苏教版六年级数学小升初专题复习一数的认识

整数和小数

一、自然数和整数

1．自然数

（1）用来表示物体个数的0，1，2，3，4，5，…叫作自然数。任何一个非零自然数都是由若干个1组成的，所以“1”是非零自然数的单位，如123是由123个1组成的。最小的自然数是0，没有最大的自然数，所以自然数的个数是无限的.

每个自然数都可以表示两种意义。一、表示数量，如果一个自然数用来表示物体的个数就叫基数。二、表示次序，如果一个自然数用来表示物体排列的次序，就叫序数。

（2）一个物体也没有就用0表示，但不能说0就表示没有，0还有多方面的作用。如温度下降到0℃，这里的0℃是水结冰的温度。在米尺上0是起点；在计数中，0起占位作用……

2．正、负数

0既不是正数，也不是负数。正数都大于0，负数都小于0。如+4，19，+8844这样的数都是正数。如﹣4，﹣11，﹣7，﹣155这样的数都是负数。

二、数位和位数

1．数位

“数位”是指各个计数单位所占的位置。在整数中，从右到左，数位的名称依次是个位、十位、百位、千位、万位…同一个数字，由于所在的数位不同，它所表示的数值也不同。

例如：404000中的“4”分别在十万位和千位上，分别表示4个十万和4个千。

2．位数

位数与数位是两个意义完全不同的概念。位数是指一个自然数中含有数位的个数。

例如：586是三位数，4345是四位数，23778是五位数等。

3．计数单位

每个数位上的数都有相应的计数单位。如个位的计数单位就是个，十位的计数单位就是十，百位的计数单位就是百…

4．数位顺序表

十进制就是指每相邻的两个计数单位之间的进率都是10。目前，我们学习的整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。

除了十进制，在不同的领域还有不同的进制，如计算机的二进制等。

四、多位数的读法和写法

1．多位数的分级

我国习惯上把多位数按四位分级，即从个位起，每四个数位作为一级。个位、十位、百位、千位，称为个级;万位、十万位、百万位、千万位，称为万级;亿位、十亿位、百亿位、千亿位，称为亿级。（见数位顺序表）

2．多位数的读法

按照四位分级的原则，我国的读数法则：

（1）四位以内的数，按照数位顺序，从高位读起；

（2）四位以上的数，先从右向左四位分级，然后从最高级起，顺次读出各级里的数和它们的级名；

（3）如果一个数末尾有“0”，那么末尾的“0”不读。每一级末尾的“0”也不读。其他数位上，不论连续有几个“0”，只读一个“零”。

例如：6320读作：六千三百；49000500读作：四百九十万零五百。

（注：数目比较大时要画分级线）

3．多位数的写法

多位数的书写是从高位到低位，一级一级往下写，哪一个数位上一个数也没有，就在那个数位上写0占位。

例如：三万一千零六写作：31006；七十七万写作：770000.

4．整数大小的比较

比较两个数的大小，如果位数不同，那么位数多的数就大；如果位数相同，左起第一位上的数大的那个数就大；左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数…

5．改写和省略尾数

（1）根据需要，有时需将一个较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数，改写时只要在万位或亿位的右下方点上小数点，再写上“万”或“亿”字。改写后的数是原数的准确数。

例如：300000＝30万；1230000000＝12.3亿。

（2）有时根据实际，需要把一个数某一位后面的尾数省略，求它的近似数。在小学阶段通常用“四舍五入”法求一个数的近似数。用“四舍五入法求近似数，要看尾数最高位上的数，如果不满5，就直接把尾数舍去；如果满5，把尾数舍去后，再在它的前一位加1。

6．近似值

在日常生活中，有时一些数据并不一定都需要特别精确，只要对其有个大致的估计或是取得一些近似的数据就足以说明问题了。

例如：今年风调雨顺，庄稼长势良好，一公顷地能产小麦15000千克。

求近似值的方法根据具体情况的不同大致有以下三种：

（1）四舍五入法。

例如：4.62975≈4.6（保留一位小数）

 4.62975≈4.63（保留两位小数）

 4.62975≈4.630（保留三位小数）

（2）进一法：是指无论要求精确的某一位的后一位数是多少都要向前一位进一。

（3）去尾法：是指无论要求精确的某一位的后一位数是多少都要舍掉。

（一般情况下用“四含五入”法，在涉及实际问题时要根据具体情况选择用“去尾”法还是“进一”法）

7．改写、省略、近似数的比较

改写 不改变数的大小“＝”

省略 改变数的大小“≈”四舍五入

近似数 改变数的大小“≈”

五、小数

1．小数的意义

把整数“1”平均分成10份、100份、1000份…这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几…可以用小数表示为零点几，零点零几，零点零零几…

2．小数的数位和计数单位

（1）读小数时，整数部分按整数的读法读；小数点读作“点”小数部分的数按数位顺序读，是几就读几；小数点后面的“0”，有几个要读几个。

例如：10.008读作：十点零零八。

（2）写小数时，整数部分按整数的写法写，整数部分是零的要写“0”小数点写在个位右下角，然后依次写出每一个数位上的数字。

例如：十点三零零九 写作：10.3009

4．有限小数和无限小数

（1）小数可分成“有限小数”和“无限小数”两类

有限小数是指小数部分的位数是有限的小数。如1.34，0.812等。

无限小数是指小数部分的位数是无限的小数。如0.333…，3.1212…等。

（2）无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数两类。

我们已接触到的圆周率“π”的值为3.1415926…就是无限不循环小数。

循环小数是指一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现。如0.666…，9.16767…是循环小数。

（3）一个循环小数的小数部分，依次不断地重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节。写循环小数时，为了书写方便，一般只写出它的第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上各点一个小圆点。

例如：循环小数9.769769…可以写作9.6，循环节是769。

5．小数的性质

在小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变。要注意的是在“小数的末尾”，而不是在“小数点的后面”。根据小数的性质可以将数化简或改写。

例如：把1.4070去掉末尾的“0”就是1.407，1.4070＝1.407，小数大小不变。如果把小数点后面的“0”去掉就是1.47，大小可就差得多了！再如：要将10和0.4改写成三位小数，10＝10.000，0.4＝0.400。

6．小数数位的变化

小数数位的变化是由小数点位置移动所引起的。一个小数乘10，100，1000，…，只要把这个小数的小数点分别向右移动一位、两位、三位……；一个小数除以10，100，1000，…，只要把这个小数的小数点分别向左移动一位、两位、三位……

7．小数大小的比较

先看整数部分，整数部分大的那个数就大;整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依此类推。

分数和百分数

一、分数的意义

把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数，表示其中一份的数是这个分数的分数单位。如把单位“1”平均分成7份，表示这样的3份就是。单位“1”可以表示单个物体，也可以表示多个物体组成的一个整体。如把一堆沙、一个班级的总人数、18瓶汽水等分别看作单位“1”。

除法中的被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母，商相当于分数值。

a÷b＝（b≠0）

二、分数的分类

见［知识结构图：数的分类］

三、判断一个分数能否改写成有限小数

1．看是否是最简分数

例如：＝＝0.75。

2．看分母

（1）分母中只含有质数2和5的能改写成有限小数，如，，，…

（2）分母中除了2和5以外，还有其他的质数，不能改写成有限小数，能改写成混循环小数。如，，，…

（3）分母中不含有2和5，它不能改写成有限小数，能改写成纯循环小数。如，，，…

四、分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

例如：＝＝；    ＝＝；  

五、约分和通分

分数的分子和分母的公因数只有1，这样的分数叫作最简分数

约分：把一个分数化成同它相等，但分子和分母都比较小的分数，这个过程叫约分。通过约分可将一个分数化成最简分数。一般情况下，计算的最后结果都化成最简分数

例如：把化简。比较18与24，我们发现它们的最大公因数是6，根据分数的基本性质可以把18和24同时除以6，便得到最简分数。

通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数的过程叫通分。我们在进行分数大小比较、分数加减法计算时，常常要用到这个知识。

六、倒数

乘积是1的两个数互为倒数。

1的倒数是1；0没有倒数。

求倒数的方法：

（1）根据倒数概念，1除以原数所得的商。

（2）将原数改写成分数，再将分子、分母调换位置。

例如：求0.75的倒数。①可以用1÷0.75；②可以将0.75改写成分数，然后将分子、分母

调换位置，都可以得到0.75的倒数是.

七、分数的大小比较

1．通分比较法

如和，分数单位不同无法直接比较。因为7和3的最小公倍数是21，则＝，＝，

＞所以＞。

2．化成相同的分子比较法

将分数化成具有相同分子的新分数，则分母大的分数反而小。如和，因为＝，

＜，所以＜。

3．“1”比较法（适用于分子、分母差相同的情况下）

如和，因为1－＝，1－＝，＞，所以＜。

4．“比较法

如和，因为＞，＜，所以＞。

5．倒数比较法

如和，因为1÷＝1×＝10，1÷＝1×＝10，10＜10，

所以＞。

6．抽取规律法

如和，因为＝＝，＝＝，＜

所以＜。

八、百分数

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数，百分数又叫百分比或百分率。百分号用“％”表示。因为百分数表示两个数的关系，所以不能带单位。生活中有许多百分数的问题，百分数的应用很广泛。

例如：含盐率、发芽率、出席率、税率、打折、储蓄存款利率、国民生产总值增长点等。［注:在直接写得数中1－25％＝0.75（），不写成1－25％＝75％］

九、分数、小数与百分数的相互改写

分数改写成百分数，除不尽的情况下，一般在百分号前保留一位小数。

十、成数与折扣

都是指十分法，“几成”或“几折”就是表示十分之几，百分之几十。成数习惯用于农业的收成方面，折扣用于商业的价钱方面。某商品打五折出售，就是按原价的50％出售。

八折＝80％、七五折＝75％三成＝30％，四成五＝45％

十一、数的大小比较

一般情下，整数、小数、分数混合比较大小时，都改写成小数，竖写并且注意小数点对齐，按从大到小（或从小到大）用①②③④…标出，在最后书写结果时要用原数。

例如:请把，0.3，38％，按从大到小的顺序排列。

因为＝0.375

0.3＝0.366……

38%＝0.38

＝0.4285……

所以＞38％＞＞0.3

因数与倍数

因数和倍数

如果a×b＝c（a、b、c为自然数且c不为0）时，a和b都是c的因数，c是a的倍数，也是b的倍数。

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30；48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

15的倍数有15，30，45，60，75，90，105，120，…；12的倍数有12，24，36，48，60，72，84，96，108，120，……

2，3，5，9的倍数的特征：

2的倍数：个位上是0，2，4，6，8的数。3的倍数：各位上数的和是3的倍数5的倍数：个位上是0或5的数。9的倍数：各位上数的和是9的倍数。

二、奇数和偶数

是2的倍数的数叫作偶数，最小的偶数是0；不是2的倍数的数叫作奇数，最小的奇数是1。

 自然数 

（按是不是2的倍数分）

三、质数和合数

1．质数和合数

只有1和它本身两个因数的数叫作质数（也叫素数）。如2，3，7，11，17，29，…

除了1和它本身两个因数外，还有其他的因数的数叫作合数。如4，6，15，46，……

1既不是质数也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4

 自然数 

（按因数的多少分）

2．公因数和最大公因数

几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。如30和48的因数中都有1，2，3，6，我们就把1，2，3，6这些公有的因数叫作它们的公因数，其中最大的数6就是它们的最大公因数。

3．公倍数和最小公倍数为几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。

4．求最大公因数和最小公倍数的方法。如8的因数有1，2，4，8；6的因数有1，2，3，6。8和6的公因数就是1，2，最大公因数是2。如15和12的倍数中都有60，120，…，我们把60，120，…这些公有的倍数叫作它们的公倍数，其中最小的数60就是它们的最小公倍数。

如果两个数中大数是小数的倍数，小数是大数的因数，那么大数是它们的最小公倍数，小数是它们的最大公因数。

注：a×b＝（a，b）×［a，b］

5．本单元要特别注意以下几个数

（1）1既不是质数也不是合数。

（2）2是最小的质数，也是唯一的偶质数。

（3）4是最小的合数。

（4）9既是奇数又是合数。

6．偶数±偶数＝偶数 奇数±奇数＝偶数 奇数±偶数＝奇数

 偶数×奇数＝偶数 偶数×偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数

例1．你能说说存折中虚框里的数各表示什么含义吗？

妈妈于7月8日又存人5000元，应记作（ ）元，8月26日又取出2400元，应记作（ ）元，结余（ ）元。

例2．判断：一个小数，整数部分最小的数位是小数部分最大的计数单位是十分之。（ ）

例3．2015年，北京某场演唱会共出售了九万八千零五十六张门票，总计收入210705800元。横线上的数写作（ ）；210705800读作（ ），把这个数改写成用“万”作单位的数是（ ）万，省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿。

例4．把0.75，0.0，07和0，从大到小排列。

例5．一个两位小数，若去掉它的小数点，得到的新数比原数多36.63，这个两位小数是（ ）。

例6．一堆沙子重3吨，把它平均分成5份，每份是()吨，每份占这一堆沙子的（ ）。

例7．要比较和的大小，你能用哪些方法？

例8．有一个分数，分子加上2变成，分子减去2变成，这个分数原来是多少？

例9．判断：一件商品先涨价5％，后又降价5％，这时这件商品又回到了原价。（ ）

例10．从0，1，2，5，8中选择三个数字，组成一个既是3的倍数，又是5的倍数的偶数，这个数最大是（ ）。

例11．有一种长方形纸片，长6厘米，宽9厘米.

（1）如果把它分成大小相同的小正方形纸片，不能有剩余，边长最大是多少厘米？

（2）如果用这种纸片拼成一个大正方形，这个大正方形的边长最小是多少厘米？至少需要多少张这种纸片？

课后练习

一、填空题。

1．地球的表面积是五亿一千零六万七千八百六十平方千米，横线上的数写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万，四舍五入到亿位约是（ ）亿。

2．7.843是由（ ）个1、（ ）个0.1、（ ）个0.01和（ ）个0.001组成。

3．把4米长的绳子平均分成7段，每段长（ ）米，每段占全长的()，每段是1米的（ ）（填分数）

4．用3个“0”和3个“8”组成的六位数中，只读一个“零”的数有（ ），

一个“零”也不读的数是（ ）和（ ）。

5．7.36去掉小数点后，这个数就（ ）。137％去掉“％”后，这个数就（ ）。

6． ≈（ ）（填小数） ≈（ ）（填百分数）

7．1243至少要加上（ ），才是2的倍数；至少要加上（ ），才能同时是2和3的倍数；至少要减去（ ），才能同时是2、3和5的倍数。

8．将，，55％，0.56和这5个数按照从小到大的顺序排列，中间的一个数是（ ）。

9．的分母加上14，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）。

10．在括号里填“＞”“＜”或“＝”（A、B均不为0）。

（1）如果A×＝B×，那么A（ ）B

（2）如果A÷＝B÷，那么A（ ）B。

（3）如果A－B＝B＋6，那么A（ ）B。

（4）如果A÷＝B×，A（ ）B

11．已知＜＜中可以填人的最大整数是（    ），最小整数是（ ）。

12．奇数的平方除以4，余数是（ ）（填“奇数”或“偶数”）。

13．最小的质数的倒数比最小的合数的倒数多（ ）％。

14．（ ）÷24＝21÷（ ）＝0.375＝（ ）%＝（ ）（填分数）

15．根据前面3个数的规律，写出后面的一个数：67，76，67，（ ）。

16．50以内6和9的公倍数有（ ）。的分子和分母的最大公因数是（ ）。

17．用10以内的两个质数和一个0组成同时有因数2，3，5的最小三位数是（ ）。

18．5个连续奇数中，中间一个数是B，那么其中最大的一个数是（ ），最小的一个数是（ ）。

二、判断题。（对的在括号里画“√”，错的画“×”）

1．自然数既可以表示“有多少个”，又可以表示“第几个”。（ ）

2．个位、十位、百位、千位、万位等都是计数单位。（ ）

3．小数都比1小。（ ）

4．500.05这个数的最高位和最低位上的两个“5”，表示的数的大小相同。（ ）

5．0.7和0.700大小相等，它们的计数单位也相同。（ ）

6．36□0000000≈36亿，□中可以填1，2，3，4或0。（ ）

7．一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位约是6.20，这个三位小数最小是6.201。（ ）

三、选择题。（把正确答案的序号填在括号里）

1．甲3小时行13千米，乙5小时行21千米，丙4小时行17千米，（ ）的速度最慢。

A.甲 B.丙 C.乙

2．甲数的等于乙数的（甲、乙均不为0），甲数（ ）乙数。

A.＞ B.＜ C.＝ D.以上答案都不对

3．100元增加10％后，再减少10％，结果是（ ）元。

A.100 B.110 C.99 D.98

4．两个质数的积一定是（ ）。

A.奇数 B.偶数 C.质数 D.合数

5．两个自然数，既是合数又只有公因数1，且它们的最小公倍数是120，这两个数是（ ）。

A.12和10 B.8和15 C.30和4 D.24和5

四、求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。

 72和30 40，56和84

五、列式计算。

1．甲、乙两数的和是18.685，如果甲数的小数点向左移动两位，那么甲、乙两数正好相等。甲、乙两数各是多少？

2．一个分数，若加上它的一个分数单位后，和是1；若减去它的一个分数单位后，差是。这个分数原来是多少？

3．有A、B、C、D四个自然数，A和B的最小公倍数是36，C和D的最小公倍数是90。A、B、C、D四个数的最小公倍数是多少？

4．一个分数，分子、分母的和是25。分母增加17后，得到一个新分数，约分后为。原来的分数是多少？

5．2520乘自然数a，得到一个平方数，a最小是多少？

6．1×2×3×4×5×6×…×a的积的末尾连续有20个0，a最小是多少？a最大是多少？

六、解决问题。

1．有一些长方体木块，长27厘米，宽15厘米，高18厘米。如果用它们拼成一个最小的正方体，这个正方体的棱长是多少厘米？共需多少个这样的小长方体？

2．从运动场的一端到另一端全长108米，每隔4米插一面红旗，两端都插。现在要改成每隔6米插面红旗，一共有多少面红旗（包括端点的两面）可以不拔?

3．省师范大学刚落成的图书馆大楼四周成一个长84米、宽60米的长方形。现计划在这个长方形边上种植一些杉树，要求在4个顶点各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，你认为可以有几种不同的植法？每种植法各需要多少棵杉树？

4．妈妈把8000元存入银行，存定期五年，当时的年利率是4.75％，到期时银行应付给妈妈多少元利息？

5．一家生产健身器材的厂家上月销售额为180万元。如果按销售额的30％缴纳消费税，上月应缴纳消费税款多少万元？

6．一位篮球运动员在比赛投篮30次，其中有3次未能投中。这位运动员的投篮命中率是多少？

7．新亚玩具柜以八五折的价格售出一只变形金刚，比原价便宜了30元，现价是多少元？

8．2、4、6、8、10这5个数中，有一个与众不同的数是（ ）。理由是（ ）

9．某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠：（2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；（3）一次性购物超过300元一律8折。某人两次购物分别付款80元、252元，若他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（ ）。

A.228元 B.332元 C.332元或363元 D288元或316元

10．某学校为每个学生编号，设定末尾用1表示男生，2表示女生。20153321表示“2015年入学的三班的32号同学，该同学是男生”。那么20132012表示的学生是哪一年人学的？几班？学号是多少？是男生还是女生？

11．哥德巴猜想说每个大于2的偶数都可以表为两个质数之和。那么90是两个质数（ ）与（ ）之和。