上海师大《874信号与系统》考研信号与系统考研真题

一、一、选择题

1信号x[k]＝2cos[πk/4]＋sin[πk/8]－2cos[πk/2＋π/6]的周期是（　　）。[中山大学2010研]

A．8

B．16

C．2

D．4

【答案】B  @@

【解析】根据周期的定义T＝2π/ω，cos（πk/4），sin（πk/8），cos（πk/2＋π/6）的最小正周期分别为8、16、4，取最小公倍数，所以x[k]的周期为16。

2选择题序列和等于（　　）。[北京交通大学研]

A．1

B．δ[k]

C．k u [k]

D．（k＋1）u[k]

【答案】D  @@

【解析】由

可知。

3序列和[中山大学2010研]

A．4u[k]

B．4

C．4u[－k]

D．4u[k－2]

【答案】B  @@

【解析】由单位样值信号的定义，。当k≠2，序列值恒为0；当k＝2，序列值为4，因此

4用下列差分方程描述的系统为线性系统的是（　　）。[西安电子科技大学研]

A．y（k）＋y（k－1）＝2f（k）＋3

B．y（k）＋y（k－1）y（k－2）＝2f（k）

C．y（k）＋ky（k－2）＝f（1－k）＋2f（k－1）

D．y（k）＋2y（k－1）＝2|f（k）|

【答案】C  @@

【解析】A项，方程右边出现常数3。B项，出现y（k－1）y（k－2）项。D项，出现|f（k）|这些都是非线性关系。

5描述离散系统的差分方程为y（k）＋y（k－1）＝2f（k）＋f（k－1），其中单位响应h（k）等于（　　）。[西安电子科技大学2013研]

A．δ（k）＋（－1）kε（k）

B．δ（k）＋ε（k）

C．2δ（k）－ε（k）

D．δ（k）－（－1）kε（k）

【答案】A  @@

【解析】根据单位响应h（k）的定义，h（k）＋h（k－1）＝2δ（k）＋δ（k－1），利用线性性质先求h（k）＋h（k－1）＝δ（k）时的单位响应h0（k），h0（k）＝C（－1）k，h0（0）＝1，因此C＝1，即h0（k）＝（－1）kε（k），利用线性性质得到h（k）＝2h0（k）＋h0（k－1）＝2（－1）kε（k）＋（－1）k－1ε（k－1）＝2（－1）kε（k）－（－1）k[ε（k）－δ（k）]＝δ（k）＋（－1）kε（k）。

6信号f1（t）和f2（t）的波形如图1-1-1所示，设y（t）＝f1（t）*f2（t），则y（4）等于（　　）。[西安电子科技大学2013研]

图1-1-1

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】A  @@

【解析】利用卷积积分的定义

因此

如图1-1-2所示

图1-1-2

因此

7试确定序列f（k）＝2sin（πk/3）＋3cos（πk/4）是否为周期序列。若是，其周期N为（　　）。[西安电子科技大学2013研]

A．不是周期序列

B．是，N＝24

C．是，N＝12

D．是，N＝8

【答案】B  @@

【解析】2sin（πk/3）的周期N1＝2π/（π/3）＝6，3cos（πk/4）的周期N2＝2π/（π/4）＝8，由于N1/N2＝3/4是有理数，因此N＝3N2＝4N1＝24。

8设系统的初始状态为x（0），各系统的全响应y（·）与激励f（·）和初始状态的关系如下。下列系统为线性系统的是（　　）。[西安电子科技大学2013研]

A．

B．

C．y（k）＝kx（0）＋f（k）f（k－1）

D．y（k）＝f（k）＋f（k－1）＋2x（0）＋3

【答案】A  @@

【解析】B项，不满足分解性质，即y（t）无法分解为零输入响应与零状态响应，因此为非线性系统；C项，存在f（k）f（k－1），因此是非线性系统；D项，由于存在常数3因此是非线性系统。

【总结】线性性质满足以下三条：

①分解性：全响应y（t）可以分解为零输入响应yzi（t）和零状态响应yzs（t）的和，即y（t）＝yzi（t）＋yzs（t）。

②齐次性：包括零输入响应齐次性和零状态响应齐次性，即若x（0）→yzi（t），则ax（0）→ayzi（t），若f（t）→yzs（t），则af（t）→ayzs（t）。

③可加性：包括零输入响应可加性和零状态响应可加性，即若x1（0）→yzi1（t），x2（0）→yzi2（t），则ax1（0）＋bx2（0）→ayzi1（t）＋byzi2（t），若f1（0）→yzs1（t），f2（0）→yzs2（t），则af1（0）＋bf2（0）→ayzs1（t）＋byzs2（t）。

9已知一双边序列，其Z变换为（　　）。[北京邮电大学2009研]

A．z（a－b）/[（z－a）（z－b）]，a＜|z|＜b

B．（－z）/[（z－a）（z－b）]，|z|≤a，|z|≤b

C．z/[（z－a）（z－b）]，a＜|z|＜b

D．（－1）/[（z－a）（z－b）]，a＜|z|＜b

【答案】A  @@

【解析】由题意，根据常用Z变换，得：

a＜|z|＜b

10已知因果信号f（k）的Z变换F（z）＝1/[（z＋0.5）（z＋2）]，则F（z）的收敛域为（　　）。[西安电子科技大学2010研]

A．|z|＞0.5

B．|z|＜0.5

C．|z|＞2

D．0.5＜|z|＜2

【答案】C  @@

【解析】因果信号的收敛域是|z|＞a的形式，并且收敛域内不能包含极点。F（z）的极点为z＝－0.5，z＝－2，所以F（z）的收敛域为|z|＞2。

11已知x（n）u（n）的Z变换为X（z），则的Z变换Y（z）为（　　）。[北京航空航天大学2007研]

A．X（z）/（z＋1）

B．zX（z）/（z＋1）

C．X（z）/（z－1）

D．zX（z）/（z－1）

E．都不对

【答案】D  @@

【解析】利用和函数z变换公式即可。

12对线性移不变离散时间系统，下列说法中错误的是（　　）。[东南大学研]

A．极点均在z平面单位圆内的是稳定系统

B．收敛域包括单位圆的是稳定系统

C．收敛域是环状区域的系统是非因果系统

D．单位函数响应单边的是因果系统

【答案】A  @@

【解析】A项，极点均在z平面内以原点为圆心单位圆内的是稳定系统。由功率有限信号定义：如果信号f（t）的平均功率满足0＜p＜∞（且E＝∞），称f（t）为功率信号。

13x（n）＝a|n|，a为实数，X（z）的收敛域为（　　）。[中山大学2018年研]

A．|a|＜1，|z|＞|a|

B．|a|＞1，|z|＜1/|a|

C．|a|＜1，|a|＜|z|＜1/|a|

D．|a|＞1，|a|＜|z|＜1/|a|

【答案】C  @@

【解析】根据题目，可以得到x（n）其实是一个双边序列。其对应的表达式为：

所以对应的z变换为

答案选择C选项。

14信号x（n）＝sin（nπ/4）－2cos（nπ/6）的周期为（　　）。[北京邮电大学研]

A．8

B．24

C．12π

D．12

【答案】B  @@

【解析】sin（nπ/4）的周期为8，cos（nπ/6）周期为12，两部分是相加的形式，因此周期是两个周期的最小公倍数，也即24。

15序列x[n]＝sin（5πn/6）的周期为（　　）。[华中科技大学2009研]

A．10

B．12

C．15

D．30

【答案】B  @@

【解析】由于2π/（5π/6）＝12/5，又因为序列周期是一个整数，所以所求周期为12/5×5＝12。

16已知某信号存在工频干扰，通常会用（　　）去除。[中山大学2018年研]

A．低通滤波器

B．高通滤波器

C．带通滤波器

D．陷阱滤波器

【答案】D  @@

【解析】ABC项，低通滤波器、高通滤波器以及带通滤波器的主要作用就是，有目的地人为选取有用的频率范围段，可以根据截止频率来保留想要的频率范围，一般都是某个频率段，故三个选项都错误。D项，陷阱滤波器是一种可以在某一个频率点迅速衰减输入信号，以达到阻碍此频率信号通过的滤波器。而工频干扰为50Hz的单一频率，故选用陷阱滤波器。

17已知因果稳定的系统H（z）和G（z）都是最小相位的，则下面哪个系统有可能不是最小相位的（　　）。[中国传媒大学2017研]

A．H（z）G（z）

B．H（z）＋G（z）

C．H（z）/G（z）

D．1/[H（z）G（z）]

【答案】B  @@

【解析】离散系统最小相位的零极点均位于单位圆之内，但是H（z）＋G（z）的零极点可能出现单位圆之外的情况，而乘除运算均不会带来这种影响，因此答案选B。

一、选择题

1信号（sin2t＋cos5t）2的周期是（　　）。[电子科技大学2013研]

A．π/5

B．π/2

C．2π

D．不是周期信号

【答案】C  @@

【解析】将（sin2t＋cos5t）2展开可得：（1－cos4t）/2＋（sin7t）/2－（sin3t）/2＋（1＋cos10t）/2。由此可知上式四项的周期分别为2π/4，2π/7，2π/3，2π/10，最小公倍数为2π，因此信号周期为2π。

2的值为（　　）。[武汉大学2015研]

A．不确定

B．e－2

C．0

D．e2

【答案】C  @@

【解析】由冲激信号的抽样特性可知

3积分等于（　　）。[武汉科技大学2017研]

A．－2δ（t）

B．－2u（t）

C．u（t－2）

D．－2δ（t－2

【答案】B  @@

【解析】根据冲激函数的性质有

4.y（t）＝5cos（3t＋π/2）＋3cos（2t＋π/3）的周期是（　　）。[西南交通大学2014研]

A．π/6

B．π/3

C．2π

D．∞

【答案】C  @@

【解析】第一项周期为T1＝2π/3，第二项周期T2＝2π/2＝π，两者公倍数是2π，因此y（t）的周期为2π。

5下列各表达式中错误的是（　　）。[武汉科技大学2017研]

A．δ′（t）＝－δ′（－t）

B．

C．

D．δ′（t－t0）＝δ′（t0－t）

【答案】D  @@

【解析】对于D项由冲激偶函数性质可知：δ′（t－t0）＝δ′[（－1）（t0－t）]＝－δ′（t0－t）。

6若f（t）是已录制声音的磁带，则下列表述错误的是（　　）。[西南交通大学2014研]

A．f（－t）表示将磁带倒带转播放生的信号

B．f（t＋2）表示将磁带以超前2个单位播放

C．f（t/2）表示原磁带放音速度以二倍速度加快播放

D．2f（t）将磁带的音量放大一倍播放

【答案】C  @@

【解析】f（t/2）表示将声音长度扩展两倍，正常放音情况下，原磁带放音速度会降低一半播放。

7若f（t）为系统的输入激励，y（t）为系统的输出响应，y（0）为系统的初始状态，下列哪个输出响应所对应的系统是线性系统（　　）。[西南交通大学2014研]

A．y（t）＝5y2（0）＋3f（t）

B．y（t）＝3y（0）＋2f（t）＋d[f（t）]/dt

C．y（t）＝2y（0）f（t）＋2f（t）

D．y（t）＝4y（0）＋2f2（t）

【答案】B  @@

【解析】对于微分方程形式的系统而言，线性系统中不会出现输入、输出的乘积形式，也不会出现输入本身、输出本身的乘积形式。

8系统是（　　）。[电子科技大学2013研]

A．非线性、时不变、非因果、稳定

B．线性、时变、非因果、稳定

C．非线性、时变、因果、非稳定

D．线性、时不变、非因果、稳定

【答案】B  @@

【解析】①线性

设系统算子为T，则c1x1（t）＋c2x2（t）通过系统后的结果T[c1x1（t）＋c2x2（t）]为

因此系统是线性的。

②时不变性

令t→t－t0，则经过算子T后T[x（t－t0）]为

而

比较以上两式有y（t－t0）≠T[x（t－t0）]，因此系统是时变的。

③因果性

令t＝3有y（3）＝x（3）＋x（5），说明当前响应与未来激励相关，因此系统是非因果的。

④稳定性

若x（t）有界，则y（t）＝x（t）＋x（t＋2）显然也是有界的，因此该系统是稳定的。

综上所述，该系统是线性、时变、非因果、稳定系统。

二、填空题

1计算积分______。[北京邮电大学2016研]

【答案】1  @@

【解析】已知冲激偶积分公式

故

2某连续时间系统的输入为x（t），零状态响应为ym（t）＝3x（t）＋4，试判断该连续时间系统是否为线性系统______，是否为非时变系统______。[北京交通大学2015研]

【答案】否；是  @@

【解析】因为3[x1（t）＋x2（t）]＋4≠[3x1（t）＋4]＋[3x2（t）＋4]＝y1（t）＋y2（t），因此该系统是非线性的；又因为3x（t－t0）＋4＝y（t－t0），因此该系统是非时变的。

3______。 [北京交通大学2015研]

【答案】1/2  @@

【解析】依题意有

4积分的值＝______。[华中科技大学2012研]

【答案】－2cos2  @@

【解析】根据冲击偶函数的性质有

三、判断题

1信号x（t）经过一个连续时间系统的输出为y（t）＝x（2t），该系统是时变系统。（　　）[北京邮电大学2016研]

【答案】对  @@

【解析】由时不变判断方法可知，y（t－t0）＝x[2（t－t0）]≠T[x（t－t0）]＝x（2t－t0），因此系统是时变系统 。

2信号x（t）经过一个连续时间系统的输出为

T为非零实常数，该系统是因果系统。[北京邮电大学2016研]

【答案】错  @@

【解析】因果系统是指系统在t0时刻的响应只与t＝t0和t＜t0时刻的输入有关，而该连续时间系统输出y（t）在t时刻的响应与时间段t－T/2＜ti＜t＋T/2内的输入均有关，因此该系统是非因果系统。

3两个线性时不变系统相级联的先后顺序不影响总的输入输出关系。（　　）[中山大学2010研]

【答案】对  @@

【解析】线性时不变系统级联，总的系统函数相当于各个系统函数相卷积，根据卷积的性质，卷积的次序是可以交换的。

4卷积可用于非线性时不变系统。（　　）[南京大学2010研]

【答案】错  @@

【解析】设激励信号为e（t），系统的零状态响应为r（t），则

此运算是线性时不变系统的输入和系统函数的卷积运算，因此若要满足上式，则系统必须要有叠加性，即要求是线性的；应用于非线性系统时，由于违反了叠加定理，因此不能使用。

四、简答题

分析系统y（t）＝f（1－t）的线性、因果和时变特性。[西安电子科技大学2017研]

答：（1）线性

设系统算子为T，则c1f1（t）＋c2f2（t）通过系统后的结果T[c1f1（t）＋c2f2（t）]为：c1f1（1－t）＋c2f2（1－t）＝c1y1（t）＋c2y2（t）。

因此系统是线性的。

（2）因果性

令t＝0有y（0）＝f（1），说明当前响应与未来激励相关，因此系统是非因果的。

（3）时不变

令t→t－t0，则经过算子T后T[f（t－t0）]为f（1－t－t0），而y（t－t0）＝f[1－（t－t0）]＝f（1－t＋t0），比较以上两式有y（t－t0）≠T[f（t－t0）]，因此系统是时变的。

综上所述，该系统是线性、非因果、时变系统。

五、画图题

1已知函数f1（－t/2）和f2（t）的波形如图1-1所示。画出y1（t）＝f1（t＋1）u（－t）和y2（t）＝f2（5－3t）的波形。[西安电子科技大学2017研]

图1-1

答：y1（t）的波形如图1-2所示。

图1-2

根据f2（t）的波形图可知，f2（t）＝9δ（t＋1），因此y2（t）的表达式为：y2（t）＝f2（5－3t）＝3δ（t－2），则y2（t）的波形图如图1-3所示。

图1-3

2已知f（t）波形如图1-4所示，请画出信号f1（t）＝f（2－t）u（4－t）的波形图。[武汉大学2015研]

图1-4

答：将f（t）先翻转然后右移两个单位后取t＜4的部分即可，如图1-5所示。

图1-5

3信号x（t）如图1-6所示，画出信号y（t）＝2x（－t/3＋2/3）的图形。[北京邮电大学2012研]

图1-6

答：y（t）＝2x[－（t－2）/3]如图1-7（d）所示。

图1-7

4粗略画出函数式的波形图。[中山大学2011研]

答：此函数是Sa函数的尺度变换和位移变换，函数式的波形图如图1-8所示。

图1-8

5已知f（t）的波形如图1-9所示，试画出f（5－2t）的波形。[武汉理工大学2010研]

图1-9

答：由f（t）的波形可知f（－t）波形如图1-10所示。

图1-10

由f（－t）波形得f（－2t）波形如图1-11所示。

图1-11

由以上得f（5－2t）＝f[－2（t－5/2）]波形如图1-12所示。

图1-12

六、计算题

1

[西安电子科技大学2017研]

解：根据冲激函数性质有

2计算下列积分。[武汉大学2015研]

（1）

（2）

解：（1）

（2）

3任意信号是如何分解成无穷多个单位阶跃信号或无穷多的单位冲激信号的？请阐述之。[武汉大学2015研]

答：以冲激响应为例，这种分解思路是先把信号f（t）分解成宽度为∆t的矩形窄脉冲之和，任意时刻k∆t的矩形脉冲幅度为f（k∆t）。假设f（t）为因果信号，则f（t）可表示为

令窄脉冲宽度∆t→0，并对其取极限，得到

此时k∆t→τ，∆t→dτ，，即求和运算变为积分运算。于是，用冲激函数表示任意信号的积分形式为

同理，任意信号用阶跃函数表示为

4已知信号如图1-13所示。

图1-13

（1）求x（t）与d[x（t）]/dt的表达式

（2）画出d[x（t）]/dt的图形

（3）画出x（2－t）u（－t）的图形。[电子科技大学2013研]

解：（1）根据x（t）的波形可以直接写出x（t）的表达式为：

x（t）＝（t－1）[u（t）－u（t－1）]＋2[u（t－1）－u（t－2）]＋（2－t）[u（t－2）－u（t－3）]＝（t－1）u（t）－（t－3）u（t－1）－tu（t－2）＋（t－2）u（t－3）

因此d[x（t）]/dt的表达式为：

d[x（t）]/dt＝[u（t）－u（t－1）]－[u（t－2）－u（t－3）]－δ（t）＋2δ（t－1）－2δ（t－2）＋δ（t－3）。

（2）d[x（t）]/dt的图形如图1-14所示。

图1-14

（3）利用信号的基本运算方法可得x（2－t）u（－t）的图形如图1-15所示。

图1-15