求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，子集间的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

5.答案：A

解析：解：

，

．

故选：A．

由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简所给的式子，即可求得结果．

本题主要考查了同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用问题，是中档题．

6.答案：B

解析：解：函数，

函数的图象向左平移a个单位，得到的图象关于直线对称．

即，

所以，，

解得，，

因为，

所以，当时，a取得最小值为．

故选：B．

首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的图象变换可求，根据正弦型函数的性质即可求出a的最小值，

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象变换，正弦型函数的性质的应用，属于基础题．

7.答案：C

解析：解：，

，

则，

故选：C．

由题意利用两角和差的三角函数求得，再利用诱导公式求得的值．

本题主要考查两角和差的三角函数、诱导公式，属于中档题．

8.答案：C

解析：【分析】

本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．

由题意利用函数的图象变换规律求出的解析式，再根据正弦函数的零点，求得的取值范围．

【解答】

解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，

再将图象上每个点的横坐标变为原来的纵坐标不变，

得到函数的图象．

若函数在区间上有且仅有两个零点，

则，即，

故选：C．

9.答案：

解析：解：，

两边平方，可得，

，可得，

，可得为第一象限角，

解得，可得，

又，

解得．

故答案为：．

将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式化简可得，结合已知解方程可得，进而根据同角三角函数基本关系式可求的值．

本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了方程思想的应用，属于基础题．

10.答案：

解析：解：因为，且正切函数在上单调递增，

所以．

故答案为：．

根据正切函数在上单调递增即可得解．

本题考查正切值的大小比较，熟练掌握正切函数的单调性是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．

11.答案：

解析：解：令可得，，，

故函数的单调递增区间，．

故答案为：，．

结合正弦函数的单调性即可直接求解．

本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础试题．

12.答案：3

解析：解：当，整理得时，．

故答案为：3．

直接利用余弦函数的性质的应用求出结果．

本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

13.答案：

解析：解：由于，

所以：．

故答案为：．

直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

14.答案：

解析：解：，

故答案为：．

由题意利用诱导公式求得式子的值．

本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．

15.答案：

解析：解：当时，，整理得：，

所以函数

当，所以，

则：，

当时，即时，函数的最小值为．

故答案为：．

首先利用函数的对称性求出a的值，进一步利用关系式的变换的应用求出正弦型函数，进一步求出函数的最值．

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

16.答案：，或

解析：解：关于x的方程，即，即．

由于方程在内有两相异实根，，

，．

，或，

，或，

故答案为：，或．

由题意，方程 在内有两相异实根，，可得，由此求得结果．

本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

17.答案：解：，

令，

则解得单调增区间为．

令，

可得，

所以对称中心，

令，

所以对称轴为．

解析：利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为，利用正弦函数的图象和性质即可求解其单调增区间．

令，可得，可求其对称中心，令，可求其对称轴．

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．

18.答案：解：因为，为第二象限角；

．

由知，

．

解析：根据以及a是第二象限角就可以求出；

然后根据求出的值；进而利用两角和的正切求出结论．

本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的正切，对 的灵活运用是解题的关键，属于基础题．

19.答案：解：函数

的最小正周期为，，

令，求得，

可得函数的减区间为，．

在区间上，，

故当时，函数取得最小值为；

当 时，函数取得最大值为，

故函数的值域为

解析：由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得，可得函数的解析式．

由题意利用正弦函数的单调性，求出它的减区间．

由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，定义域和值域，属于中档题．

20.答案：解：函数的最小正周期为，

它的值域为．

若为第二象限角，且，

，，

则．

解析：利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得它的周期和值域．

由题意求出和的值，再利用二倍角公式，求得的值．

本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，二倍角公式的应用，属于基础题．