2021年高考真题数学(新高考II卷)(含答案)

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

1. 设集合，,则(  )

A.            

2.已知，则(  )

A.            

3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(  )。

A.2              

4.下列区间中，函数单调递增区间是（）

A.    B.   C.   

5.已知，是椭圆的焦点，点在上，则的最大值为（）

A.13                  D.6

6.若，则=（）

A.             

7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）

A.           

8.有6个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A.甲与丙互相

B.甲与丁互相

C.乙与丙互相

D.丙已丁互相

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。

9.（多选题）有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.（多选题）已知为坐标原点，点，，，，则（）

A.

B.

C.

D.

11.（多选题）已知点P在圆上，点，，则（）

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当最小时，

D.当最大时，

12.（多选题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）

A.当时，的周长为定值

B.当时，三棱锥的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点，使得

D.当时，有且仅有一个点，使得

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

13.已知函数是偶函数，则         

14.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为             

15.函数的最小值为            

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为的长方形纸，对折1次共可得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形种数为        ；如果对折n次，那么        。

四、简答题（综合题）：本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列满足，

（1）记，写出，并求数列的通项公式。

（2）求的前20项和。

18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题。每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。

已知小明能正确回答A问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关。

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列。

（2）为使累计得分的期望最大，小明应先选择回答哪类问题？并说明理由。

19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知，点D在边上，。

（1）证明：；

（2）若，求。

20.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点。  

（1）证明：。

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积。

21.在平面直角坐标系中，已知点，点M满足。记的轨迹为。

（1）求的方程。

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于于，两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和。

22.已知函数。

（1）讨论的单调性。

（2）设a、b为两个不相等的正数，且。证明：。

参：

1.B

2. C 

3. B 

4. A 

5. C 

6. D 

7. D 

8. B 

9. C,D 

10. A,C 

11. A,C,D 

12. B,D 

13. 1

14.

15. 1

16. 5; 

17.(1)因为

所以

因为

所以

则数列是以2为首项，3为公差的等差数列，

。

（3）数列的前n项和为由（1）可得数列的偶数次项为等差数列，则，

因为当n为偶数时，

所以

则数列的前20项和为

18.（1）由题意得X的所有可能取值为：0,20,100,

且，

故可得X的分布列，如图1所示：

（2）当小明先回答A类问题时，由（1）可得：

当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，

则Y的所有可能取值为：0，80，100，

且

故可得Y的分布列，如图2所示：

所以

因为即，

所以为使累计得分的期望最大，小明应先选择回答B类问题

19.（1）由正弦定理可得

而

所以

所以。

（2）

所以

因为

可得

即

即

又因为，

所以

两边同除以得

解得

若即

，

故，

所以

。

20.

（1）因为，为的中点，

所以，

因为平面平面，且平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，

所以。

（2）因为是边长为1的等边三角形，

所以

所以

因为，

所以

所以，

因为平面，

所以为平面的法向量，即

设平面的法向量为

因为，，

所以

令则

所以

因为二面角的大小为，

所以，

解得，

所以，

由（1）得平面，

21.（1）因为且

所以点M的轨迹为双曲线的右支，且满足

所以

所以C的方程为。

（3）由题意，过点T的直线斜率存在，才能保证其与C由两个交点，

设，过点T的直线方程为，

联立得到

设直线的斜率为，直线的斜率为，

所以

所以

所以，

同理可得，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

即直线的斜率之和为0。

22.（1）的定义域为，

因为，则。

所以当时，，在(0,1)上单调递增；

当时，，在单调递减。

综上所述，的增区间为(0,1)，减区间为。

（2）处理方案一：因为，所以，

即，

即。

令，，即。

由（1）可知，在(0,1)上单调递增，在单调递减，

则。

要证，

即证。

1　先证，

处理方案一（对称构造）：

要证，即证，

转化为，

即证。

设，，

则，

当时，，

在(0,1)上单调递减，则，

所以，

即，

又，则，

且在单调递减，，即。

处理方案二：

对数均值不等式

且

则，

即。

2　再证（切割线放缩）。

处理方案一（割线处理）：

由（1）可知，的极大值点为，极大值为，

设过，的直线：，且，

当时，，

与交于点，则。

当时，

在处的切线为，

当时，，

设，

与交于点，则，

与交于点，

则，

所以。