变压器经济运行研究

中石化沧州分公司 敖文生

摘要在电力系统能量损耗中，变压器的损耗占有很大的比例，因此，全面开展变压器经济运行是实现电力系统经济运行的重要环节。本文以系统负荷预测结果为前提，针对变压器经济运行优化调度问题展开研究。在求解变压器损耗问题中，引入了潮流计算，提出了变压器各种运行方式下损耗计算的通用方案；构造出了变压器经济运行优化调度方案问题的数学模型，提出应用动态规划方法求解该问题，并给出了求解具体过程。对由两台三绕组变压器组成的系统进行计算，结果令人满意，验证了基于动态规划法求解该问题是可行的和有效的。

关键词：电力系统；配电网经济运行；变压器经济运行；动态规划；潮流计算

1引言

变压器经济运行是指在输电量相同的条件下，通过择优选取最佳的运行方式和调整各台变压器的负载，使变压器电能损失最低。由于变电所内的变压器的容量的大小不一，技术特性存在差异，以及变压器的有功损耗和无功损耗随负载呈非线性变化，特别是变电所变压器台数多，有备用的情况下，投入哪一台或者运行哪几台变压器都需要对各种组合方式进行比较判定，寻找合适的经济运行方案，即在变压器运行方式之间就存在着择优选取技术参数好的变压器和最佳运行方式的问题。当变压器运行方式已经固定时，就存在着合理调整负载，使变压器在经济运行区运行和使变压器间负载经济分配等问题；当负载固定时，就可以选择最佳的运行方式，使该系统总的损耗最小，从而提高输电效率。变压器经济运行就是充分发挥变压器的效能，合理的选择运行方式，从而降低变压器用电损耗，故变压器经济运行不用投资（或者仅用很少的投资，但是很快就能收回），只要加强供、用电科学管理，充分利用现有的设备条件，即可达到节电和提高功率因数的目的。目前，对这方面进行研究的专著和论文很丰富[1] [2][8] [9]，也涌现出了大量的成果。但是，几乎所有的研究都无一例外地将变压器经济运行问题复杂化，一般都基于给定的负荷在各台变压器之间按照变压器容量的比例分配的理想情况下，将研究重点放在变电站内变压器的差别和它们不同的运行方式，并试图逐一推导出各种情况下损耗计算的解析表达式。这种方法在变压器台数较少而且接线简单的系统中非常实用而且简单，便于理解与计算，在很多地方得到了很好的应用。用这种方法可以计算各种运行方式的损耗数值，得到不同运行方式的经济运行的负荷分界点。这样对于某一给定的负荷数值可以根据该数值所在的范围很直观的选择最经济的运行方式。但是，当变电站内变压器数目较多和接线方式较复杂时，要给出每一种运行方式的损耗计算的解析表达式是很困难、甚至是不可能的，所以一般的专著和论文都只讨论到两台三绕组变压器的运行方式为止。可行的运行方式有多种，要一一给出其损耗计算的解析表达式是非常困难的。而且每台变压器的负荷大小是依据其每条母线的负荷而定的，并不是按照变压器容量的比例分配，这样现有的方法就不能解决这样的问题。

以往的调度工作中对运行方式的选取通常都是根据已有的经验进行决策，少有精确的损耗计算做理论依据，这样就不能保证所选的运行方式是最优的，损耗最小的。现在全电网都提倡降低网损，提高输电效率，变压器的损耗在电网中占有相当大的比例，所以本文就变压器经济运行这一课题进行深入、系统的研究，旨在寻求一种科学的方法，能对调度决策给出充分的理论依据。本文对变压器经济运行问题做如下研究。

（1）提出变电站在各种运行方式下损耗计算的通用方案

由于变电站运行方式、尤其是变压器线路组合方式的不确定性，要求损耗计算的通用方案可很容易地处理任意复杂的接线方式。基于上述要求，本文将电网潮流计算方法引入变电站各种运行方式下损耗计算。变电站内各个变压器铭牌参数的差别以及各种运行方式的分别，对于电网潮流计算方法来

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说，只是网络元件的参数和网络拓扑结构不同而已，不会影响算法的通用性。采用这种算法后，在计算损耗时就不需要列写解析表达式，灵活性和适应性大大增强。同时由于不需要网络化简，计算结果更加符合实际运行情况，精确度也相应得到提高。

（2）研究多时段变压器运行方式优化调度数学模型

变压器运行方式经济调度的目的是确定一个时间段内变压器运行方式的优化方案，使该时间段内，整个变电站的损耗最小。由于变电站的运行方式不能频繁变化，同时相邻两次运行方式的变化需要一定间隔时间，这使得多时段变压器运行方式优化调度方案变成一个较复杂的多阶段相关的优化问题，求解有一定困难。为了方便寻求该问题的解答，必须构造相应的数学模型。

（3）研究多时段变压器运行方式优化调度算法 针对多时段变压器运行方式优化调度数学模型，本文确定使用动态规划法求解该问题。利用动态规划法来求解多阶段相关的优化问题是非常适合的，该算法求解的质量高，在问题规模较小时，该算法的计算速度也较快。

2 单时段变压器经济运行

研究单时段变压器经济运行的出发点就是寻求在某一负荷条件下，最经济的运行方式，即选择损耗最小的运行方式，以达到降低网损，提高输电效率目的。鉴于当变电站内变压器数目较多和接线方式较复杂时，以往的研究很难给出通用的损耗计算的解析表达式，而且会使问题复杂化，本文提出局部系统引入电力系统潮流计算的方法计算变压器的损耗，就可以很好地解决这个问题。

2.1 研究单时段变压器经济运行的数学模型

（1）目标函数

变压器经济运行的目标函数可以分为三种，分别为有功损失最小，无功损失最小和综合损失最小：

有功损失最小：min ΔP (U m ) m =1，2，L ，M 无功损失最小：min ΔQ (U m ) m =1，2，L ，M 综合损失最小：min ΔS (U m ) m =1，2，L ，M （2）约束条件

变压器容量：S bk ≤S bk k =1，2，L ，M 方式互斥：U m =1 m =1 有功潮流等式约束： 无功潮流等式约束：

（3）符号说明

ΔP （U m ）

：表示运行方式m 下变电站的有功损失；

ΔQ （U m ）：表示运行方式m 下变电站的无功损失；

ΔS （U m ）：表示运行方式m 下变电站的综合损失；

U m ：为变电站的第 m 种运行方式状态； U m ={0，1}，0表示变电站未采用这种运行方式；1 表示变电站采用这种运行方式。

M 为变电站的运行方式数目；S ki 第k 台变压器所带的负荷MVA ；S ki max 为第k 台变压器的最大容量MVA ；K 为变压器数目；P i 为节点i 的有功注入；Q i 为节点i 的无功注入；e i 为节点i 的电压实部；f i 为节点i 的电压虚部；G ij 为节点i 、j 间的导纳值；B ij 为节点i 、j 间的电纳值；N 为节点数目。 2.2 算法说明

单一时段的变压器经济运行是一个典型的潮流计算模型，可以总结为：已知变电站中各变压器的参数、高压母线电压和中低压母线所带的负荷，求各台变压器中的损耗之和；变电站中各开关的开、闭影响各元件的连接关系，形成不同的网络连接方式，单时段的变压器经济运行就是在中低压侧母线负荷已知的条件下，求解不同网络连接方式的总损耗，比较它们产生损耗的大小，得出最经济的连接方式。

由于涉及各元件的连接关系，可以通过拓扑分析，将厂站接线图转换为潮流计算使用的单线图。形成了网络单线图后，定义高压母线为平衡节点，其他节点为 PQ 节点，采用经典的潮流计算方法进行潮流计算[1][2][3]，可以得出各节点的电压以及变压器各条支路上的功率流和损耗，其中变压器高压侧的功率流可以用于判断变压器是否过负荷，累加变压器各条支路上的损耗可以得到总损耗，从而实现各种接线方式的经济性的比较。

（1）潮流计算

潮流计算[2][3]是电力系统中应用最广泛，最基本和最重要的一种电气计算。作为研究电力系统稳态运行情况的一种基本的电气计算，电力系统常规潮流计算的任务是根据给定的网络结构及运行条件，求出整个网络的运行状态，其中包括母线的电压，网络中的功率分布以及功率损耗等。潮流计算的结果，无论是对现有的系统运行方式的分析研究，还

直角坐标形式的潮流方程如下：

P i=e i∑(G ij e j-B ij f) + f ij∑(G ij f+B ij e j)

（i=1，2，L，N）（1）

Q i=f i∑(G ij e j-B ij f) - e ij∑(G ij f+B ij e j)

（i=1，2，L，N）（2）在上式中，j∈i，表示∑号后的标号为j的节点必须直接和节点i相连，并包括j=i的情况。这种形式的潮流方程称为节点功率方程，是牛顿－拉夫逊法等潮流算法所采用的主要数学模型。

牛顿－拉夫逊法潮流计算的修正方程：

1）PQ节点有：

P i -[e i(G ij e j - B ij f j)+fi(G ij f j+B ij e j)]=ΔPi=0

（i=1，2，3……n）（3）

Q i -[f i(G ij e j -B ij f j) -ei(G ij f j+B ij e j)]=ΔQ i=0

（i=1，2，3……n）（4）2）对PV节点，除了有如上（1）式相同的有功功率方程式外，还有

(U i)2-(e i2+f i2)=ΔU i2=0

（i=1，2，3，……，n）（5）所以可得采用直角坐标形式的修正方程式。

牛顿算法的核心就是反复形成并求解修正方程式。具体的解法这里不做过多的介绍。

（2）潮流计算中变压器的处理方法

1）具有非标准变比的双绕组变压器的处理方法

在用计算机做潮流计算，形成系数矩阵时，网络中的变压器的处理是一个特殊的问题。

对多电压等级的网络，各个变压器根据实际情况运行在不同的分接头。而在潮流计算中，不是按照变压器实际的变比作网络参数和变量归算，而都是按照一组选定的变比进行的，然后再对等值网络做修正，也就是修改变压器的数学模型，使得按照选定的变比所作的网络与按照实际变比所作的网络的计算结果吻合。解决这一问题的方法是将变压器本身的参数归算到一侧，而在变压器另一侧串联一个变比为T1的理想变压器，其效果就如同将变压器的参数都归算到理想变压器侧，从而实际上获得将所有参数和变量都归算到同一侧的等值网络。只要变压器的变比取的是实际变比，这样的等值网络无疑是严格的。以下讨论中假设变压器的额定容量为S N，I和J侧的分接头所在位置的电压分别为U iN、U j N，短路损耗为P k，短路阻抗为U k%，I和J侧的系统基准电压分别为U iB、U，系统的基准容量为S B。

2）三绕组变压器的处理方法

三绕组变压器的处理方法与双绕组变压器的处理方法相类似，也是串联理想变压器，只是基于自身的结构复杂，处理过程也相对复杂。以下讨论中假设变压器的额定容量为S N，S N，S N，三侧的分接头所在位置的电压分别为U1N，U2N，U3N，短路损耗为P k，P k，P k，短路阻抗为U k%，U k%，U k%，三侧的系统基准电压分别为U1，U2，U3，系统的基准容量为S B。

把一个三绕组变压器等值成有一个公共点的三个双绕组变压器，公共点的电压数值和三次侧相同，在各侧串联理想变压器，然后再按照1）节中的方式处理具有非标准变比的变压器。这样就把一个三绕组变压器等值成三个双绕组变压器，然后再用1）节中的方法做进一步的等值，以得到潮流计算中所用的参数。在潮流计算时，根据本系统的实际情况给节点分类，如果有三绕组变压器等值成三个双绕组变压器，则系统要同时增加一个虚拟节点O：三个双绕组变压器公共节点，定性为PQ节点，但是其注入有功和无功均为零值。应用潮流计算的方法进行变压器的损耗计算，避开了逐一推导变压器不同联结情况下损耗计算的解析表达式，提出变电站各种运行方式下损耗计算的通用方案，该方案可很容易地处理任意复杂变电站的复杂接线方式。变电站内各个变压器铭牌参数的差别以及各种运行方式的分别，对于复杂电网潮流计算的计算机算法来说，只是网络元件的参数和网络拓扑结构不同而已，不会影响算法的通用性。采用这种算法后，在计算损耗时就不需要解析表达式，灵活性和适应性大大增强。同时由于不需要网络化简，计算结果更加符合实际运行情况，精确度也相应得到提高。

2.3算例分析

（1）算例

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以如下图中的系统为例。 1）系统图见图

1

图1

2）图1中变压器的参数如表1

表1 变压器参数表

变压器名称 1＃变压器 2＃变压器

变压器类型 三绕组 三绕组

高压侧容量 (MV A) 31.5 31.5

中压侧容量 (MV A) 31.5 31.5

低压侧容量 (MV A) 31.5 31.5 高压侧额定电压(kV) 110 110

中压侧额定电压(kV) 37 37

低压侧额定电压(kV) 10.5 10.5

高压侧结点 1#变压器高压侧 2#变压器高压侧

中压侧结点 1#变压器中压侧 2#变压器中压侧 低压侧结点 1#变压器低压侧 2#变压器低压侧 高中短路损耗 (kW) 156 152.63999938

高低短路损耗 (kW) 155.800003051758 156.800003051758

中低短路损耗(kW) 146.600006103516 124.0999********高中阻抗电压 10.1499996185303 10.1499996185303

高低阻抗电压 17.5799999237061 17.4200000762939

中低阻抗电压 6.40000009536743 6.340000152587空载铁损(kW) 26.4 33 空载电流 0.17 0.38

短路损耗是否折算 否

否

短路电压百分 比是否折算

否

否

表2 典型负荷方式1

负荷名称 有功负荷（MW ）无功负荷（MVar ）2＃变压器中压侧负荷 6.2230034 3.320448 2＃变压器低压侧负荷 1.759060025 1.45460999 1＃变压器中压侧负荷 5.0433750153 2.717095613

1＃变压器低压侧负荷

0 0

表3 典型负荷方式2

负荷名称 有功负荷(MW) 无功负荷(MVar)2＃变压器中压侧负荷 3.2230034 1.320448

2＃变压器低压侧负荷 1.02 0.45460999 1＃变压器中压侧负荷 2.433750153 1.717095613

1＃变压器低压侧负荷

0 0

3）运行方式在如上的系统中，可行的运行方式

有10种，这里以 4 种典型的运行方式为例做以说

明：①1＃变压器单独运行；②2＃变压器单独运行；

③两台变压器运行；④两台变压器高中压侧并

列运行。 4）系统的负荷以该系统的两种典型的负荷为例做计算说明。 （2）计算结果（见表4、表5） 计算结果分析：①在典型负荷方式1下，有功损

耗最小的是：高中压并列运行，有功功率损耗为0.0998MW ；②在典型负荷方式2下，有功损耗最小的是：1号变单台运行，有功功率损耗为：0.0411MW ；③在典型负荷方式1下，无功损耗最小的是：高中压并列运行，无功功率损耗为：1.1816MVar ；④在典型

负荷方式2下，无功损耗最小的是：高中压并列运行，

无功功率损耗为：0.4034MVar 。

（3）表6、表7、表8是该系统5h 的负荷数值 单点分析结果：①在3点负荷下，有功损耗最小的是：1号变单台运行，有功功率损耗为：0.0339MW ；②在3点负荷下，无功损耗最小的是：1 号变单台运行，无功功率损耗为：0.2428MVar 。

表4 典型负荷方式1计算结果

典型负荷名称 典型负荷方式 1

运行方式名称

高中压侧并列运行

运行

2＃变压器单独运行

1＃变压器单独运行

有功铁损（MW ） 0.0594 0.0594 0.033 0.02 无功铁损（MVar ） 0.17325 0.17325 0.1197 0.05355 有功铜损（MW ） 0.040393475 0.0762396260.076239626 0.075342846 无功铜损（MVar ） 1.008386554 2.010850918 2.010850918 2.018000705 有功总损耗（MW ） 0.099793475 0.1356396260.109239626 0.101742846 无功总损耗（Mvar ） 1.181636554 2.184100918

2.130550918

2.071550705

典型负荷名称典型负荷方式 2

运行方式名称高中压侧并列运行运行2＃变压器单独运行1＃变压器单独运

行有功铁损（MW） 0.0594 0.0594 0.033 0.02

无功铁损（MVar） 0.17325 0.17325 0.1197 0.05355

有功铜损（MW） 0.008731475 0.01510349 0.01510349 0.014734348

无功铜损（MVar） 0.230100927 0.43342940.4334294 0.435408239

有功总损耗（MW） 0.068131475 0.07450349 0.04810349 0.041134348

无功总损耗（MVar） 0.403350927 0.60667940.5531294 0.4858239

表6有功负荷值

负荷名称 0

点 1

点 2

点 3

点 4

点 5

点

2＃变压器中压侧负荷 6.954461 6.87719 6.99354 6.14223 8.087354 8.2829

2＃变压器低压侧负荷 1.55609 1.55609 1.72523 1.75906 1.82672 2.06352 1＃变压器中压侧负荷 5.68 5.625 5.72175 5.43375

6.616926 6.77655 1＃变压器低压侧负荷 0 0 0 0 0 0

表7无功负荷值

负荷名称0点1点2点3点4点5点2＃变压器中压侧负荷 3.359961 3.047407 3.125546 3.3204 3.906936 3.985075 2＃变压器低压侧负荷 1.28547 1.3193 1.45461 1.45461 1.52227 1.75906 1＃变压器中压侧负荷 2.749059 2.493333 2.5572 2.717096 3.196584 3.260516 1＃变压器低压侧负荷0 0 0 0 0 0

表8单点计算结果（以3点为例）

时间点 3 点

运行方式名称高中压侧并列运行运行2＃变压器单独运行1＃变压器单独运行

有功铁损（MW） 0.0594 0.0594 0.033 0.02

无功铁损（MVar） 0.17325 0.17325 0.1197 0.05355

有功铜损（MW） 0.003781665 0.003781466 0.007612919 0.007545617

无功铜损（MVar） 0.094390529 0.094368416 0.188870294 0.1257097

有功总损耗（MW） 0.063181665 0.063181466 0.040602919 0.033945617

无功总损耗（MVar） 0.2670529 0.267618416 0.308570294 0.242807097

（4）结论

1）在一个变电站系统中，做变压器运行经济性研究时引入潮流算法，只要将厂站接线图转换为潮流计算使用的单线图，定义不同运行方式下各元件的连接关系，就可以使用统一的损耗计算的通用方案，这样的方案可很容易地处理任意复杂的接线方式。计算损耗时就不需要分别列写每种运行方式的变压器损耗的解析表达式，灵活性和适应性大大增强。同时由于不需要网络化简，计算结果更加符合实际运行情况，精确度也相应得到提高。比如在上面的算例中，不同的运行方式对于同一个网络来说只是不同元件的连接方式不同而已，而对于计算本身来说却只是参数不同而已。这样就大大的简化了计算过程，便于形成软件，提高计算的速度。

2）在以往的研究中有一个很重要的概念：变压器经济运行区间。这一概念的提出是基于如下的前提的：①对一个变电站来说，给定的是一次侧的总负荷；②对于不同变压器连接方式来说，负荷在各台变压器之间的分配是以变压器间的经济负载系数为比例的；③对于一台变压器来说，负荷在各侧的分配是本身的经济负载系数为比例的；在这样的前提下，根据变压器负载的分配系数变化情况和负载变化情况，绘制变压器经济运行区间图，在每一个区间内，以变压器的某一种界定的运行方式运行损耗最少，即该种运行方式为最经济，各区间的分界点为经济运行分界点。基于这一概念，可以计算得到如上系统中四种运行方式的经济运行区间如下。

四种运行方式为：①1＃变压器单独运行；②2＃变压器单独运行；③两台变压器运行；④两台变压器高中压侧并列运行。

经济运行区如下：①0～22MVA，1＃变压器单独运行；②23～62MVA，两台变压器运行。

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3）这种经济运行区间的概念在变压器经济运行理论研究中有着非常重要的意义。但是在实际工作中，负荷预测给定的不是总的负荷数值，而是各侧的负荷大小，这一数值是根据实际需要而来的，往往和变压器间的经济负载系数相差很远，就一台三绕组变压器而言，其二次侧和三次侧的负荷比例也很难和自身的经济负载系数相匹配。这样就很难应用经济运行区间的概念来判断运行的经济性。见表9、表10。

在该系统中，给定如下两种预测负荷结果：

表9 负荷（1）

负荷名称

有功负荷 (MW)

无功负荷 （MVar ）

2＃变压器中压侧负荷 14.2230034 8.320448 2＃变压器低压侧负荷 8.759060025 5.45460999 1＃变压器中压侧负荷 5.0433750153 2.7170956131＃变压器低压侧负荷 0

表10 负荷（2）

负荷名称

有功负荷 （MW ）

无功负荷 （MVar ）

2＃变压器中压侧负荷 11.2230034 7.3204482＃变压器低压侧负荷 5.759060025 3.454609991＃变压器中压侧负荷 8.032215 4.5057556031＃变压器低压侧负荷 3.011111 3.21134001

对如上的两组预测负荷数值来说，总的负荷数值完全相同：

∑P =28.4446650743 ∑Q =16.492600083

按照经济运行区间的划分，应该是两台变压器运行，更经济。但是，对于负荷（1）来说，两台变压器运行时，2＃变压器已经过负荷，这时候选择两台变压器高中压侧并列运行更经济。对于负荷（2）来说，两台变压器运行很经济。由此可见，在做变压器经济运行的理论研究时，经济运行区间这一概念很便于说明问题。但是在实际工作中，一方面给定的不是一次侧的总的负荷数值，而是中压和低压侧的负荷，另一方面这些负荷的数值是源于实际供电的需要，所以一般都不满足经济负载系数的要求，这样在工作中，经济运行区间只能作为做决策时的一个很好的参考。不能作为决策的依据。

4）在变压器经济运行这一问题中应用潮流计算的方法计算变压器的损耗，因为系统结构比较简单，系统参数的匹配问题在设计之初都会考虑比较周到，所以在潮流计算时不会出现病态潮流，适用性

很强；在计算过程中，潮流计算有不可比拟的优越

性，由系统自身的特点决定计算量不大，很容易得到不同负荷数值下不同运行方式的损耗的大小。而且把潮流计算的结果作为做决策的依据更精确，更科学。在多时段的变压器经济运行问题中这一优越性表现得更突出。

5）变压器经济运行这一问题中应用潮流计算的方法计算变压器的损耗，可以得到各点负荷下系统精确的损耗数值；但是这一方法不便于得到不同运行方式的经济运行区间。需要按照系统经济负载系数把一次侧的总的负荷分配到变压器各侧，然后再通过潮流计算得到不同运行方式的损耗大小。这样循环的计算可以得到不同运行方式的经济运行区间，计算结果不是很精确。但是这一计算量会非常大。但是以前的方法却可以很容易的解决这一问题。

3 多时段的变压器经济运行

研究变压器经济运行的主要目的是为了给调度决策提供科学的依据。调度人员做运行方式决策的依据是某负荷点一段时间内的负荷预测的结果。在实际工作中，调度工作需要确定的是某一负荷点在一个时间段内（一天，一周等）变压器运行方式的优化组合方案，使该时间段内，整个变电站的功率损耗最小。由于变电站的运行方式不能频繁变化，同时相邻两次运行方式的变化需要一定间隔时间。这就要求做决策的时候，不仅要在每一个阶段选择最优的运行方式，而且在整个的时间段内，要保证决策的最优。因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，不能简单的选取本阶段的最佳的运行方式，它依赖于当前面临的状态的选择，又影响以后的状态的选取。这就使得多时段变压器运行方式优化调度方案的确定变成一个较复杂的多阶段的决策问题。动态规划方法是解决多阶段的决策问题的最佳的方法。动态规划方法是运筹学的一个分支，它是解决多时段决策过程最优化的一种数学方法。1951年，由美国数学家R.Bellman 等人提出来的，用于解决多阶段决策问题。主旨是把多阶段决策问题变换为一系列相互关联的单阶段问题，然后逐个加以解决，当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的决策。动态规划法在很多领域内都得到了很好的应用，也很好的解决了一些实际的问题。因此，把动态规划法用于解决多时段变压器运行方式优化调度方案这一问

题，可以很方便的优化所求解的负荷点在一段界定时间内的最优运行方式。

3.1多时段的变压器经济运行的数学模型

（1）目标函数

有功损耗最小： min∑TΔP t（U mt） t=1

无功损耗最小： min∑tΔQ（U mt） t=1

综合损耗最小： min∑ΔS（U mt） t=1

（2）约束条件

变压器容量：S bit≤S bit max

方式互斥：M∑U mt=1m=1

有功潮流等式约束：

P it=e it∑(G ij e jt-B ij f)+f it∑(G ij f+B ij e jt) i=1，2，L，N 无功潮流等式约束：

Q it=f it∑(G ij e jt-B ij f)-e it∑(G ij f+B ij e jt) i=1，2，L，N

变电站运行方式变化次数，运行方式最小持续运行时间。

（3）符号说明

T：时段数目；

Mc：在T时段内运行方式允许变化的次数；

T m1：运行方式m最小持续运行时间。

其他参数的说明参见2.2。

3.2动态规划原理

动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多时段决策过程最优化的一种数学方法[11～12，16～20]。这种方法在工程技术，企业管理，工农业生产等领域都有广泛的应用，是现代企业管理中一种重要的决策方法。特别是处理一些离散性的问题时，该方法是非常行之有效的。动态规划方法所研究的问题是与时间或空间相关的，它研究的是具有多阶段决策过程的一类问题，将整个问题按照时间或者空间的特征而分成若干个前后衔接的时空阶段，把多阶段决策问题表示为前后有关的一系列单阶段决策问题，然后逐个加以解决，从而求出整个问题的最优决策序列。所以很适合用来解决多时段的变压器优化问题。动态规划法是求解多阶段决策问题的一种序列递推算法，它的基础是理查德·贝尔曼提出的最优化理论，动态规划的最优化原理可叙述为：“对于整个过程的最优化策略具有这样的性质，即无论过去的状态与决策如何，对于前面的决策形成的状态而言，余下的决策必须构成最优策略”。应用动态规划方法求解问题时，有一个很重要的条件即：如果某阶段的状态给定后，则在这个阶段以后的过程的发展不受这个阶段以前各状态的影响。即过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展，当前状态是以往历史的一个总结。这个性质称为无后效性。（即：马尔科夫性）。因此，在用动态规划方法求解问题时，选取的状态变量如果仅仅描述过程的具体特征，则并不是任何的实际过程都能满足无后效性的要求。所以在构造决策过程的动态规划模型时，不能仅由描述过程的具体特征这一点去规定状态变量，而是要充分考虑是否满足无后效性的问题。如果状态的某种规定方式不能满足这样的要求，必须适当的改变状态的规定方法，或者做适当的处理，使之达到能满足无后效性的要求。下面对用动态规划方法求解问题作详细的说明。

假设一个过程可以划分为n个阶段，每个阶段有多种可能的状态。

X ij：表示阶段i的第j种状态；

F ij：表示从初始状态X0出发到阶段i的第j种状态所获得的累计最优指标函数值；

U i，j，k：表示从阶段i -1的第j种状态变为阶段i的第k种状态的改变，它代表一种决策。

x i，j，k：表示从阶段i-1的第j种状态转变为阶段i的第k种状态的指标函数。

从初始状态X0出发，可以经过决策U1，0，0，U1，0，1，U1，0，L分别形成状态，

X1，0，X1，1…X1，l。在初始状态X0，F0＝０。在第一阶段，

F1，0= F0，0+ x1，0，0

F1，1= F0，0+ x1，0，1

到达第二个阶段，对于状态X20可以由阶段１的状态X1，0，X1，1 ，KX1，L分别经过决策U2，0，0，U2，1，0，KU2，1，0到达，F2，0可有以下多种不同的计算过程得到：

F2，0 = F1，0+ x2，0，0

F2，0 = F1，1+ x2，1，0

在不同的计算过程中，必然存在一个X1，j，使得F2，0= F1，j+ x2，j，0最小，F2，0的值就取该值，此时记录下状态X1，j。同理，状态X2，1可以由阶段１中的状态X1，X1，KX1经过决策U2，0，U2，1，KU2，L到达，在计算对应于状态X2，1，累计函数F2，1时，必然存在着一个状态X1，1，使得F2，k= F1，1+ x2，k，1最小，F2的值就取该最小值，同时要记录下一状态X1，k，依次类推，可以求得第二阶段所有状态下的最优累计数；可以寻找到上一个阶段的一个状态，从该状态出发，使

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得F 3最小。

由上述的计算过程可以看出，动态规划算法把多阶段的决策问题转化成多个单阶段的简单问题来处理，因此可以将求解多阶段决策问题大大简化。动态规划法求解多阶段决策问题过程中体现了多段最优决策的一个重要规律，即所谓的最优化原理，它是动态规划的理论基础。到达某一阶段某种状态，可经过多种不同的决策序列到达，因而就有多种不同的最优化累计指标函数值，而采用动态规划法计算，所采取的决策序列必然为到达该状态序列，这不等于说该序列是整个过程的最优决策序列，它只是一种局部最优决策序列，但它是寻找到达下一阶段某种状态的最优决策序列的基础，它是下一阶段某种状态的一种可能最优的初始状态。为了能够正确地构造动态规划法，需要考虑下述问题：①首先需要把问题恰当地划分成多阶段决策问题，一般可以按照问题的时间或空间的自然特性划分；②正确地选择状态变量和决策变量。状态变量的选择是动态规划法的关键的一步，状态变量要满足无后效性（即：多阶段决策过程过去的历史决定当前的状态，并通过当前的状态对以后的决策产生影响，不管以前的历史是如何进行的，只要从当前状态出发，可以做出下一步的最优决定）。若不满足无后效性，则不能由本阶段状态唯一确定下一阶段的状态，不能保证优化的结果；③正确地描述状态转移过程，并列出状态变量之间的递推关系。

3.3 多时段变压器运行方式优化调度方案

多时段变压器运行方式优化调度方案的确定，是在已知可供选择的运行方式的条件下，以负荷点的各个时段的负荷预测结果为前提，以负荷点潮流计算结果为基础的。要求解的是以全时段的功率损耗最小为目标函数的各计算点的决策集合。对于一个有n 台变压器可以用来调度调节的系统来说，其可供选择的运行方式是有限的，一方面和变压器数量相关，另一方面和系统的接线方式也直接相关，如果系统接线复杂，变压器数量多，可供选择的运行方式就会很多。比如对于第二章的算例中的系统而言，可供选择的运行方式有10种。如果在每一个时段对所有的方式进行计算，计算量会非常大，由于各时段可供选择的运行方式很多，各时段间的状态转移也会特别多，寻找最优决策序列也将耗费大量时间。在实际工作中在某些计算点，有些运行方式一定是不可选的，比如上一章算例的系统中，如果中、低压侧的负荷值都很大，超出了任何一台变压器的最大容量，这种情况下，变压器单台运行方式就一定是不可取的。因此，在做优化过程中，结合实际情况对可供选择的运行方式加以选择，这样可以大大的减少计算量，也得计算时间不会过长，占用内存不会太大。

运行方式数目一般可以按照以下的原则选择：①根据系统负荷预测和潮流计算的结果，确定一些一定不可行的方式；②考虑上一周期末的运行方式。由于受到运行方式的最小连续运行时间的，上一周期末有些运行方式连续运行时间小于最小连续运行时间，在本周期内的一定时间段内必须保持，直至满足最小连续运行时间；③由于某些特殊情况，某些变压器必须运行或者必须停运的或者必须保持某一种运行方式。经过这样的选择，大大减少了各时段的可供选择的运行方式的数目。

（1）多时段变压器运行方式优化调度方案最优路径的求解

通过潮流计算可以求出各阶段各种运行方式的功率损耗数值，多时段变压器运行方式优化调度方案的目标是，在此基础之上的，考虑变压器运行方式等的约束条件下，在整个周期内寻找一个状态序列，使到达周期末的累计总的功率损耗最小。这里把这个使得总功率损耗最小的状态序列称为最优路径。应用动态规划的方法求解多阶段决策问题很重要的一步就是定义状态变量，所定义的状态变量必须满足无后效性。第一种定义状态变量的方法是以变压器的运行方式做为状态变量，这种定义方法有一个问题就是在一定的时间内，变压器运行方式改变的次数不能超过允许值，即下一个点的状态变量的选取要受到在此之前的状态变量选取的。也就是说，在该问题当中，每个状态的决策集合的选取不是任意的，而是受到以前所选择的状态变量的制约，即存在着“后效性”问题。这样的定义方式不能用动态规划方法求解该问题。第二种状态变量的定义方法，以变压器某种运行方式持续运行时间作为状态变量，第一次选择某一运行方式时，该方式的运行时间为零，不是第一次选择该方式时，该方式的运行时间为正数。这样定义了状态变量后，前后状态之间就没有了约束关系

（2）多时段变压器运行方式调度方案的求解过程

对一个变压器系统来说，系统总的可能的运行

逆序方法寻找最优路径时，首先在第K阶段的所有的保留方案中，搜索累计功率损耗最小的一个，即目标函数值V(X i(K))最小的一个。假设搜索到最小的累计功率损耗最小为：V(X i(K))，此时可以知道该目标函数对应的状态变量，也就知道了对应的变压器的运行方式以及该运行方式下的功率损耗，同时也可以得到状态变量X i(K)是由(K-1)阶段的第MX i(K)状态转移而来的；在(K-1)阶段，在其阶段变量中寻找由K阶段确定的状态变量X m(K-1)对应的累计功率损V(X m(K-1))和X m(K-1)对应的变压器的运行方式以及该运行方式下的功率损耗，同时也可以得到状态变量X m(K-1)是由(K-2)阶段的第MX m(K-1)状态转移而来的；依次向后逆推，就可以得到各个时段的变压器的运行方式以及该时段的累计功率损耗。即可以得到全时段的最优的方案。在调度工作中，需要确定最优的运行方案，通常也需要对不同的调度方案做经济性能分析，以便保证所选择的方案更符合实际工作的需要。在上述用正序法求解最小功率损耗过程中，由计算过程可知，在计算到第K阶段时，除了可以求得一个全过程的最优路径外，同时还可以得到对应于不同的状态变量的一族保留最优路径。所以在上述计算结束后，可以选取一组方案，比如按照目标函数值的大小顺序选择前10种方案作为最后的保留方案，用以比较分析各种方案的优劣性等，再用逆序方法依次寻求这一组方案的路径。

3.4算例分析

以如下简单的系统为例，对用动态规划方法求解多时段变压器运行方式优化调度方案这一问题作以下说明。变压器的参数：见2.4中表1。

（1）系统的运行方式

在如上的系统中，可行的运行方式有如下 10 种，分别编号如下：

1）1＃变压器单独运行；

2）2＃变压器单独运行；

3）两台变压器运行；

4）两台变压器高中压侧并列，低压侧分列运行；

5）两台变压器高低压侧并列，中压侧分列运行运行；

6）两台变压器高压侧并列，中低压侧分列运行；

7）两台变压器并列运行；

8）两台变压器高压侧分列，中低压侧并列列运行；

9）两台变压器高中压侧分列，低压侧并列列运行；

10）两台变压器高低压侧分列，中压侧并列列运行。

（2）关于动态规划方法求解多时段变压器经济运行问题的说明

最佳运行方式为1号变单台运行；9－14点，最佳运行方式为两台变压器高中压侧并列，低压侧分列运行；15－18点，最佳运行方式为1号变单台运行；19－21点，最佳运行方式为两台变压器高中压侧并列，低压侧分列运行；22－23点，最佳运行方式为1号变单台运行。

在给定的约束条件下，在每一个状态的可行路径的选取是受的。也就是说，在实际运行约束之下，选取一段时间内的最优方案时，并不是在每一点都可以选取该点损耗最小的运行方式，而是权衡实际运行的需要以及相邻状态变量转移的制约条件，选取该时间段内总的损耗最小的方案。

在每个计算点根据负荷预测的结果和界定的约束条件，可以确定每个阶段的可行的运行方式，从而就可以确定该阶段的状态变量。在此基础之上，应用动态规划方法，就可以很容易解决多时断变压器经济运行方案求解问题。在求解过程中，不仅可以得到所求时间段内最优的调度运行方案，而且可以得到所求时间段内对应每一个状态变量的一个最优方案，这样便于分析比较不同方案的经济性以及各自的优越性所在。便于解决工作中的实际的问题。很有实际意义。

因为有运行方式改变次数和持续时间的约束，比如，一般在实际工作中，在一天内运行方式只允许改变两次，运行方式持续时间不小于10h，所以求解过程中保留可能的最优的方案不会灾难性的增

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长。比如：假设一个复杂系统可能的运行方式有100种，运行方式持续时间不小于10h ，每小时选择4各计算点，在计算过程中，每个计算点对应于所有的可能的状态变量有4000种，即可能保留的最优路径最大只有4000个；而且由于变压器存在着不能过负荷等，实际可行方案会远远小于该数值的。而在用计算机求解的过程中，由于计算过程相对简单，对于这样的计算，可以很容易进行。因此，用动态规划方法求解这样的问题，可以得到满意的结果。

求解多时段变压器运行方式优化调度方案问题，以负荷点潮流计算结果为基础，基于潮流计算可以求得该负荷点在不同的负荷条件下精确的损耗数值，这就使得该问题的求解是建立在精确计算的基础之上的，因此求得的最优方案以及最优方案的损耗数值也更接近于精确数值。可以给调度决策提供科学的依据。

用动态规划方法求解该问题时，对多时断变压器经济调度问题进行了分时段的处理，把这个多时段，多约束的复杂问题的求解转化成求解多个单时段的问题，选择变压器运行方式持续时间作为状态变量，避开了各阶段在做决策时相互之间的制约关系，即避开了该问题中的“后效性”，而且使求解过程大大简化。

4 结论

本文深入的探讨了变压器经济运行这个存在已久的优化问题，主要从单时段变压器经济运行和多时段变压器运行方式优化调度两方面开展研究工作。在解决单时段变压器经济运行问题中引入了潮流计算方法，形成变电站在各种运行方式下损耗计算的通用方案。用该方案做系统的损耗计算时，系统不同运行方式只是各元件的连接关系不同而已。因此只要给定不同运行方式的元件连接方式，给定系统的负荷预测的结果，就可以精确的计算出系统的损耗。应用这一方案可以很容易地处理任意复杂的接线方式。这一通用算法的提出，回避了以往研究这一问题时，逐一推倒每种运行方式的损耗计算公式的弊端，大大增强了算法的灵活性和适应性，简化了计算过程。实际工作中变压器运行方式经济调度问题

需要确定的是一个时间段内变压器运行方式的优化方案，而且受约束于变电站运行方式改变次数和运行方式持续运行时间，这使得多时段变压器运行方式优化调度方案变成一个较复杂的多阶段相关的优化问题。本文在研究该问题时，构造出了多时段变压器运行方式优化调度数学模型，该模型和算法没有关系，可以使用多种优化算法对其求解。针对上面提出优化调度数学模型，本文中确定使用动态规划法求解该问题。该方法解决问题时状态变量必须满足‘无后效性’的条件。

鉴于多时段变压器运行方式优化调度中后续点的运行方式的选取要受到在此之前所选的运行方式的制约，即如果以变压器运行方式为状态变量，各点的状态变量的选择过程存在“后效性”，因此在用动态规划方法解决这一问题时，本文提出以运行方式运行的时间作为状态变量，这样，下一个阶段状态变量的选取就只和本阶段的状态变量相关联，而与此前的状态变量无关，即这样选取的状态变量在选定条件下是无后效性的，就可以用动态规划方法求解调度方案。在2.4和3.4的算例分析中，应用以上的方法进行计算，很容易就可以得到精确的计算结果。这一结果证实了该方法在解决变压器优化运行问题中是切实可行的。

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