反函数精品讲义

1.几何定义：．互为反函数的两个函数与在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.

2．求反函数的步骤：

（1）解关于x的方程，得到.

（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到.

（3）求出并说明反函数的定义域〔即函数的值域〕

3．一些结论:定义域上的单调函数必有反函数；

奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；

定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数.

周期函数在整个定义域内不存在反函数.

（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．

一. 反函数存在的充要条件类型

例1. （2004年北京高考）函数在区间上存在反函数的充要条件是（c）

A. B. C. D. 

※反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；

二. 反函数的求法类型

例2. （2005年全国卷）函数的反函数是（ ）

A. B. C. D. 

解析：由可得，故从解得因所以即其反函数是故选（B）。

三. 求反函数定义域、值域类型

例3. （2004年北京春季）若为函数的反函数，则的值域为_________。

解析：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得的值域为。

四. 反函数的奇偶性、单调性类型

例4. 函数的反函数是（     ）

A. 奇函数，在（）上是减函数B. 偶函数，在（）上是减函数

C. 奇函数，在（）上是增函数D. 偶函数，在（）上是增函数

解析： 函数与具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C）。

五. 反函数求值类型

例5. 

1.（2005年湖南省高考）设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在

反函数，则___________。

解析：由，可知函数的图象过点（4，0）。而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数的图象上，即有，所以。

评注：当函数存在反函数时，若，则。

2.（2004年湖南省高考）设是函数的反函数，若，则的值为（  B   ）

A. 1          B.2       C. 3         D. 

六. 反函数方程类型

例6. （2004年上海市高考）已知函数，则方程的解x=_____________。

解析：当函数存在反函数时，若，则。所以只需求出的值即为中的x的值。易知，所以即为所求的值。

七. 反函数不等式类型

1.（2005年天津市高考）设是函数的反函数，则成立时x的取值范围是（ ）

A. B.  C. D. 

解析：由，知函数在R上为增函数，所以在R上也为增函数。

故由，有而可得故选（A）。

评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。而下面的题目选用常规方法解则更为简便。

2.（2004年湖南省高考）设是函数的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）

A. B. C. D. 

分析：依题意知。画出略图，故选（A）。

八. 反函数的图象类型

例8. （2004年福建省高考）已知函数的反函数是，则的图象是（ ）

解析：由题意知则

所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。故选（C）。

评注：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于直线对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x对称，这种函数称为自反函数。