2017届高三江门一模(理数)

数学（理科）2017.2.22

本试卷4页，23题，满分150分，测试用时120分钟．

注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、

考场号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．答案不能答在试卷上．

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4.考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷与答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集为R ，集合M ＝{－1，0，1，3}，N ＝{x|220x x --≥}，则R M C N ＝（ ）

A ．{－1，0，1，3}

B ．{0，1，3}

C ．{－1，0，1}

D ．{0，1} 2．设i 是虚数单位，若(2)(12)a i i +-是纯虚数，则实数a =（ ）

A ．1

B ．－1

C ．4

D ．－4

3．已知一组数据a 、b 、9、10、11的平均数为10，方差为2，则||a b -＝（ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．12

4．1111ABCD A BC D -是棱长为2的正方体，AC 1、BD 1相交于O ，在正方体内（含正方体表面）随机取一

点M ，OM≤1的概率p ＝（ ）

5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．

某“堑堵”的三视图如图，则它的表面积为（ ） A ．2 B ．

C ．

D ．

6．等差数列中{n a }，1a ＝2，公差为d ，则“d ＝4”是“

成等比数列”的（ ）

A ．充要条件

B ．充分非必要条件

C ．必要非充分条件

D ．非充分非必要条件

7．F 是抛物线24y x =的焦点，P 、Q 是抛物线上两点，｜PF ｜＝2，｜QF ｜＝5，则｜PQ ｜＝（ ）

保密★启用前 试卷类型：B

8．若的

展开式中6x 的系数为－30，则常数a ＝（ ）

A ．－3

B ．－2

C ．2

D ．3

9．四面体ABCD 中，∠BAC ＝∠BAD ＝∠CAD ＝60°，AB=2，AC=3，AD=4，则V 四面体ABCD ＝（ ）

A ．

B ．

C ．4

D ．10．到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹

是（ ）

A ．直线

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．双曲线 11．函数

在区间

的值域是

，则常数ω所

有可能的值的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

12．已知函数()f x 的图象与函数3232y x x =-+的图象关于点1

(,0)2

对称，过点(1,)t 仅能作曲线()

y f x =的一条切线，则实数t 的取值范围是（ ）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22 ~ 23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．偶函数()f x 在（0，＋∞）单调递减，f(1)＝0，不等式()f x ＞0的解集为 ． 14．正项数列{n a }满足

，则通项n a ＝ ．

15．某电子部件由3个型号相同的元件并联而成，3个元件中有一个正常工作，该部件正常工作，已知这种

元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使用年限少于3年和多于9年的概率都是0.2．该部件正常工作超过9年的概率p ＝ ． 16．若向量

的取值范围是 ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是，a 、b 、c ，△ABC 的面积

．

147 161 170 180 163 172 178 167 191 182

181 173 174 165 158 154 159 1 168 169

（Ⅰ）完成如下频数分布表，并作频率分布直方图；

（Ⅱ）现用分层抽样的方法从通行数量区间为［165,175）、［175,185）及［185,195）的路段中取出7处加以优化，再从这7处中随机选2处安装智能交通信号灯，设所取出的7处中，通行数量区间为［165,175）路段安装智能交通信号灯的数量为随机变量X（单位：盏），试求随机变量X的分布列与数学期望E（X）．

19．（本小题满分12分）

如图，多面体EF－ABCD中，ABCD是正方形，AC、BD相交于O，EF∥AC，点E在AC上的射影恰好是线段AO的中点．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；

（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．

设函数()x f x e ax =-，a 是常数．

（Ⅰ）若a ＝1，且曲线()y f x =的切线l 经过坐标原点（0,0），求该切线的方程； （Ⅱ）讨论()f x 的零点的个数．

21．（本小题满分12分）

椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为F 1、F 2，D 为椭圆短轴上的一个顶点，DF 1的延长线

与椭圆相交于G ．△DGF 2的周长为8，｜DF 1｜＝3｜GF 1｜．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）过椭圆E 的左顶点A 作椭圆E 的两条互相垂直的弦AB 、AC ，试问直线BC 是否恒过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，两坐标系单位长度相同．已知曲线的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=+，直线l 的参数方程为21x t

y t

=-⎧⎨

=-+⎩（t 为参数）。

（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 上到直线l 的距离为d 的点的个数为()f d ，求()f d 的解析式．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数

是常数）．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求a 的取值范围．

一、选择题1－5：DBBAD6－10：BCCAD11－12：CC

二、填空题

三、解答题

17.

18.解：（Ⅰ）

……2分（对1-3个给1分，对4-5个给2分）

……5分（对1个给1分，对2-3个给2分，对4-5个给3分）

（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取7处，则通行数量区间为及的路段

依题意，X 的可能取值为0，1，2 ……7分

()02432710=7C C P X C ==, ()11432741=7C C P X C ==, ()20432

72

2=7

C C P X C == ……10分 随机变量X 的分布列为

……………11分

()1428

0127777

E X =⨯+⨯+⨯= ……12分

19.证明与求解：（Ⅰ）取AO 的中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ┄┄1分

∵BD 在平面ABCD 内，∴EH ⊥BD ┄┄┄2分 又正方形ABCD 中，AC ⊥BD ┄┄┄3分 ∵EH∩AC=H ，EH 、AC 在平面EACF 内┄┄4分 ∴BD ⊥平面EACF ，即BD ⊥平面ACF ┄┄┄5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH ⊥平面ABCD ，

如图，以H 为原点，,,HA OB HE

分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系H-xyz ┄┄┄6分

∵EH ⊥平面ABCD ，∴∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角，即∠EAH ＝60°，

设正方形ABCD 的边长为4a

，则=,=,=,=AC AH EA EH ┄┄7分

各点坐标分别为

(,,),,,),,,),(-,,),,-,),(,),

00000000000H A B C D E ┄┄┄8分

易知为平面ABCD

的一个法向量，记==(,),=1100n HE n

，

)=(-,,),=,00AC DE

，

∵EF//AC

，∴==(-,,)00EF λAC λ

┄┄9分

设平面DEF 的一个法向量为=(,,)2n x y z ，则2n ⊥DE ，2n ⊥EF

，

即2n •DE

+=,02n •EF

＝-λx ＝0

，令=z =,=-02x z ，

∴=()202n

，且==-212n n n

，┄┄┄10分 ∴1n 与2n 的夹角θ为cos =12

12

n n θn n

2，┄┄┄11分

平面DEF 与平面ABCD 所成角α

的正弦值为sin ==

α┄┄┄12分

20.

21.

22.

23、