北师版数学七年级上册一元一次方程经典例题

教学重点：

1、一元一次方程和方程的解的概念；

2、理解和应用等式的性质；

3、找相等关系列一元一次方程，用合并、移项解一元一次方程；

4、去括号法则在解方程中的熟练应用；

5、利用“去分母”将方程作变形处理；

6、建立方程解决实际问题，会解 “ax＋b=c”类型的一元一次方程。

7、将实际问题抽象为方程，列方程解应用题。

精例精析

例1、判断下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？

 (1)1+2=3 ；  (2)；  (3) =0；

 (4) R2；    (5)；     （6）

分析：判断一个式子是不是方程，第一要看是不是含有未知数；第二要看是不是等式；判断方程是不是一元一次方程，第一要看是不是只含有一个字母（看作未知数）；第二要看，未知数的次数是不是都为1.

解：方程：(2)； (3) =0；(5)；（6）

   一元一次方程：(2)；(5) 

【小结】：在运用定义进行判断时，通常可从正反两个方面着手：完全符合条件的，必属所定义类别；只要有一个条件不符合，必不属于所定

例2、已知是关于的一元一次方程，求的值.

分析：本题的解题关键是紧扣一元一次方程系数和指数的，建立相应全面的数量关系.

解：由题意可知该方程是一元一次方程，所以二次项的系数必须为0，

即，;

而一次项系数，则，

综合以上， 

【小结】：正确识别一元一次方程应注意以下几点：（1）只含有一个未知数：（2）未知数的次数是1（若次数不是1的项，其系数必须为0）；（3）未知数的系数不为0.

例3、解下列一元一次方程：

（1）           （2）

分析：将方程中含有未知数的项移到左边，把常数项移到右边，通过合并，把系数化为1就可以求出方程的解.

解：（1）

移项，得： 

合并同类项，得： 

系数化为1，得： 

（2）

移项，得： 

合并同类项，得： 

系数化为1，得： 

【小结】：（1）合并同类项：合并是指根据分配律，把含的几项合并成一个式子.如： 

（2）移项：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫做移项，这个法则叫做移项法则，利用移项求出方程解的方法叫做移项法.移项的根据是等式的性质.

例4、解方程

 (1)；  (2).

分析：与前面学过的方程相比，本题多了括号，只要能去掉括号，就转化为已经学过的问题了；含有多重括号的方程，在解题过程中应按照由内到外（或由外到内）的顺序依次去括号.

解：（1）去括号，得： 

        移项，得： 

        合并同类项，得： 

        系数化为1，得： 

   （2）去中括号，得： 

        去小括号，得： 

        移项，得： 

        合并同类项，得： 

        系数化为1，得： 

【小结】：去括号法则：括号外的因数是正数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反；有多重括号时，要按照由内到外（或由外到内）的顺序依次去括号.

例5、解方程

 （1）；   （2）

分析：与前面学过的方程相比，本题多了分母，如果能去掉分母就可以转化为整式方程；方程中含有小数，特别是分母含有小数，计算起来比较麻烦。解这类方程时，先利用分数的性质把分子、分母同时扩大相同的倍数.

解：（1）去分母，得： 

          去括号，得： 

          移项，得： 

          合并同类项，得： 

          系数化为1，得： 

   （2）利用分数基本性质去掉分母中的小数，得：

         去分母，得： 

         去括号，得： 

         移项，得： 

         合并同类项，得： 

         系数化为1，得： 

【小结】：去分母的方法：对于含有分数系数的方程，可以运用等式的性质2，在方程的两边同乘以所有分母的最小公倍数，将方程化为整系数的方程.这种化简的方法叫做去分母.

例6、解方程

 （1）；   （2）

分析：与前面学过的方程相比，本题多了分母，如果能去掉分母就可以转化为整式方程；方程中含有小数，特别是分母含有小数，计算起来比较麻烦.解这类方程时，先利用分数的性质把分子、分母同时扩大相同的倍数.

解：（1）去分母，得：10x－5（x－1）=20－2(x－3)

        去括号，得：10x－5x+5=20－2x+6

        移项，得：10x－5x+2x=20+6－5  

        合并同类项，得：7x=21

        系数化为1，得：x=3

   （2）利用分数基本性质去掉分母中的小数，得：

         去分母，得：4（x－1）－0.8x=1.2

         去括号，得：4x－4－0.8x=1.2

         移项，得：4x－0.8x=1.2+4  

         合并同类项，得：3.2x=5.2

         系数化为1，得：x=

【小结】：（1）在解方程时，应注意观察方程的特点，根据方程的特点，灵活把握求解的方法步骤；（2）求解过程中的步骤并不是固定不变的；

（3）通过解方程体验转化思想.

例7、学校新进一批教学设备，共由若干个小箱组成，让七（1）班的学生去运，若每人8箱，还余36箱；若每人10箱，还缺少44箱. 问这批设备共有多少箱？这个班有多少人？

分析：若设这批设备为未知数，那么相等关系是“表示七（1）班多少人的两个不相同的式子”；同样可以设七（1）班的人数为未知数。

解：设七（1）班有名学生，则这批设备可以表示为箱或箱，根据题意列方程，得：

 移项，得：  

 合并同类项，得： 

 系数化为1，得：，那么

答：这批设备有356箱，这个班有40人.

【小结】：列一元一次方程解实际问题找等量关系是关键， 注意抓住基本等量关系：表示同一个量的两个不同的式子相等。 

例8、根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km,求提速后的火车速度.(精确到1km/h)

解：设提速后的火车速度是x km/h，根据题意，得：

2.3(x－260)=0.6x,   解得x=352.

答：提速后的火车速度是352km/h.

1、总结：解较简单的一元一次方程的步骤：

①移项：将常数项放在等号的右边，未知数的项放在等号的左边；

②合并：将同类项进行合并，一般要逆用分配律；

③系数化为1：用等式的性质2，化成的形式.

2、列方程解应用题的一般步骤：（1）设恰当的未知数，并用表示相关的量；（2）根据相等关系列一元一次方程；（3）解一元一次方程；（4）作答.

3、去括号解方程时，一是：要注意不要漏乘项，二是：当括号外的因数是负数时，要注意去掉括号后的各项都要变号．

例题变招

例9、已知方程，求整式的值.

分析：如果按照解含分母的一元一次方程的一般步骤，最小公分母就会比较大，给我们计算带来麻烦，再观察已知方程和要求整式，方程中含有，整式中含有，它们只相差个负号.

解：由，

得：，即： 

原整式=

【小结】：对于解分母比较大的方程，应该首先观察方程的结构特征，然后运用技巧根据特征可以简化计算.

例10、已知关于x的方程和有相同的解，求这个相同的解.

解：甲的研究    先用a分别表示两个方程的解，再求出a，从而解出x.

           由得：7x=2a，    ①   ∴ x=.

           由得：21x=27－2a,  ②   ∴ x=.

           ∵两个方程的解相同，∴=，a=.

           ∴相同的解为x==×=.

 乙的探究    ①×3，得：21x=6a.       ③

           由②③知，27-2a=6a, ∴a=.   ∴ x==×=.

 丙的探究    由①得：a=，   ∴，解得：x=.

【小结】：解答此类题目首先要用含有字母的式子表示方程的解，然后根据特征计算出结果；本题采用了三种方法求出了x的值，请同学们比较一下哪种方法简单。

中考直通车

例11、去年秋季以来，我市某镇遭受百年一遇的特大干旱，为支援该镇抗旱，上级下拨专项抗旱资金80万元用于打井．已知用这80万元打灌溉用井和生活用井共58口，每口灌溉用井和生活用井分别需要资金4万元和0.2万元，求这两种井各打多少口？

解：设灌溉用井打x口，生活用井打58－x口，由题意得：

                  4x+0.2(58－x)=80

           解得：x=18        那么58－x=40

答：灌溉用井打18口，生活用井打40口．

【小结】：找等量关系是关键，注意抓住基本等量关系：总量＝各部分量的和。

例12、在长为10m,宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．

解：设小矩形的长为x m，由题意得：

             10－x=8－（10－2x）

           解得：x=4   那么10－2x=2

答：小矩形花圃的长和宽分别为4m, 2m.

四、归纳小结

 1、解一元一次方程的一般步骤：

①去分母，注意方程中所有项都乘以最小公倍数.

②去括号，注意括号前的数和符号一起与括号内每项相乘.

③移项，注意移的项变号，未移的项不变.

④合并同类项，注意未知项的系数相加作为未知项的系数，常数项合并作常数项.

⑤系数化为1，方程两边都除以未知项的系数或都乘以未知项系数的倒数.

注意：上述步骤不是一成不变的，要根据方程的特点，灵活处理，如有时可以先合并同类项再移项。

2、解决较复杂的一元一次方程问题时，要灵活运用分类思想和整体代换思想。

3、知识总结

例13、某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的.问每个仓库各有多少粮食？

解：设第二个仓库有x吨粮食，则第一个仓库有3x吨粮食，根据题意，得：     x+20= (3x－20)

解得：x=30     那么3x=90

答：第一个仓库有90吨粮食，第二个仓库有30吨粮食.

【小结】：在解答应用题时，若题中出现“几倍”、共、多、少、快、慢、提前、超过、增加、相差等含数量关系的句子，应抓住它们进行分析，以使相等关系显现出来.

例14、某种商品的标价是650元，打8折销售，仍可获得4%的利润，这种商品的进价是多少？

分析：打折是相对标价而言，而利润率是相对于进价而言，本题的等量关系是：售价－进价 =利润=进价×利润率. 

解：设进价为x元，则：650×80%－x=4%x. 

解得： x=500 

经检验，符合题意. 

答：这种商品的进价是500元.

【小结】：商品的利润率问题常见数量关系：利润率=﹪；利润=售价-进价；注意事项：分清利润与利润率；打几折就是按原价的百分之几十后出售.

例15、储户到银行存款，一段时间后，银行要向储户支付存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的20%.

（1）将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时可得到利息_________元.扣除个人所得税后实得________元；

（2）小明的父亲将一笔资金按一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时，扣除所得税后得本金和利息共计71232元，问这笔资金是多少元？

（3）王红的爸爸把一笔钱按三年期的定期储蓄存入银行，假设年利率为3%，到期支取时扣除所得税后实得利息为432元，问王红的爸爸存入银行的本金是多少？

分析：利息=本金×利率×期数，存几年，期数就是几，另外，还要注意，实得利息=利息－利息税. 

解：（1）利息=本金×利率×期数=8500×2.2%×1=187元 

实得利息=利息×（1－20%）=187×0.8=149.6元. 

　　（2）设这笔资金为x元，依题意，得：

　　　　 x(1＋2.2%×0.8)=71232. 

　　　　 解方程，得：x=70000. 

　　　　 经检验，符合题意. 

　　　　 答：这笔资金为70000元. 

　　（3）设这笔资金为x元，依题意，得：

　　　　 x×3×3%×(1－20%)=432 

　　　　 解方程，得：x=6000. 

　　　　 经检验，符合题意. 

　　　　 答：这笔资金为6000元. 

【小结】：利息问题常用公式：利息=本金×利率×期数；本息=本金+利息；常见数量关系：利息税=利息×税率；实得利息=利息－利息税；

注意月利率与年利率的区别

例16、甲、乙两地相距162千米，甲地有一辆货车，速度为每小时48千米，乙地有一辆客车，速度为每小时60千米，求：

（1）若两车同时相向而行，多长时间可以相遇？

（2）若两车同时背向而行，多长时间两车相距270千米？

（3）若两车相向而行，货车先开1小时，再过多长时间可以相遇？

分析：在行程问题，我们可以先画示意图，从图中就可以得到等量关系

解：（1）设x小时可以相遇

则由题意可列：48x+60x=162

解得：x=1.5

答：若两车同时相向而行，1.5小时可以相遇。

（2）设x小时两车相距270千米

则由题意可列：48x+162+60x=270

解得：x=1

答：若两车同时背向而行，行驶1小时两车相距270千米。

（3）设再过x小时两车可以相遇

则由题意可列：48(x+1)+60x=162

解得：x=

答：再过小时两车可以相遇。

【小结】：能利用示意图作为建模策略，分析行程问题中的等量关系列方程. 分析问题重在理顺路程、时间、速度三者的关系，抓住其中的一条线索路程（或时间或速度）找相等关系，这是解题的关键.

例17、修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成.（1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？（2）如果甲乙两工程队合作了30天，因甲工作队另有任务，剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天?

分析：工程总量为单位1，甲工程队每天完成，乙工程队每天完成

（1）解：设由两个工程队合作承包，x天可以完成.由题意可列方程：

解方程得： 

所以两个工程队合作承包，48天可以完成. 

（2）分析：甲乙两工程队合作了30天，那他们完成的工程为： 

解：设剩下工作由乙工作队完成还需要天.由题意可列方程：

解方程得： 

所以修好这条公路共需要：30+45=75天

【小结】： 工程问题中要善于把握什么是总工作量，总工作量可以看成“1”；工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。

例18、如右图：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一点出发，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？

分析：问题中给出的已知量和未知量各是什么？图中给出了什么信息？如果设x分钟后，小丽与小杰第一次相遇，请试着完成下表：

问题二：小杰、小丽分别在400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一点反向而跑，问几分钟后，小丽与小杰第一次相遇？

分析：已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？小杰跑的路程+小丽走的路程=环形跑道一周的长

（1）解：设x分钟后，小丽与小杰第一次相遇.

320x―120x=400

解得：       x=2

（2）解：设x分钟后，小丽与小杰第一次相遇.

320x+120x=400

解方程得：x=

答：分钟后，小丽与小杰第一次相遇.

【小结】：借助示意图和列表格分析问题，建立等量关系.

中考直通车

例19、目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米／小时，比去时少用了半小时回到舟山．

（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；

（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：

解：（1）设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s千米，由题意得：．    解得：s=360．

答：舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为360千米．

(2)    将x=360－48－36=276，b=100+80=180，y=295.4，

代入y=ax+b+5，得：295.4=276a+180+5，

解得：a=0.4

答：轿车的高速公路里程费是0.4元/千米．

【小结】：1、解决有关图表信息问题，要充分利用图表中的数据信息； 2、利用方程解决实际问题时，不仅可以求解，还要看解是否符合实际意义，由此，可以利用方程对一些问题进行推理判断。

例20、某工程队承包了某段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米.

（1）求甲、乙两个组平均每天各掘进多少米？

（2）为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？

解：（1）设乙组平均每天掘进x米，则甲组平均每天掘进（x+0.6）米，根据题意，得：5x+5（x+0.6）=45.

解此方程，得：x=4.2.

则：x+0.6=4.8.

答：甲组平均每天掘进4.8米，乙组平均每天掘进4.2米.

（2）改进施工技术后，甲组平均每天掘进：4.8+0.2=5（米）；乙组平均每天掘进：4.2+0.3=4.5（米）.

改进施工技术后，剩余的工程所用时间为：（1755－45）÷（5+4.5）=180（天）.

按原来速度，剩余的工程所用时间为：（1755－45）÷（4.8+4.2）=190（天）.

少用天数为：190－180=10（天）

答：能够比原来少用10天完成任务.

【小结】：类别：行程问题，工程问题；

类似的量：行驶路程，行驶速度，行驶时间；工作总量，工作效率，工作时间；公式：路程=速度×时间；工作量=工效×时间；