2020-2021学年贵州省铜仁市八年级(下)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年贵州省铜仁市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）.

1．在实数8，﹣，0，﹣，﹣π中，无理数有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

2．下列图案中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．据专家介绍，新型冠状病毒的直径大约为0.000000125米，它与飞沫等体液结合后体积会变大，正确佩戴口罩能有效预防．把0.000000125科学记数法表示为（　　）

A．0.125×106    B．0.125×10﹣6    C．1.25×107    D．1.25×10﹣7

4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6    B．5，7，9    C．4，6，8    D．6，8，10

5．点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A．（2，3）    B．（2，﹣3）    C．（﹣2，﹣3）    D．（3，﹣2）

6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．∠ABC＝90°    B．AC＝BD    C．AD＝AB    D．∠BAD＝∠ADC

7．如图，是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验．在小明匀速向上将铁块提起，直至铁块完全离开水面一定高度的过程中，如图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝2，则点G到直线AB的距离为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

9．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）

A．900（x+1）×2＝900（x﹣3）    B．900（x+1）＝900（x﹣3）×2    

C．90（x+1）×2＝900（x+3）    D．900（x+1）＝900（x+3）×2

10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF，下列结论：①△EFH≌△CEB；②△ECF是等腰直角三角形；③△AEG的面积为2.5；④EG＝DG+BE；其中正确的是（　　）

A．①②③    B．①③④    C．②③④    D．①②④

二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．﹣27的立方根是　   　．

12．分式与的最简公分母是　            　．

13．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是　     　．

14．将100个数据分成①～⑧组，如表所示：

编号	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧
频数	4	8	12		24	18	7	3

那么第④组的频数为　   　．

15．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而　   　．（填“增大”或“减小”）

16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为 　            　．

17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 　 　．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2021的坐标是 　              　．

三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）

19．（1）解不等式：，并写出它的正整数解．

（2）先化简，再求值：，其中x＝1．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△BED≌△CFD．

21．在脱贫攻坚工作中，某乡镇对结对帮扶干部的阶段性工作进行绩效考核评分（采用百分制），并将考核成绩绘制成频数分布表和频数分布直方图的一部分．

成绩	频数（人数）	频率
50≤x＜60	5	0.1
60≤x＜70	10	0.2
70≤x＜80	20	0.4
80≤x＜90	a	0.2
90≤x＜100	5	b

（1）该乡镇考核的结对帮扶干部共有多少人？

（2）求a、b的值．并将频数分布直方图补充完整；

（3）成绩在80分以上（含80）的干部人数占考核总人数的百分比是多少？

22．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，﹣2）、点B（3，1）、点C（0，2），请解决下列问题：

（1）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A1B1C1，请画出平移后的图形并写出A1、B1、C1的坐标；

（2）若把△ABC沿y轴作轴反射得到△A2B2C2，请直接写出A2、B2、C2的坐标．

四、（本大题满分12分）

23．小华同学为了体验生活，决定在假期购进一批50克装的两种梵净山绿茶去梵净山景区门口摆地摊进行销售，其进价与标价如表：

	梵净山翠峰茶	梵净山毛峰茶
进价（元/袋）	45	25
标价（元/袋）	60	30

（1）小华购进了梵净山翠峰茶与梵净山毛峰茶共300袋，梵净山翠峰茶按标价进行销售，而梵净山毛峰茶打九折销售，当销售完这批绿茶后可以获利3200元，求小华同学购进梵净山翠峰茶和梵净山毛峰茶各多少袋？

（2）由于景区游客较多，小华很快将两种绿茶销售完，若他计划再次购进这两种绿茶共120袋，且梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的．在不打折的情况下，如何进货，销售完这批绿茶时获利最多？求出此时这批绿茶的总利润为多少元？

五、（本大题满分12分）

24．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB＝8，AD＝16，求MD的长．

六、（本大题满分14分）

25．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．

（1）求该一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

参

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案填涂在相应的答题卡上

1．在实数8，﹣，0，﹣，﹣π中，无理数有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

解：8，＝﹣2，0是整数，属于有理数；

，是分数，属于有理数；

无理数有，﹣π，共2个．

故选：A．

2．下列图案中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

解：A．找不到这样一个点，使旋转180°后的图形与原图形重合，所以它们都不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B．绕十字形中心点（交点）旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以它是中心对称图形，故本选项符合题意；

C．找不到这样一个点，使旋转180°后的图形与原图形重合，所以它们都不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D．找不到这样一个点，使旋转180°后的图形与原图形重合，所以它们都不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

3．据专家介绍，新型冠状病毒的直径大约为0.000000125米，它与飞沫等体液结合后体积会变大，正确佩戴口罩能有效预防．把0.000000125科学记数法表示为（　　）

A．0.125×106    B．0.125×10﹣6    C．1.25×107    D．1.25×10﹣7

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

解：0.000000125＝1.25×10﹣7，

故选：D．

4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6    B．5，7，9    C．4，6，8    D．6，8，10

【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．

解：A、∵42+52≠62，故不是直角三角形，不合题意；

B、52+72≠92，故不是直角三角形，不合题意；

C、62+42≠82，故不是直角三角形，不合题意；

D、62+82＝102，故是直角三角形，符合题意；

故选：D．

5．点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）

A．（2，3）    B．（2，﹣3）    C．（﹣2，﹣3）    D．（3，﹣2）

【分析】点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，﹣n），然后将题目已经点的坐标代入即可求得解．

解：根据轴对称的性质，得点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．

故选：C．

6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．∠ABC＝90°    B．AC＝BD    C．AD＝AB    D．∠BAD＝∠ADC

【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．

解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；

B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；

C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；

D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC＝180°，

又∵∠BAD＝∠ADC，

∴∠BAD＝∠ADC＝90°，

根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．

故选：C．

7．如图，是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验．在小明匀速向上将铁块提起，直至铁块完全离开水面一定高度的过程中，如图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据题意，在实验中有3个阶段，①铁块在液面以下，②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，③铁块完全露出时，分析液面得变化，结合选项，可得答案．

解：根据题意，在实验中有3个阶段，

①铁块在液面以下，液面得高度不变；

②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；

③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；

分析可得，A符合描述；

故选：A．

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝2，则点G到直线AB的距离为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【分析】先利用基本作图得到BG平分∠ABC，然后根据角平分线的性质求解．

解：由作法得BG平分∠ABC，

∴点G到BA和BC的距离相等，

而CG⊥BC，CG＝2，

∴点G到直线AB的距离为2．

故选：B．

9．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　）

A．900（x+1）×2＝900（x﹣3）    B．900（x+1）＝900（x﹣3）×2    

C．90（x+1）×2＝900（x+3）    D．900（x+1）＝900（x+3）×2

【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．

解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：

，

即900（x+1）＝900（x﹣3）×2，

故选：B．

10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF，下列结论：①△EFH≌△CEB；②△ECF是等腰直角三角形；③△AEG的面积为2.5；④EG＝DG+BE；其中正确的是（　　）

A．①②③    B．①③④    C．②③④    D．①②④

【分析】由“SAS”可证△EHF≌△CBE，故①正确，由全等三角形的性质可得EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，可证△CEF是等腰直角三角形，故②正确，建立平面直角坐标系，先求FC的解析式，可得点G坐标为点G（，4），可求△AEG的面积＝，故③错误，分别求出EG，DG+BE，可判断④，即可求解．

解：在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，

∴∠HAD＝90°，

∵HF∥AD，

∴∠H＝90°，

∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，

∴∠AFH＝∠HAF．

∵AF＝，

∴AH＝HF＝1＝BE，

∴BE＝3，

∴EH＝AE+AH＝4＝BC，

∴△EHF≌△CBE（SAS），故①正确，

∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，

∵∠BCE+∠BEC＝90°，

∴HEF+∠BEC＝90°，

∴∠FEC＝90°，

∴△CEF是等腰直角三角形，故②正确，

如图，以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则点C（4，0），点E（0，1），点B（0，0），点A（0，4），点F（1，5），

设直线CF的解析式为y＝kx+b，

由题意可得：，

解得：，

∴直线FC的解析式为y＝﹣x+，

当y＝4时，x＝，

∴点G（，4），

∴AG＝，

∴△AEG的面积＝××3＝，故③错误，

∵AG＝，AE＝3，

∴DG＝，EG＝＝＝，

∵DG+BE＝，

∴EG＝DG+BE，故④正确，

故选：D．

二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．﹣27的立方根是　﹣3　．

【分析】根据立方根的定义求解即可．

解：∵（﹣3）3＝﹣27，

∴＝﹣3

故答案为：﹣3．

12．分式与的最简公分母是　2（x+2）（x﹣2）　．

【分析】确定最简公分母的方法是：

（1）取各分母系数的最小公倍数；

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

解：分式与的分母分别是x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），4﹣2x＝﹣2（x﹣2），故最简公分母是2（x+2）（x﹣2）；

故答案为2（x+2）（x﹣2）．

13．若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是　720°　．

【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．

解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，

该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．

故答案为：720°．

14．将100个数据分成①～⑧组，如表所示：

编号	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧
频数	4	8	12		24	18	7	3

那么第④组的频数为　24　．

【分析】根据100个数据和表格中的数据可以求得第④组的频数，本题得以解决．

解：由题意可得，

第④组的频数为：100﹣4﹣8﹣12﹣24﹣18﹣7﹣3＝24，

故答案为：24．

15．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）

【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．

解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，

故答案为：减小．

16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为 　　．

【分析】根据勾股定理可求解AE的长，再利用直角三角形斜边上的中线可求解．

解：∵AD⊥BC，

∴∠ADE＝90°，

∵AD＝ED＝3，

∴AE＝，

∵∠BAC＝90°，E为BC的中点，

∴BC＝2AE＝，

故答案为．

17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为 　3　．

【分析】根据菱形的性质可得AC＝2AO＝8，由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出BD的长度，再根据直角三角形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC＝2AO＝8，

又∵S菱形ABCD＝，

∴BD＝6，

∵DH⊥AB，

在Rt△BHD中，点O是BD的中点，

∴OH＝＝3．

故答案为：3．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2021的坐标是 　（22020，22020）　．

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形性质一次先求出B1，B2的坐标，发现变换规律即可求出B2021的坐标．

【解答】解；∵OA1＝1，

∴点A1的坐标为（1，0），

∵△OA1B1是等腰直角三角形，

∴A1B1＝1，

∴B1（1，1），

∵△B1A1A2是等腰直角三角形，

∴A1A2＝1，B1A2＝，

∵△B2B1A2是等腰直角三角形，

∴A2A3＝2，

∴B2（2，2），

同理可得：B3＝（22，22），B4（23，23），…，

Bn（2n﹣1，2n﹣1），

∴B2021的坐标为（22021﹣1，22021﹣1），即（22020，22020），

故答案为：（22020，22020）．

三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）

19．（1）解不等式：，并写出它的正整数解．

（2）先化简，再求值：，其中x＝1．

【分析】（1）根据解不等式的方法，先求出该不等式的解集，然后即可写出该不等式的正整数解；

（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x＝1代入化简后的式子即可解答本题．

解：（1），

去分母，得

3（x﹣2）≤2（7﹣x），

去括号，得

3x﹣6≤14﹣2x，

移项及合并同类项，得

5x≤20，

系数化为1，得

x≤4，

∴该不等式的正整数解是1，2，3，4；

（2）

＝

＝×

＝

＝，

当x＝1时，原式＝＝﹣1．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：△BED≌△CFD．

【分析】由等腰三角形的性质得∠B＝∠C，再证∠DEB＝∠DFC＝90°，然后由AAS证明△BED≌△CFD即可．

【解答】证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB＝∠DFC＝90°，

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS）．

21．在脱贫攻坚工作中，某乡镇对结对帮扶干部的阶段性工作进行绩效考核评分（采用百分制），并将考核成绩绘制成频数分布表和频数分布直方图的一部分．

成绩	频数（人数）	频率
50≤x＜60	5	0.1
60≤x＜70	10	0.2
70≤x＜80	20	0.4
80≤x＜90	a	0.2
90≤x＜100	5	b

（1）该乡镇考核的结对帮扶干部共有多少人？

（2）求a、b的值．并将频数分布直方图补充完整；

（3）成绩在80分以上（含80）的干部人数占考核总人数的百分比是多少？

【分析】（1）根据频率＝，依据表格中的对应数据进行计算即可；

（2）根据频率＝进行计算即可求出a、b的值，进而补全统计图；

（3）求出成绩在80分以上（含80）的干部人数占考核总人数的百分比即可．

解：（1）5÷0.1＝50（人），

答：该乡镇考核的结对帮扶干部共有50人；

（2）a＝50×0.2＝10（人），

b＝5÷50＝0.1，

补全频数分布直方图如下：

（3）0.2+0.1＝0.3＝30%，

答：成绩在80分以上（含80）的干部人数占考核总人数的百分比为30%．

22．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，﹣2）、点B（3，1）、点C（0，2），请解决下列问题：

（1）若把△ABC向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到△A1B1C1，请画出平移后的图形并写出A1、B1、C1的坐标；

（2）若把△ABC沿y轴作轴反射得到△A2B2C2，请直接写出A2、B2、C2的坐标．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．

（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，请画出平移后的图形并写出A1（﹣3，0）B1（2，3），C1（﹣1，4）．

（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（2，﹣2），B2（﹣3，1），C2（0，2）．

四、（本大题满分12分）

23．小华同学为了体验生活，决定在假期购进一批50克装的两种梵净山绿茶去梵净山景区门口摆地摊进行销售，其进价与标价如表：

	梵净山翠峰茶	梵净山毛峰茶
进价（元/袋）	45	25
标价（元/袋）	60	30

（1）小华购进了梵净山翠峰茶与梵净山毛峰茶共300袋，梵净山翠峰茶按标价进行销售，而梵净山毛峰茶打九折销售，当销售完这批绿茶后可以获利3200元，求小华同学购进梵净山翠峰茶和梵净山毛峰茶各多少袋？

（2）由于景区游客较多，小华很快将两种绿茶销售完，若他计划再次购进这两种绿茶共120袋，且梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的．在不打折的情况下，如何进货，销售完这批绿茶时获利最多？求出此时这批绿茶的总利润为多少元？

【分析】（1）设小华同学购进梵净山翠峰茶x袋，梵净山毛峰茶y袋，根据“小华购进了梵净山翠峰茶与梵净山毛峰茶共300袋”和“销售完这批绿茶后可以获利3200元”列出方程组，解之即可；

（2）设小华购进梵净山翠峰茶a袋，则购进梵净山毛峰茶（120﹣a）袋，这批绿茶的总利润为w元，得到w＝10a+600，根据“梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的”列出不等式，确定a的取值范围，利用一次函数的性质可得最大利润．

解：（1）设小华同学购进梵净山翠峰茶x袋，梵净山毛峰茶y袋，根据题意得：

，

解得 ，

答：小华同学购进梵净山翠峰茶和梵净山毛峰茶各200袋/100袋；

（2）设小华购进梵净山翠峰茶a袋，则购进梵净山毛峰茶（120﹣a）袋，这批绿茶的总利润为w元，根据题意得：

w＝（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）＝10a+600，

∵梵净山翠峰茶的袋数不超过梵净山毛峰茶的袋数的，

∴a≤（120﹣a）×，

解得a≤75，

∵k＝10＞0，

∴w随a的增大而增大，

∴a＝75时，利润最大，最大值为10×75+600＝1350，此时购进梵净山毛峰茶（120﹣75）＝45（袋）．

答：小华购进梵净山翠峰茶75袋，购进梵净山毛峰茶45袋获利最多，此时这批绿茶的总利润为1350元．

五、（本大题满分12分）

24．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB＝8，AD＝16，求MD的长．

【分析】（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM＝ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根据菱形性质求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，推出x2＝x2﹣32x+256+，求出即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，∠A＝90°，

∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，

∵在△DMO和△BNO中

∴△DMO≌△BNO（ASA），

∴OM＝ON，

∵OB＝OD，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）解：∵四边形BMDN是菱形，

∴MB＝MD，

设MD长为x，则MB＝DM＝x，

在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2

即x2＝（16﹣x）2+82，

解得：x＝10，

答：MD长为10．

六、（本大题满分14分）

25．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．

（1）求该一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积；

（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b，即可得一次函数的表达式为y＝x+；

（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，故OD＝，解可求出S△BOD＝，S△AOD＝，从而S△AOB＝S△BOD+S△AOD＝；

（3）在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，可得C（﹣，0），设M（m，n），①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，即得，故M（，3）；②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，即得，从而可得M（﹣，3）；③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，故，即得M（﹣，﹣3）．

解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得：

，解得，

∴一次函数的表达式为y＝x+；

（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，

∴OD＝，

∴S△BOD＝OD•|xB|＝××1＝，

S△AOD＝OD•|xA|＝××2＝，

∴△AOB的面积S△AOB＝S△BOD+S△AOD＝；

（3）存在，理由如下：

在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，

∴C（﹣，0），

设M（m，n），而B（1，3），O（0，0），

①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：

∴，解得，

∴M（，3）；

②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：

∴，解得，

∴M（﹣，3）；

③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：

∴，解得，

∴M（﹣，﹣3）；

综上所述，M的坐标为：（，3）或（﹣，3）或（﹣，﹣3）．