第一讲间隔问题

间隔问题（一）

知识要点：1、要解决植树的问题，我们首先弄清四个概念：总长度（植树路线总长）、棵距（相邻两棵树之间的距离）、棵数（植树的总棵数）、段数

         2、灵活运用数量关系：总长度= 棵距×段数  或    段数=总长度÷棵距

                                                两端都植树时，棵数=段数+1

         3、在不封闭的路线上棵数与段数的关系：  一端植树时，棵数=段数

                                                两端都不植树时，棵数=段数-1 探究一：两端都植树的应用

例1：植树节到了，师生们在一段长100米的路的一边每隔5米种一棵树，如果两端都各种了一棵树，一共能种多少棵树。

分析：这是一道在不封闭的路线上的植树问题，为理解题意，我们假设这条路长20米，然后画线段图来分析路的长度与树的棵数之间的关系：

从图中可以看出：每隔5米种1棵，20米的路上一共种了5棵。但20米里面只有4个5米呀，为什么能种5棵呢？原因是我们首先要在这条路的顶端种上一棵，然后每隔5米再种一棵。因此两端都种的话，种的棵数比分的段数多1。所以如果总长度换成100米，道理是一样的。 

解：（1）一共可以分多少段？

      100÷5=20（段）……即20个间隔

   （2）一共可以种多少棵树？

       20+1=21（棵）

答：

例2：国庆节在学校的走廊里从一端到另一端每隔2米放一盆花，共放了80盆花。这条走道共长多少米？

分析：这是一段不封闭的路线，放的盆数比段数多1。段数=盆数-1.。知道了段数，那总长度就容易求了。总长度=盆距×段数。

解：（1）一共有多少段？（即多少个间隔数）

      80-1=79（段）

   （2）这条走道共长多少米？

     2×79=158（米）

答：

例3：校庆了，要在校门口的一条长20米的直跑道的两侧插上10面彩旗，两端都插。每两面彩旗之间的距离应该是多少米？

分析：本题也是一条不封闭的路线植树问题。一面彩旗相当于一棵树，两侧共插10面彩旗，那么一侧插了10÷2=5（面），所以跑道被分成了5-1=4（段），根据“棵距=总长度÷段数”来求每两面彩旗之间的距离。

  解：（1）一侧插多少面彩旗？

      10÷2=5（面）

     （2）一侧被分成了多少段？

         5-1=4（段）

（3）每面彩旗之间的距离应是多少米？

  20÷4=5（米）

答：

课后练习：

1、在一条长200米的小路一侧栽树，每隔4米栽一棵，如果两头都栽，一共能栽多少棵？

2、小虎家的旁边有一条长120米的小路，小虎一家想在路的两旁每隔4米种一棵树，如果两头都栽，一共能栽多少棵树、

3、小朋友们植树，先植一棵树后，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，第一棵和每九棵相距多少米？

4、公路的两侧插了一些路标，从起点到终点一共有160块，每两块之间都相距10米，这条公路长多少米？

5、一条马路长72米，在路的一旁从头到尾栽上9棵大柏树。每两棵柏树之间的距离应是多少米？

6、学校要在长90米的直跑道的两旁等距离地插12面彩旗，如果两端都插，那么每两面彩旗之间的距离应是多少米？

间隔问题（二）

探究二：一端植树及两端都不植树的应用

  知识要点：在这一节课中我们研究的是在不封闭路线上植树问题的另两种情形。解决此问题时，我们仍要紧紧抓住“总长度=棵树×段数”这样的等量关系，根据问题灵活地进行解答。其中的段数要根据两头是否栽树而定：如果只一头栽树，则段数=棵数；如果两头都不栽，则段数=棵数+1。另外像“爬楼梯”、“时钟敲响”等问题也可以用植树的思考方法来解决。

例1：学校有一条长80米的走道，计划在道路的一旁栽树，每隔4米栽一棵。

（1）如果只有一端栽树，那么一共需要准备多少棵树苗？

（2）如果两端都不栽树，那么一共需要准备多少棵树苗？

分析：（1）为方便用线段图来理解题意，我们假设这条路长20米。

从上图中可以看出：如果只有一端栽树，那么栽的棵数与分的段数相等（棵数=段数），所以我们只要求出分的段数也就求得了栽的棵数。数量关系是：段数=总长度÷棵距

（2）如果两端都不种，那么从下图可以看出：

栽的棵数比分的段数少1，即棵数=段数-1

解：（1）80÷4=20（棵）

答：

   （2）80÷4－1=19（棵）

答：

例2：一条公路的一边每隔10米栽了一棵梧桐树，起点和终点是广告牌没有栽，一共栽了56棵，这条公路长多少米？

分析：这是一段不封闭的路线，数量关系是：总长度=棵距×段数，棵距是10米，因为两端都不栽树，所以栽的棵树比段数少1，那么段数=56+1=57（个）

解：（1）一共分成了多少段？

56+1=57（段）

（2）这条公路全长多少米？

57×10=570（米）

  答：

例3：国庆节到了，市文化广场要在一条拉直的长42米的绳子上挂6盏彩灯。

（1）如果两头都不挂，则两盏彩灯之间的距离是多少米？

（2）如果只挂一头，则两盏彩灯之间的距离是多少米？

分析：这是一段不封闭的路线，已知总长度和棵数。两个问题都是求棵距，根据“棵距=总长度÷段数”求解。问题（1）相当于两头都不植，所以棵数比段数少1（棵数=段数－1），则段数比棵数多1（段数=棵数+1），用6+1=7求得段数。问题（2）相当于只植一端，则段数=棵数。

解：（1）6+1=7（段）

       42÷7=6（米）

答：

（2）42÷6=7（米）

答：

课后练习：

1、学生们要在学校60米的直跑道的一侧每隔5米插一面彩旗，如果一端不插，那么需要多少面彩旗？

2、植树节到了，少先队员们要在相距72米的两幢楼房之间种8棵松树。如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？

3、小陈从一楼走到二楼要用30秒的时间，那他用同样的速度从一楼到六楼要用多少时间？

4、学校要在两幢相距30米的楼房之间栽上松树，因为两端是楼房不需要栽树，现要求每两棵树之间相距5米，学校得准备购买多少棵松树才行？

5、同学们要在校园里的一条长56米的小路的两旁栽14棵杨树，如果只在一端栽树，则每两棵树之间的距离是多少米？

6、一条马路的一边每隔9米新装了一些广告牌，因为一头是桥墩所以没有装。小兰从头到尾数了一下，一共数到了20块广告牌。这条马路全长多少米？

7、公路边每隔30米有一盏路灯，一辆轿车匀速行驶，从第1盏到第61盏灯共用了2分钟。轿车每分钟行驶多少米？

8、小童每天放学回家上楼梯要爬90级台阶，她家的楼房每上一层要走18级台级。她家住房几楼？

间隔问题（三）

探究：封闭路线植树问题，段数与棵数的关系

导入：一个小的圆形花坛的周长是12米，要在它的周围每隔3米种一棵月季花，一共要摆多少棵月季花？

分析：圆形花坛可以看作是一个封闭的路线，这个圆形花坛的周长是12米，12米里面有4个3米。先画出示意图：

从上图可以看出：12米的圆形花坛，每3米种一棵花，可以种4棵花；12米的封闭路线，每3米一个间隔，有4个间隔。因而在封闭的路线上植树存在这样的等量关系：

棵数=段数（间隔数）。

例1：那么圆形花坛的周长是120米，仍在它的周围每隔3米种一棵月季花，每隔两棵月季花之间摆2盆菊花。一共要准备多少棵月季花和多少盆菊花？

分析：我们只要看120米每3米一个间隔有多少个间隔（段数），就求到了能种多少棵花了。每个间隔之间放2盆菊花，用间隔数乘2就可以求到需要准备菊花的盆数了。

解：（1）120÷3=40（棵）

答：

   （2）2×40=80（盆）

答：

触类旁通：

例2：在校园的一个周长是88米的池塘边种上一圈柳树，计划栽22棵树，平均每组相邻两棵树之间的距离是多少米？

分析：根据“总长度÷段数（间隔数）=棵距”，题中已知总长度和棵数，只要知道段数后再运用上面的关系式求解即可。在封闭路线中植树，段数=棵数，所以这道题的段数=22

解：88÷22=4（米）

 答：

随机应变

例3：在一块正方形的草地四周种树，四个角都种上一棵，每边种20棵，每两棵树之间相距5米。求一共种了多少棵树？这个正方形草地的周长是多少米？

分析：这是一道路在封闭路线上的植树问题，棵数=段数（间隔数）。问题要求总长度，根据“总长度=棵距×段数”求解。每边种20棵树，20×4=80（棵），这样把四个角上的树重复算了一次，所以总棵数是80-4=76（棵）

解：（1）20×4=80（棵） 

        80-4=76（棵）

（2）5×76=380（米）

答：

注意：在解答植树问题时，关键是将题中的条件和问题与植树问题中的“总长度”、“棵距”、“段数”对应起来。段数一定等于总长度除以棵距，但段数不一定等于棵数。只有在封闭的路线上的植树问题，段数才等于棵数。

课后练习：

1、一个公园的四周有一条长5000米的路。现在要在路的一边每隔20米种一棵柳树，在两棵柳树之间种3棵柏树。公园里各应准备多少棵柳树和柏树？

2、一个正方形草坪，四个角上都种有一棵树，每边种了30棵树，每相邻两棵树之间的距离是4米。这块正方形草坪的周长是多少米？

3、在一个长100米，宽50米的长方形游泳池边每隔3米做一个红色的记号，共要做多少记号？

4、在一个边长是76米的正方形草地四周种树，四个角上都种一棵树，每边种20棵树。平均每两棵树之间的距离是多少米？

5、一个圆形花坛，周长150米，要在它的外围每隔3米摆2盆菊花。一共要摆多少盆？

6、在一个周长是1200米的湖边等距离植树，已经挖好每隔5米植一棵树的树坑，后要改成每隔4米植一棵树。原来挖好的坑有多少可以派上用场？

7、一条走廊每隔5米放了一盆花，而且两头都放，小强数了数，一共放了20盆花。这条走廊共长多少米？