高中数学第二章平面向量26平面向量数量积的坐标表示课堂北师大版4.

课堂导学

三点剖析

1.两个向量数量积的坐标

【例1】已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π)

求证：a+b与a-b互相垂直.

思路分析：要证（a+b）⊥(a-b),只要证两者的数量积为0，解题过程中要用到三角函数知识

证法一：由已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),

有a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),

a-b=（cosα-cosβ,sinα-sinβ）,

又(a+b)·(a-b)

=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)

=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0,

所以（a+b）⊥(a-b).

证法二：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),

∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2

=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)

=1-1=0.

∴(a+b)⊥(a-b).

友情提示

两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.

各个击破

类题演练 1

已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证：△ABC是直角三角形

证明:∵=（2-1，3-2）=（1，1）,

AC=（-2-1，5-2）=（-3，3）,

∴AB·AC=1×(-3)+1×3=0,

∴⊥即AB⊥AC

∴△ABC是直角三角形.

变式提升 1

已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.

解析：设b=(x,y)为所求单位向量

则x2+y2=1①

又∵a⊥b

∴a·b=(4,2)·(x,y)=4x+2y=0

∴4x+2y=0②

由①②得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.552,55552,55y x y x 或 ∴b =(5

52,55-)或b =(552,55-). 2.建立向量与坐标间的关系，体现数形结合思想

【例2】 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角. 思路分析：本题思路较多.可以由条件求出a ·(a +b )及|a +b |代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.

解法一：根据|a|=|b |，有|a|2=|b |2，

又由|b |=|a -b |,得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2，∴a ·b =

2

1|a |2. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2,

∴|a +b |=3|a |.

设a 与a +b 的夹角为θ，则 cos θ=23||3||||21||||||)(2

2=+

=++a a a a b a a b a a ， ∴θ=30°.

解法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB.

∵|a |=|b |，即||=||，∴OACB 为菱形，OC 平分∠AOB，这时=a +b ，=a -b .而|a |=|b |=|a -b |，即||=||=||.

∴△AOB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°. 友情提示

本题的二种解法是基于平面向量的二种不同的表示方法而产生的，这一点需要大家认真体会

类题演练 2

已知直角三角形的两直角边长分别为4和6，试用向量求两直角边上的中线所成钝角的余弦值

.

解析：建立如右图所示的坐标系.

则A （4，0），B （0，6），E （2，0），F （0，3）.

AF =（-4，3），BE =（2，-6），|AF |=5，|BE |=102， 50

1013101026

-=-=. ∴两中线所成钝角的余弦值为50

1013-. 变式提升 2

设a =(4,-3),b =(2,1)，若a +t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值.

解析:a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3),

(a +t b )·b =(4+2t,t-3)·（2，1）=5t+5,

|a +t b |=20)1(5)3()24(222++=-++t t t .

由（a +t b ）·b =|a +t b ||b |cos45°,

得5t+5=

4)1(5252++t , 即t 2+2t-3=0,

∴t=-3或t=1.

经检验知t=-3不合题意，舍去.

∴t=1.

3.向量垂直的等价条件的应用

【例3】 如右图，已知正方形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（5，3），则点C 的坐标是( )

A.（2，7）

B.（

23，2

15） C.（3，6） D.（25，213） 思路分析：欲求点C 的坐标，可设点C 为（x ，y ），然后利用条件建立x 、y 的方程组.注意到四边形ABCD 为正方形，所以⊥，且||=||，可用它们建立x 、y 的方程组.

解：设C 点坐标为（x ，y ），则AB =（4，3），BC =（x-5，y-3）.

∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ⊥BC ，|AB |=|BC |.

∴⎩⎨⎧=+--+=+⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+=-+-∙.09610,2934,)

3()5(34,0)3(3)5(4222222y x y x y x y x y x 即 解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==.

1,87,2y x y x 或 又∵C 点在第一象限，

∴⎩⎨⎧-==.

1,8y x 舍去.

答案：A

友情提示

求点的坐标，设出点的坐标然后建立坐标的方程组是解决这类题的常用方法.另外还可考虑几何法，作BM⊥x 轴于点M ，DN⊥x 轴于点N ，易得△ABM≌△D AN ，可得D 点坐标为（-2，

4），然后利用=+，易得C 点坐标.

类题演练 3

如右图，已知△ABC 中，A （2，-1），B （3，2），C （-3，-1），AD 是BC 边上的高，求及点D 的坐标

.

解析：设D 的坐标为（x,y ） ∵AD⊥BC,∴⊥,与共线. 又∵AD =(x-2,y+1),BC =(-6,-3),CD =(x+3,y+1).

∴⎩

⎨⎧==⎩⎨⎧=+-=-+⎩⎨⎧=+++-=+---.1,1.012,032.0)1(6)3(3,0)1(3)2(6y x y x y x y x y x 解得即 ∴D 点坐标为（1，1），∴AD =（-1，2）.

变式提升 3

以原点O 和A （4，2）为2个顶点作等腰直角三角形OAB ，∠B=90°,求B 的坐标和AB 的长

.

解析：如右图，设B 的坐标为（x,y ）,则=（x,y ）,=(x-4,y-2).

∵∠B=90°,∴OB ⊥AB ,

∴x(x -4)+y(y-2)=0,

即x 2+y 2=4x+2y.① 设的中点为C ，则C(2,1),

=(2,1),=(x-2,y-1).

∵△AOB 为等腰直角三角形，∴OC ⊥CB , 2（x-2）+(x-1)=0,即2x+y=5.② 由①②可得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==.1,

3

.3,12211y x y x 或

∴B 的坐标为（1，3）或（3，-1）， AB =（-3，1）或（-1，-3）， ∴|AB|=|AB |=10.