高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课后导练北师大版4讲解

课后导练

基础达标

1.设向量a =（-1，2），b =（2，-1），则(a·b)(a+b)等于( )

A.（1，1）

B.（-4，-4）

C.-4

D.（-2，-2）

解析:a ·b =-2-2=-4,a +b =(1,1),

∴(a ·b )(a +b )=(-4,-4).

答案：B

2.若向量a =（3，2），b =（0，-1），则向量2b -a 的坐标是( )

A.（3，-4）

B.（-3，4）

C.（3，4）

D.（-3，-4）

解析：依向量的坐标运算解答此题.

2b -a =（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）.

答案：D

3.已知|a |=8,e 为单位向量，当它们之间的夹角为

3

π时，a 在e 方向上的投影为（ ） A.34 B.4 C.24 D.8+2

3 解析：a 在e 方向上的投影为|a|·cos 3π=8×21=4. 答案：B

4.以A （-1，2），B （3，1），C （2，-3）为顶点的三角形一定是( )

A.直角三角形

B.等腰直角三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

解析：由已知可得=（4，-1），=（3，-5），=（-1，-4），∴||=||=17， 且由AB ·BC =-4+4=0得AB ⊥BC ，

故△ABC 为等腰直角三角形.

答案：B

5.设向量a =（3，m ）,b =(2,-1)，且a -3b 与a -b 垂直，则实数m 的值是（ ）

A.m=0

B.m=-4

C.m=0或m=-4

D.m=0或m=4

解析：a -3b =(3,m)-3(2,-1)

=(-3,m+3),

a -

b =(3,m)-(2,-1)=(1,m+1),

∴(a -3b )·（a -b ）=(-3,m+3)·（1,m+1）

=-3+(m+3)(m+1)

=m 2+4m=0,

解得m=0或m=-4.

答案：C

6.在△ABC 中，∠A=90°，AB =(k,1),AC =(2,3)，则k 的值是________.

解析:由AB 与AC 垂直，列出关于k 的方程，解方程即可得到答案. ∵∠A=90°，∴⊥. ∴·=2k+3=0.

∴k=-

2

3. 答案：-23 7.已知|a |=132,b =(-2,3)且a ⊥b ，则a 的坐标为_______.

解析:设a =(x,y)，则x 2+y 2=52,①

由a⊥b,得-2x+3y=0.②

由①②得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.

4,,6y x y x 或 答案：（6，4）或（-6，-4）

8.判断a 与b 是否垂直：

（1）a =(0,-2),b =(-1,3);

(2)a =(-1,3),b =(-3,-1)

解析:(1)a ·b =0·（-1）+（-2）·3=-6≠0,

∴a 与b 不垂直.

（2）a ·b =（-1）·（-3）+3·（-1）=3-3=0,

∴a ⊥b .

9.已知四点：A （-1，3），B （1，1），C （4，4），D （3，5），求证：四边形ABCD 为直角梯形. 证明：=（2，-2），=（1，-1），=（3，3）， ∴AB =2DC .∴AB ∥DC . 又AB ·BC =2×3+（-2）×3=0， ∴⊥.

又||=8，||=2，||≠||,

∴四边形ABCD 为直角梯形.

10.Rt△ABC 中，=（2，3），=（1，k ），求实数k 的值.

解析：（1）当∠A=90°时，易知·=0，

即2+3k=0，k=-3

2.

（2）当∠B=90°时，=-AB =（-1，k-3），易知AB ·=0，即k=3

11. （3）当∠C=90°时，·=-1+k 2-3k=0，k=2

133±. 综上可知，k 的值为-

32或311或2

133±. 综合运用 11.(2004天津高考，理3) 若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180°，且|b |=53,则b 等于( )

A.(-3,6)

B.(3,-6)

C.(6,-3)

D.(-6,3)

解析：a 与b 共线且方向相反，

∴b =λa (λ＜0).

设b =(x,y)，由(x,y)=λ(1,-2)得⎩⎨

⎧-==.

2,λλy x 由|b |=53得,x 2+y 2=45, 即λ2+4λ2=45,解得λ=-3.

∴b =(-3,6).

答案：A

12.已知平面上直线l 的方向向量e =(5

3,54-)，点O(0,0)和A(1,-2)在l 上的射影分别是O 1、A 1，则11A O =λe ，其中λ等于( ) A.511 B.5

11- C.2 D.-2 解析:方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知

λ=||cos 〈e ,〉

=56545

)2,1()53,54(5--=-∙-∙=-2. 方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e 过原点,故11A O 与e 方向相反.排除A 、C ，检验B 、D 可知D 正确.

答案：D

13.若将向量OA =（3，1）绕原点按逆时针方向旋转6

π，得到向量OB ，则向量OB 的

坐标为___________.

解析：欲求向量的坐标，可设出的坐标，然后用||=||和、的夹角为6

π，即cos ||||6OB OA =π.注意到OA 与x 轴的正方向所成的角为

6π，再逆时针旋转6π，故与x 轴正方向所成的角为3π，故可采用几何法求点B 的坐标.另外若注意到A 、B 关于直线y=x 对称，则马上得到B 点坐标. 由分析易知的坐标为（1，3）.

答案：（1，3）

14.平面上有两个向量e 1=(1,0), e 2=(0,1)，今有动点P ，从P 0(-1,2)开始沿着与向量e 1+ e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为| e 1+ e 2|;另一动点Q ，从点Q 0(-2,-1)出发，沿着与向量3 e 1+2 e 2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3 e 1+2 e 2|.设P 、Q 在t=0时分别在P 0、Q 0处，则当PQ ⊥00Q P 时，t=_________秒.

解析：∵P 0(-1,2)，Q 0(-2,-1)， ∴00Q P =(-1，-3).

又∵e 1+ e 2=(1，1),∴| e 1+ e 2|=2.

∵3 e 1+2 e 2=(3，2)，∴|3 e 1+2 e 2|=13.

∴当t 时刻时，点P 的位置为(-1+t,2+t)，点Q 的位置为(-2+3t,-1+2t). ∴=(-1+2t,-3+t). ∵PQ ⊥00Q P ，

∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.

∴t=2.

答案：2

15.已知：a 、b 是同一平面内的两个向量,其中a =(1,2).若|b |=

2

5,且a +2b 与2a -b 垂直，求a 与b 的夹角θ.

解析：∵a =（1，2），∴|a |=5. 又|b |=2

5，故|a ||b |=25. 又∵（a +2b ）⊥（2a -b ），

∴（a +2b ）·（2a -b ）=0，

2a 2+3a ·b -2b 2=0.

∴2×5+3a·b -2×45

=0，a ·b =25

-.

∴cos θ=2

52

5

||||-

=∙b a b a =-1.

又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a 与b 的夹角为π.

拓展探究

16.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，点X 为直线OP 上的一动点.

(1)当·取最小值时，求的坐标；

(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB 的值.

解析：(1)设=(x,y)，因为点X 在直线OP 上，所以向量与共线. 又=(2,1)，所以x·1-y·2=0，x=2y.所以=（2y ，y ）. 又XA =OA -OX 且OA =（1，7），所以XA =（1-2y ，7-y ）. 同理，XB =OB -OX =（5-2y ，1-y ）. 于是有·（1-2y ）（5-2y ）+（7-y ）（1-y ）=5（y-2）2-8.

所以当y=2时，·=5（y-2）2-8有最小值-8，此时=（4，2）.

(2)当=（4，2），即y=2时， 有=（-3，5），=（1，-1），||=34，||=2,

XA ·XB =-3×1+5×（-1）=-8,

所以cos∠1717

42348||||-=⨯-=XB XA .