1.122PF PF a -=
2.标准方程22
221x y a b -= 3.11
1PF e d =>
4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.
6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8．设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.
9．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、
P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
+=.
10．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.
11．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则
切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b -=.
12．AB 是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则
2
2OM AB b k k a
⋅=.
13．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-. 14．若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
-=-. 15．若PQ 是双曲线22
221x y a b
-=（b ＞ a ＞0）上对中心张直角的弦，则
122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16．若双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1)
22
2211A B a b -=+
;(2) 2222||
L a A b B =-. 17．给定双曲线1C ：2
2
2
2
22
b x a y a b -=（a ＞b ＞0）, 2C ：22
2222
22
2
()a b b x a y ab a b
+-=-,则(i)对1C 上任意
给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222
02
222(,)a b a b x y a b a b
++---. (ii)对2C 上任一点'''
00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.
18．设00(,)P x y 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，
记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2
12211m b k k m a
+⋅=
⋅-. 19．过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C
两点，则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =-（常数）.
20．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，
则双曲线的焦点角形的面积为122
cot 2
F PF S b γ∆=，2(cot )2b P c γ± . 21．若P 为双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα
-=+）.
22．双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.
23．若双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜1时，
可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.
24．P 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点，则
21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.
25．双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是
2222
0222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭
且.
26．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27．过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28．P 是双曲线sec tan x a y b ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（a ＞0，b ＞0）上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是
221
1tan e ϕ
=
-.
29．设A,B 为双曲线2222x y k a b -=（a ＞0,b ＞0，0,1k k >≠）上两点，其直线AB 与双曲线22
221x y a b
-=相
交于,P Q ,则AP BQ =.
30．在双曲线22
221x y a b
-=中，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为
()(
)
22222222222
2222
221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎪⎣⎦=⎨
⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝
⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上，时，弦两端点在同支上 31．设S 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l ，
00(,)M x y 是AB 中点，则当l S ≥Φ时，有20min ()2a l x c e =+
222(c a b =+,c
e a
=);当l S <Φ时，
有0min ()x =32．双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222
A a
B b
C -≤.
33．双曲线22
0022
()()1x x y y a b
---=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.
34．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在
△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有
sin (sin sin )c
e a αγβ==±-. 35．经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的实轴的两端点A 1和A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交
于P 1和P 2，则2
1122||||P A P A b ⋅=. 36．已知双曲线22
221x y a b
-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）
22
221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -. 37．MN 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB 是经过双曲线中心O
且平行于MN 的弦，则2
||2||AB a MN =.
38．MN 是经过双曲线22
221x y a b -=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O 的半弦
OP MN ⊥，则22
22111
||||a MN OP b a -=-. 39．设双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条
直线与双曲线相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N 在直线l ：2
a x m
=上.
40．设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分
别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
41．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
42．设双曲线方程22221x y a b
-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'
y k x =上,
而且2'
2b kk a
=.
43．设A 、B 、C 、D 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，
直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα⋅-=⋅-.
44．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点，12F PF ∠的内（外）角
平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个双曲线时，R 、S 形成的轨迹方程是
222x y a +=(()()
2
22222
2
222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45．设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.
46．过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直
平分线交x 轴于P ，则
||||2PF e
MN =. 47．设A （x 1 ,y 1）是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为21
21
b x a y 的直线L ，又设
d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A
ab =.
48．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）和22
22x y a b
λ-=（01λ<< ），一条直线顺次与它们相交于A 、
B 、
C 、
D 四点，则│AB│=|CD│.
49．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于
点0(,0)P x , 则22
0a b x a
+≥或220a b x a +≤-.
50．设P 点是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，
则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122
cot 2
PF F S b θ∆=.
51．设过双曲线的实轴上一点B （m,o ）作直线与双曲线相交于P 、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连
结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则
90MBN ∠=()2
22
2
()a n m a m
a m
b n a --⇔=-++. 52．L 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 且与实轴垂直的直线，A 、B 是双曲线的两个顶点，e
是离心率,点P L ∈，若APB α∠=，则α是锐角且1sin e α≤或1
sin arc e
α≤（当且仅当||PF b =时取等号）.
53．L 是经过双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线的准线
与x 轴交点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，
H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且1
sin e
α≤或1sin arc e α≤（当且仅当||ab
PA c =时取等号）.
54．L 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）焦点F 1且与x 轴垂直的直线，E 、F 是双曲线准线与x 轴交点，
H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且21
sin e
α≤或
21sin arc e α≤（当且仅当1||PF =.
55．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点，将A 、
B 与双曲线左焦点F 1连结起来，则222
112
(2)||||a b F A F B a +⋅≥（当且仅当AB ⊥x 轴时取等号）.
56．设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)222
2
2|cos |
|||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 22
22
2cot PAB a b S b a γ∆=+.
57．设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的
两点，且A x 、B x 的横坐标2
A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则
PBA QBA ∠=∠；
（2）若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，则180PBA QBA ∠+∠=. 58．设A 、B 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的
两点，（1）若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，（若B P 交双曲线这一支于两点，则P 、Q
不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引
直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点，且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.
59．设'
,A A 是双曲线22221x y a b -=的实轴的两个端点，'QQ 是与'
AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点
P 的轨迹是双曲线22
221x y a b +=.
60．过双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则
()2
228||||||
ab AB CD a b a b +≥≠-；
()2
2||||4c AB CD a a b a +≥==
61．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）两焦点的距离之比等于c a
b -（
c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊
妹圆222
()()x ec y eb ±+=.
62．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的实轴两端点的距离之比等于c a
b
-（c 为半焦距）的动点M 的轨
迹是姊妹圆222
()x c y b ±+=.
63．到双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为c a
b
-（c 为半焦距）的动点
的轨迹是姊妹圆22
2()()b x a y e ±+=（e 为离心率）.
．已知P 是双曲线22221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上一个动点，'
,A A 是它实轴的两个端点,且
AQ AP ⊥,''
AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a
-=.
65．双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.
66．设双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）实轴的端点为'
,A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P 作斜率为2121
b x a y 的
直线l ，过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则（1）'
'
2
||||AM A M b =.（2）四边形''
AMA M 面
积趋近于2ab .
67．已知双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲
线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.
68．OA 、OB 是双曲线
22
22()1x a y a b
--=（a ＞0,b ＞0,且a b ≠）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2
2
2
2(,0)ab b a
-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222
2222()()ab ab x y b a b a
-+=--（除原点）。 69．(,)P m n 是双曲线
22
22()1x a y a b
--=（a ＞0,b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点222222222
2()()
(,)ab m b a n a b b a b a
-++--.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是
22224222222222222
[()]
()()()ab a m b n a b n a b x y b a b a b a -++-+-=---(除P 点).
70．如果一个双曲线虚半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）2
12d d b =，且F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和双曲线相切,或L 是双曲线的渐近线.（2）2
12d d b >，且F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和双曲线相离，（3）2
12d d b <，或F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和双曲线相交.
71．AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的实轴，N 是双曲线上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线
交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22
2241(0)x y y a b
-=≠.
72．设点00(,)P x y 为双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB 是双曲线过
定点00(,)P x y 的任一弦.
(1)如a b ≥,则当弦AB 垂直于双曲线实轴所在直线时222222
00min 2
()(||||)b x a y a b PA PB a --⋅=.
(2)如a b <,则当弦AB 平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, 222222
00min 2
()(||||)b x a y a b PA PB b
--⋅=. 73．双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74．双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75．双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c 与c-a. 76．双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a. 77．双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
78．双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
80．双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.
81．双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.
84．双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.
85．双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87．双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.
88．双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上有一点P ，过P 分别引其渐近线的平行线，分别交x 轴于,M N ，
交y 轴于,R Q ， O 为原点，则： （1）2||||OM ON a ⋅=； （2）2
||||OQ OR b ⋅=.
90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:b
l y x a
=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）
若2||||OM ON a ⋅=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b
-=>>.(2)若2
||||OQ OR b ⋅=，则P 的轨迹方
程是22
221(0,0)x y a b a b
-=>>.
91. 点P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y
轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：12||2
ab
S S -=.
92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b
y x a
=-
于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知12||2ab
S S -=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b -=>>或
22
221(0,0)y x a b b a
-=>> 双曲线性质92条证明
1.双曲线第一定义。
2.由定义即可得双曲线标准方程。
3.双曲线第二定义。
4.设00(,)P x y 在第一象限，切线PT （即l ）的斜率为k ，1PF 所在直线1l 斜率为1k ，2PF 所在直线2l 斜率为
2k ，1PF 与PT 的夹角为α，2PF 与PT 的夹角为β。由两直线夹角公式12
12
tan 1k k k k θ-=
+得：
()()200
222222222222
000000012222222
00100000000000200tan 11y b x b a cx x c a y b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c
α-++-++-======++++++⋅
+
()()200
222222222222
000000022222222
00
200000000000200tan 11b x y b a cx a y x c b x a y b x c a b b cx k k b b x y kk a x y a cy b x y c x y a cy c y cy a cx a y x c
β-------======+-+--+⋅-
,0,2
παβαβ⎛⎫
∈∴= ⎪⎝
⎭
同理可证其它情况。故切线PT 平分点P 处的内角。
5.不妨设P 在第一象限。作F 2关于切线PT 的对称点M ，由4可知M 在PF 1上，则1122F M PF PF a =-=，垂足H 为F 2M 的中点，则OH=12
F M
a =，同理可证其它情况。射影H 的轨迹是以实轴为直径的圆除去两端点。
6. 设P ，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d ，以PQ 中点到准线的距离为d ，以PQ 为直径的圆的半径为r ，则1222d d PF FQ r
d r
e e
++=
==<，故以PQ 为直径的圆与对应准线相交。 7. 如图，两圆圆心距为211
2222
PF a PF PF d OM a a r +==
==+=+，故两圆外切。
7
图
8图
8. 如图，由切线长定理：11121222FS FT PF PF F F a c +=-+=+，11
F S FT a c ==+ 而112FT a c F A =+=，T 与2A 重合，故内切圆与x 轴切于右顶点，同理可证P 在其他位置情况。 9.
设
()()
12sec ,tan ,sec ,tan P a b P a b ϕϕϕϕ-，则
()()()
()1122tan tan :,:sec 11sec b b A P y x a A P y x a a a ϕϕ
ϕϕ=
+=-+-
则cos ,sin P x a y b ϕϕ== ∴P 点的轨迹方程为22
221x y a b
+=
10.
000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=上22
00221x y a b ∴-=，对22
221x y a b
-=求导得：
'22220x yy a b -=2'
020
b x y a y ∴= ∴切线方程为()20
0020
b x y y x x a y -=-即22
000022221x x y y x y a b a b -=-=
11.设()()111222,,,P x y P x y ，由10得：
01010202
22221,1x x y y x x y y a b a b
-=-=，因为点12,P P 在直线12P P 上，且同时满足方程00221x x y y a b -=，所以00212
21:P x y a P x y
b
-=
12.()()()112200,,,,,A x y B x y M x y 设2222112222221,1x y x y a b a b -=-=则有作差得：
2222
1212
22
0x x y y a b ---= ()()()()121212122
2
x x x x y y y y a b -+-+⇒-=()()2
22212012222212120AB
AB OM OM b x x b x y y b b k k k x x a y y a y a k a
+-⇒====⇒⋅=-+ 13.由12可得：()202000
b x x x a y y y --=222222
00000a y y a y b x x b x ⇒--+=
2
2
22
2
2000
b x x a y y b x a y ⇒-=-22
0000
2222x x y y x y a b a b
-=-⇒
14. .由12可得：2
200b x x y y y x a
-⋅=-222222000a y a y y b x b x x ⇒--+=
2
2
2
2
2
2
00b x a y b x x a y y ⇒-=-22002222x x y y
x y a b a b
--⇒=
15. 设()()sec ,tan ,sec ,tan P a b Q a b ααββ，则tan tan 1sec sec OP OQ
b b k k a a αβ
αβ⋅=⋅=-22sin sin a b
αβ∴=- ()()()
222222222222222222122222222222442222222222222222221111cos cos sec tan sec tan sin sin cos sin cos cos sin cos sin sin sin sin sin sin 1sin sin sin 1sin r r a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a a b αβ
ααββαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+=++++++++=
+++-+-+-+-=
()
()()()
()()()
()
4222222222222222222224
22
2
2
4224222sin sin 2sin sin 2sin sin 2sin sin 2sin sin 2sin sin a a b a b a b a b a b b a a a b a b a b αβαβαβ
αβαβαβ+++-+--+-+=
=
++++
()()()2
222222
2222222
2sin sin 11
2sin sin b
a a
b a b
a b a b αβαβ⎡⎤-++⎣⎦
=
=
-⎡⎤++⎣⎦
16. 将直线AB 代入双曲线方程中得：(
)()22
2
2
2
2222210B b A a
x
Aa x a B b -+-+=
()2
22
22
2
2
41a B b B b A a ∆=-+
，AB =
设()()1122,,,A x y B x y 则2
1222222Aa x x B b A a +=--，()
2221222221a B b x x B b A a +=--
OA OB ⊥
()2222222212122
211
0x x y y b a a b A B A B a b
∴+=⇒-=+⇒+=
-
2222
AB A a B b ==
=
=
-
17.()I 设双曲线内直角弦AB 的方程为：()y x q k p -=-即y kx q kp =+-。 当斜率k 存在时，代入双曲线C 1方程中得：(
)()()2
222
2
22220b a k
x
a k q kp x a q kp
b ⎡⎤-----+=⎣⎦
设()()1122,,,A x y B x y 得()122
222
2a k q x kp b a x k +=--，()2
22222
12a q k b a x p b k x ⎡⎤-+⎣⎦-=-
则()()()()01020102PA PB x x x x y y y y ⋅=--+--
()()()()2
222
1200120010k x x kq k p ky x q x x y p x k -=++---+++-=
()()()()()()()()()()()()()()()2
222000022
002
2
22
22222222
000000222222
22222222222222222222222222210
20
a k q kp a q kp
b b a k b a k q kp a k q kp a k q kp a k q kp a q kp a q kp a b a b b a k b kq k p k q kp a k a k q kp y x k x y y x k k x x a k q kp y q y y x a k ⎡⎤---+⇒---+++-=⇒---++--+=---⎣-⎦
-------------⇒()()()()2
222222
222222200020020
kp a q kp b a a k b b q kp q k k x x y b y p y ------+-+-+=
22222002222222222000022222222222200220
2222a k p b k p a k p b a k a kpq a k x k x x x q b y y kp b kpq a q a b b q q y b y -+++⇒+--++---=-
()()()()222220
22222220020022
2222202200a b a p b p p x a b a pq b pq a q p a b q y b q a q x x x b y y y b a ⎧⎧+-=-=⎪⎪⎪⎪-⇒=⇒⎨⎨+⎪⎪=---=-⎪⎪-⎩⎩
即直线AB 过定点2222002
222,a b a b x y a b b a ⎛⎫
++ ⎪--⎝⎭
，此点在C 2上。当直线斜率不存在时，直线AB 也过C 2上的定点。
()II 由上可知C 1和C 2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。
18.必要性：设P 1P 2：()00k x m m y y x =-+。k 存在时，代入双曲线方程中得：
()()()2
2
22222222000020b
a k x a km y kx x a m y kx a
b -++-+-=
设()()111222,,,P x y P x y 得()200122222a km y a x kx b k x +=--+，()2
2222
2222
100a m y kx a a x b x b k
=-++- ()()()()
()()()()()()()()()()()()
2
201021212122
010212012000002222
200002
2222
0000001211111211y y y y k x x k m x x m k k x x x x x x x x x x b m kmx y k x m y m b m a m a m kmx y k x y mk m y x y x y m y mk ++---++⋅==---++⎡⎤++-+++⎣⎦==-⎡⎤-+-++++⎣⎦
k 不存在时，P 1P 2：x=mx 0
则y =
()()()()()()()
2222222220000201222222222
000111111b y y y m x a b x m b m a k k a m x m x m a x m ⎛-- -+⎝⎭⎝⎭⋅====---- 必要性得证。
充分性：设P 1P 2过定点(),p q ，则P 1P 2：y kx q kp =+-。代入双曲线方程得：
()()()2
2
222222220b
a k x a k q kp x a q kp a
b ------=
设()()111222,,,P x y P x y 得()2122222q kp x x b a a k k -+=-，()2
2
12222
22a q kp x a a b x b k
-+=-- 则()()()()
()()()()2
21020120120122
1020120120y y y y k x x k y x x q y k k x kp q x x x x x x x x x kp ---+-++-⋅==---++-
()()()()()
()()()
()()()()()()()2
22002
002222220000000022222
00000002
222222222
2222202222k k y y x x b y k x a q kp a b a k q kp q kp q kp b a k a q kp a b a k q kp b a k q kp q kp b y kx y kx b y q kp kp q q kp q kp kx a y kx y kx a y kx q q kp a y kx +-+-=
-+⎡⎤---+--++⎣⎦===++--++⎡⎤-+⎣-------------⎦
----+--()22
11m b m kp a +=⋅-
()()000000000001001p mx p mx y kx m k p mx q my q my q my y kx m kp q q kp -==⎧⎧+++⇒=⇒--+=⇒⇒⎨⎨+==-⎩-++--⎩
验证k 不存在的情况，也得到此结论。故l 过定点()()00,1mx my m -≠，充分性得证。 19. 设AB ：()00k y x y x =--即00y kx y kx =+-
()()()00
222222222
2
000022201y kx y kx b a k x a k y kx x a y kx b x y a b
=+-⎧⎪⎡⎤⇒-----+=⎨⎣⎦
-=⎪⎩ ()222222222222200000
0000000222222222
2222222,B B a k y kx a ky a k x b x a ky a k x b x a k y b y b kx x x x B b a k b a k b a k b a k -⎛⎫----+-⇒+=⇒=⇒ ⎪----⎝⎭
222222222200000000
2222222
200224,4BC a ky a k x b x a k y b y b kx b kx b x C k b a k b a k a ky a y ⎛⎫---++∴==- ⎪---⎝⎭
同理 20.
由余
弦定理：
()()
()2
2
2
2
2121212
122cos 242cos 1PF PF PF PF c PF PF c PF PF γγ+-=⇒-=+-
()22
2
2
121222442cos 11cos sin 2
b b a
c PF PF PF PF γγ
γ⇒=+-⇒==-
1222
2122222sin cos
1sin 22sin cot 21cos 22sin 2
cot ,cot 22F PF P P P b b S PF PF b c y b b y x P c c γγ
γγγγγγγ∆=====-⎛⎫⇒===± ⎪ ⎪⎝⎭
21.由正弦定理得
1212sin sin sin PF PF F F
βαγ== P 在右支时，()
222sin sin sin sin c c a γαββα==+- ()2sin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
1tan
cot
sin 222222222sin sin 2sin cos sin sin cos sin cos 1tan cot 222222222
e αβ
αβ
αβ
β
α
α
β
α
β
αββααββαβααβαβ
βα++++++⇒=
=
===-+---- 1tan cot 1tan cot tan cot 2222221e c a
e e e c a
αβαβαβ--⇒-=+⇒==
++ 同理当P 在左支时，()1tan
cot
sin 122tan cot sin sin 2211tan cot 22
e c a e e c a
β
α
αββαβααβ++--=
=
⇒==-++- 22. 由第二定义得：M 在右支时，22100200,a a MF e x ex a MF e x ex a c c ⎛⎫⎛⎫
=+=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
M 在左支时，22100200,a a MF e x a ex MF e x a ex c c ⎛⎫
⎛⎫=--=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
。
23. 易知P 在左支上，
()12210002111PF PF e
e PF e PF a ex e a ex x a d PF e e
+==>⇒=⋅⇒-=-+⇒=⋅-- (
2
02
11210121211,12e x a e e e e e e e
+⎤≤-∴
≥⇒--≤⇒-≤≤+>∴∈+⎦-
24.易知当P 在左支时1PA PF +有最小值，此时：12222PA PF PA PF a AF a +=+-≥-。当且仅当
2,,A F P 三点共线且P 在左支时，等号成立.。
25.易知当k=0时，只有x 轴符合要求，但此时0x 不存在。故0k ≠。当0k ≠时，设A ，B 两点关于直线y=kx+m 对称，直线AB 的方程为1y x p k =-+，易知1b k a -≠±即a
k b
≠±。 联立
AB
与双曲线方程得：
()2
2
22222222220b k
a x a kpx a k p a
b k -+--= 得
()2222222240a b k k p b k a ∆=+->
即2
2
2
2
2
0k p b k a +-> ① AB 中点22222222
2,a kp b k p M b k a b k a ⎛⎫
- ⎪--⎝⎭
在y=kx+m 上，得()22222c k p m b k a =- ②
②代入①得()200c p p m m ⎛⎫+>≠ ⎪⎝⎭
，解②得()22222
m b k a p c k -= ③ 当m=0时由①②得p=0，22
2a k b >。 当m>0时解得0p >或2c p m <-，代入③得222a k b >或42222
22220c k a m k a b k b ⎛⎫><< ⎪-⎝⎭；
当m<0时解得0p <或2c p m >-，代入③得222a k b >或42222
2
2220c k a m k a b k b ⎛⎫><< ⎪-⎝⎭
。 由此可见两种情况的结论相同。 当22
2a k b >时，222
0a b k -<，422222
0c k m a b k
≥>-。 故对任意m ，结论可统一表示为422
2220c k a m k k a b k b ⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭
且
当0:()l y k x x =-，即当0m kx =-时，42222
0222222()0c a b a x k k a b k a b k b +⎛⎫
>=≠≠± ⎪--⎝⎭
且
26. 由5即可得证。
27. 设P ()sec ,tan a b ϕϕ，则切线sec tan :1l x y a b ϕϕ
-=，A 2sec ,1tan a b a c c
ϕϕ⎛⎫⎛⎫- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
27图
()22222
sec sec sec sec ,tan ,10tan b b a ab ab FP FA a c b b b FP FA c c
c c ϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=-+-+=∴⊥ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
28. ()()()2
2
222sec ,tan ,:tan
sec sec sec P a b b c a c a c a ϕϕϕϕϕϕ=-+=-设由射影定理有
()()()22222222222
2
2
2
2
2sec tan sec 1tan 1
1tan sec tan 11tan c a c a e e e e ϕϕϕϕϕϕϕϕ
⇒=+-⇒=+-⇒-=-=⇒=
-
29. 设()()2222
122222:1,:1,:0x y x y C C k k AB l Ax By C a b a b -=-=>++=。联立1,C l 得：
()()22
2
2
2
2
2
2
22
2
20B b A a x Aa Cx a C a b B ---+=，由韦达定理：222222A B Aa C
x x B b A a +=-
同理
222
22
2P Q Aa C
x x B b A a +=-。则
AP -)
222
222111A P B Q A P B Q A A A x x x x x x B B B
+-+-=+---
而,A P B Q x x x x --的符号一定相反，故A P B Q x x x x ---=()
A B P Q x x x x +-+=0。所以AP=BQ 30. ① 当A ，B 同支时，设()()cosh ,sinh ,cosh ,sinh A a b B a b θθϕϕ±±，()00,M x y 为AB 中点。 则
()()222
2222
2
22
2
2
cosh cosh sinh sinh 4sinh sinh 4cosh sinh 42
2
2
2
AB a b a b m θϕ
θϕ
θϕ
θϕ
θϕθϕ+-+-=-+-=+=
22
2
22
2
2sinh sinh cosh sinh 2222a b m θϕ
θϕ
θϕ
θϕ
+-+-⇒+=
而00cosh cosh sinh sinh cosh cosh ,sinh cosh 222222
a a
b b x a y b θϕθϕθϕθϕθϕθϕ
++-++-====
设2
2
sinh
,sinh
2
2
A B θϕ
θϕ
-+==，则()()()()22222
002211,1,1x y A B A B m a AB b A B a b =++=+=++
解得2
0222
00222200221,y x y b A B x y a b a b =--=-，代入m 2得：22
2022222
20002222220022
2200111b x b x y a y a m b x b x a b a y a y ⎛⎫⋅ ⎪⎡⎤⎛⎫ ⎪=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝⎭
令()coth coth 1bx t t ay =->得：()222
2222221sinh cosh x y m a t b t a
b ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 所以定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()222
2
222
221sinh cosh x y m a t b t a
b ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦。
其中coth bx
t ay
=-
，0y =时0t =。 ② 当A ，B 异支时，设()()cosh ,sinh ,cosh ,sinh A a b B a b θθϕϕ±，()00,M x y 为AB 中点。 则
()()222
2222
2
22
2
2
cosh cosh sinh sinh 4cosh cosh 4cosh sinh 42
2
2
2
AB a b a b m θϕ
θϕ
θϕ
θϕ
θϕθϕ+-+-=++-=+=
22
2
22
2
2cosh cosh cosh sinh 2
2
2
2
a b m θϕ
θϕ
θϕ
θϕ
+-+-⇒+=
而
00cosh cosh sinh sinh sinh sinh ,sinh cosh 222222
a a
b b x a y b θϕθϕθϕθϕθϕθϕ
-+-++-=
===
设2
2
sinh
,sinh
2
2
A B θϕ
θϕ
-+==，则()()()()22222
0022,1,111x y AB A B m a A B b A B a b ==+=++++
解得20222
0022220022,x y x a A B y x b a b a ==--，代入m 2得：22
2022222
200022222200222200111a y a x y b x b m a y a y a b b x b x ⎛⎫⋅ ⎪⎡⎤⎛⎫ ⎪=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦-- ⎪⎝⎭
令()coth coth 1ay t t bx =->得：()222
2222221cosh sinh x y m a t b t a
b ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 所以定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为()222
2
222
221cosh sinh x y m a t b t a
b ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦。
其中coth ay
t bx
=-
，0x =时0t =。 综上所述，定长为2m （0m >）的弦中点轨迹方程为：
()()222222
22222
2222
221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨
⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝
⎭⎣⎦⎩时，弦两端点在两支上
，时，弦两端点在同支上 31. 设()()cosh ,sinh ,cosh ,sinh A a b B a b ααββ，()00,M x y 为AB 中点。则：
00cosh cosh cosh cosh cosh 2222cosh 2
x a a x a a αβαββαβα
αβ++--=
=⇒=
+ ()()222
22222222
cosh cosh sinh sinh 4sinh sinh 4cosh sinh 2222
AB a b a b αββααββααβαβ+-+-=-+-=+
2
2222222222222222222
222
22
2002
4sinh sinh cosh 4cosh 1cosh 22222cosh cosh cosh
cosh 22224cosh 24cosh 2
a b c a l l a a c c x l e x c a βααβαββααββααβαββααβαβ-++-+⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+=--= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
-++-⎛⎫⇒-++= ⎪⎝⎭⎛
⎫
⎪+⇒-++=
⎪+ ⎪
⎝⎭
二次函数y=e 2x 2-mx+a 2与24l y =在[),a +∞内的交点即为x 0的值。易知y=e 2x 2-mx+a 2与24
l
y =的右交点为
x 0的值。当m 增大时，x 0增大。要使x 0最小，则要使m 最小。
2
22
02
cosh 22
cosh 2
x c cx αβ
αβ
++≥+，此时等号成立时2
0min
0min cosh 12
x x c c
αβ
+=
≥⇒≥ 当
此
式成
立
时
2222
2
2
222
0min 0min 0min 0min 244222l l l a l a l y e x mx a e x cx a ex a x e e c e
=-+=⇒-+=⇒-=⇒=+=+
当20min
22a l a l x c e e c e =+=+=时：()22=b l a =Φ通径 当0min x c ≥时：2
2=b l a
≥Φ ∴当22=b l a ≥Φ时0min x c ≥，20min 2a l x c e =
+，20
cosh 2x c
αβ+=。
当0min x c <时，当2
cosh
12
αβ
+=，即AB 垂直于x 轴时x 0最小。
(
)2
2
22222222220min 0min 0min 0min 2244414l b l a e x x a c x b l x e b +
-+-=⇒==+⇒=-
22200min 0min 2
20min 2,=,cosh 222,=cosh 12x a l b x c l AB c e a c x b x c l AB x a αβαβ⎧⎛⎫++≥≥Φ=⎪ ⎪⎪⎝⎭
∴=⎫+<<Φ⊥=⎪⎭过焦点，轴， 32.由33，当000x y ==时，22222
A a
B b
C -≤ 33. ()()222222000
b x x a y y a b
Ax By C ⎧---=⎪⎨++=⎪⎩
()()()2222222222222222000020B b A a x B b x a A By C x B b x a B b a By C ⎡⎤⎡⎤⇒--+++--+=⎣⎦⎣⎦
()2
222222222000000002202A a B b A x B y C ABx y ACx BCy Ax By C -≤+++++=+⇒+∆≥
34.由正弦定理得
1221
sin sin sin F F PF PF αβγ
==，所以
1212sin 2sin sin 2F F c c e PF PF a a αγβ====--。 35. 设()sec ,tan P a b ϕϕ，则P 点处的切线为
sec tan 1x y a b
ϕϕ
-=， 由此可得：()()121sec ,sec 1tan tan P P b b
y y ϕϕϕϕ=-+=-()22211222
sec 1tan b P A P A b ϕϕ
-∴⋅== 36.（1）同15。（2）由15,36（3）：222222
22222
2211||||||||||||||||4OPQ OP OQ OP OQ b a OP OQ OP OQ S a b
∆++-+=== ()()2
2
22
222222
2
2
22
222222
444||||OPQ
b
a S
b a a b a b OP OQ a b a b b a b a
∆--⎛⎫+=
≥⋅= ⎪--⎝⎭∴ （
3）
设
()()
sec ,tan ,sec ,tan P a b Q a b θθϕϕ，
2
2
2
2sec sec tan tan 0sin sin a b a OP OQ b
θϕθϕθϕ=-+⋅==⇒
()()
2
222222
222
224442222
2sec tan sin sin 2sec tan tan sec sec tan cos cos 14sin sin 2sin sin sin sin 2sin sin =cos cos sin sin 1sin sin 1sin OPQ OPQ
a b a a b a b S OP OQ ab ab
a b S a b θθϕθ
θϕθϕϕϕθϕ
ϕθϕθϕθϕθθϕϕθ-ϕθ-ϕ∆∆-=⨯=
=-=++-+-⇒
==+++⎛⎫
⎪
⎝⎭+()()()22242
2222222min 422222222
222222242
2
22241sin 11112OPQ OPQ a b a a b b a b S b a b a b S a a b a b a b a b b S a b a b
ϕ∆∆-⎛⎫ ⎪⎛⎫
⎪⎝⎭ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
++⎛⎫≥-=-=⇒≥⇒≥∴ =-----⎪⎝⎭+-
37. 设cos cos :,:sin sin x t x c t AB MN y t y t θθ
θθ
==+⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩，分别代入双曲线方程得： 22
2
2222
cos sin a b t b a θ-θ
=，()2222224cos sin 2cos 0b a t b ct b θθθ-++=由参数t 的几何意义可知： 21222222cos sin ab MN t t b a θθ=-=- 2222
2
222
442cos sin a b AB t a MN b a θθ===- 38.由双曲线极坐标方程得：2
22222
221cos 1cos 1cos cos p p p ab MN e e e a c ϕϕϕϕ
=+==+---， 设OP ：cos sin 2sin cos 2x t t y t t πϕϕπϕϕ
⎧⎛⎫=+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩
代入双曲线方程得：2222
2222
sin cos a b OP t b a ϕϕ==-， ∴22222222222222
cos sin cos 2111
a c
b a a b a b a MN b a
OP ϕϕϕ-=--=-- 39.
设
()()
1122:,,,,l x ty m P x y Q x y =+，将
l
的方程代入双曲线得：
()()22
22222220b t
a y
b mty b m a -++-=
由韦达定理得：()22221212222222
2,b m a b mt
y y y y b t a b t a
-+=-=--，直线A 1P 的方程为()11y y x a x a =++，直线A 2Q
的方程为()2
2y y x a x a
=
--，联立A 1P 和A 2Q 得交点N 的横坐标
()()()()1221
212ty y a m y m a y x a a m y a m y +++-=
++-，代入化简：
()()
()()
()()()()2222
2222222222
212122222222
2121222222a b t a y y ab t b tm b ta b m t a b t a y y a x a a m ab mt m b t a y y m b t a y y ab t ⎡⎤-----+--⎣⎦
=
==⎡⎤-+-----⎣⎦
所以交点一定在直线2
a x m
=上。
引理（张角定理）：A,C,B 三点按顺序排列在一条直线上。直线外一点P 对AC 的张角为α，对CB 的张角为β。 则：
()sin sin sin PC PB PA
αβαβ
+=+
40图 41图
40.如图，A 为左顶点时，设,PFx MFP θϕ∠=∠=，则AFP HFM πθ,πθϕ∠=-∠=--
()2222,,cos a b b p p b AF a c FH c FM p c c ae e e a θ+ϕ⎛⎫
=+=-====-= ⎪⎝⎭
。
对F-AMP 由张角定理：()()
sin sin sin FM FA FP
πθπ-θϕϕ--=+
()()()()()sin sin cos sin cos sin sin sin c a c c a ϕθϕθθθϕθϕϕθϕ⇒-=+-+-+⇒=+
0θπϕπθϕ<<∴=--即FM 平分AFP ∠，同理FN 平分AFQ ∠。90MFN ∴∠=即MF ⊥NF
当A 为右顶点时，由39可知左顶点A ’与P 、M ；与Q 、N 分别共线，于是回到上一种情况。 41.如图，设,PFx MFP θϕ∠=∠=，则12,A FP A FQ πθθ∠=-∠=
对F-QA 2M 和F-A 1MP 由张角定理：
()()()()
21sin sin sin sin sin sin ,FA FM FQ FM FA FP
πϕπ-θϕπθπθϕθϕ-----=+=+
两式相加并化简得：
()()()21sin sin sin sin sin sin FA FA FQ FP
θϕθϕϕϕϕθϕ++-=+⇒=+
0θπϕπθϕ<<∴=--即FM 平分1PFA ∠，同理FN 平分1QFA ∠。90MFN ∴∠=即MF ⊥NF
42. 由12即可证得。
43. 设()00,P x y ，AB ：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，CD ：00cos sin x x t y y t β
β=+⎧⎨=+⎩
，将AB 的方程代入双曲线得：
()()()2
2222222222
220000cos sin 2cos sin 0b
a t
b x a y t b x a y a b αααα-+-+--=
由参数t 的几何意义可知：
2222
22
00122
222cos sin b x a y a b PA PB t t b a αα
--⋅==-，同理
222222
002
222cos sin b x a y a b PC PD b a ββ
--⋅=- 易知P 与A ，B 和C ，D 的位置关系一定相同 22222
222
cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα
⋅∴-=⋅- 44. 对于内角平分线的情况由5即可证得，下仅证l 为外角平分线的情况。
设P ()sec ,tan a b ϕϕ，则0sec tan :
1sec tan 0l x y b a ab a b
ϕϕ
ϕϕ-=⇒--= 则2
:tan sec sec tan 0l a x b y c ϕϕϕϕ+-=，1:sec tan sec 0l b x a y bc ϕϕϕ-+=
2:sec tan sec 0l b x a y bc ϕϕϕ--=。分别联立l 、1l 和l 、2l 得：
()2212222
sec tan sec tan sec ,tan sec sec c ac b bc H a b c ϕϕϕϕϕϕϕϕ-α⎛⎫
- ⎪- ⎪+⎝⎭，
()2222222
sec tan sec tan sec ,tan sec sec c ac b bc H a b a c ϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫
+ ⎪- ⎪++⎝⎭
则12tan sec H ac x c c ϕϕ-α+=，22tan sec H ac x c a c ϕϕ-=+ 对1H 点：()sin b x c ay
ϕ+=-
(2
2
sec tan b x
c a
y b
ϕϕ+∴==
-1H x c +式得：
()
()()()2
22
222222221b x c a y b x c b c x c x
c acy ac a y b x c a
+-+++=⇒-=-+ ()()
()()
2
22222222
2
2
222222a y b x x c a y b x x c c y a y b x c a y b x c ⎡⎤-+-+⎣⎦⇒=
⇒=-+-+ 同理对2H 点得()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤--⎣⎦=--。故1H 点、2H 点的轨迹方程为()()
2
22222
2
222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-± 45.由伸缩变换'a
y y b
=
将双曲线变为等轴双曲线222x y a -=，再由旋转变换变为坐标轴为渐近线的双曲线22k a y k x ⎛⎫== ⎪⎝⎭
原来的共轭直径变为两条关于y 轴对称的直线。只需证明此情况即可证明原命题。 设,
,,,,k k k A m B m C t m m t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则22:,:k k AB y x EF y x m m ==-，AC k k mt
=-，则直线AC ：()k k y x t mt t
=-
-+ 同理BC ：()k k y x t mt t =-+。C 点处的切线()2k k y x t t t -=--。分别联立EF 与AC ，EF 与AB ，EF 与C 点处的切线得：
222
2,,E F D m t t m m t
x m x m x m t t m m t
+-===-+-。
()()2
2
222
2242E F D m t m t m t m t m t x x m m m x m t m t m t m t
+--+-∴+=-===-+--
由E ，D ，F 三点共线可知，D 为EF 的中点。 46. 设MFx ϕ∠=，由双曲线极坐标方程：22
21cos 1cos 1cos p p p
MN e e e ϕϕϕ
=
+=-+- 22cos 1cos 1cos 21cos p p
ep e e HF e ϕϕϕϕ
-
-+==
-，22cos 1cos HF ep PF e ϕϕ==- 2PF e
MN ∴= 47. 由10可知l 为切线2
2
22
11:0l b x x a y y a b --=
22d ∴=
由22:222
121r r e x a =-
22ab ==
=
=
48.同29。
49.()()222000
0000222000
,,:AB
MP b x a y a y AB M x y k k MP y y x x a y b x b x =∴=-∴-=--设中点为则 ()
()22
2222
02
0,,,,,P P a b a b a b y x x x a a x a a a ⎛⎫⎛⎫+++==∈-∞-+∞∴∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
令得
50.同20。
51. 设()()1122:,,,,l x ty m P x y Q x y =+，代入双曲线方程得：()()
2222222220b t a y b mty b m a -++-=
由韦达定理得：()2222121222222
2
2,b m a b mt
y y y y b t a b t a
-+=-=-- 由A 、P 、M 三点共线得()1111M n a y n a
y y x a ty m a ++=
=+++，同理()22N
n a y y ty m a
+=++ ()()()()()()
2
2
2
12
2
2
1212M N
n a y y BM BN n m y y n m t y y t m a y y m a +∴⋅=-+=-++++++ ()()()()()()()
()()()
()()()
()()()()()2
2222
2
2222222222
2
222
2
22222
22222
22202()b m a n a n m b t m a b mt m a m a b t a b m a n a b a m n a n m n m a m a b t m a b mt m a n m a m
a m
b n a a b t a -+=-+
--+++--+-+=-+=-+=⇒+----=-++++-
52,53,54为同一类题（最佳观画位置问题），现给出公式：若有两定点A (),0k -，B (),0k ，点P (),m y 在直线x=m 上（m>k ），则当()()2
2
2
y m k m k m k =+-=-时，∠APB 最大，其正弦值为
k
m
。
52.k=a,m=c ∴sinα≤1e ,当且仅当PF=b 时取等号。 53. k=2a c ,m= a ∴sinα≤1e ,当且仅当PA=ab
c
时取等
号。
54. k=2a c ,m= c ∴sinα≤21
e
,当且仅当PF 1
55.
设
∠
AF 2x=
θ
，
则
()()2
22
222
1122224224441cos 1cos 1cos a b p p a p p F A F B a a a a ap p e e e a θθθ++⎛⎫⎛⎫⋅=++=+≥++= ⎪⎪
+--⎝
⎭⎝⎭ 当且仅当θ=90°时等号成立。
56. （1）设cos :sin x t a AP y t αα
=-⎧⎨=⎩，代入双曲线方程得：()
2
22222cos sin 2cos b a t ab t ααα-= ∵AP=t ≠0
∴AP=222
2
2
2
2
2
2
2cos 2cos cos sin cos ab ab t b a a c αααα
α
=
=
--
（2）设()00,P x y 则22
2022
20tan tan 1y b e x a a
αβ=-=-=-- （3）22222
22222
2sin cos 12tan sin 2tan cos a b a b S PA AB a b a c ααα
ααα
=⋅==-- 由
（
2
）
：
()2
22222
22
2
22
tan tan tan tan tan tan cot 11tan tan b a b c a e c a b αααααβγγαα--+===-⇒=-+--22222222cot 2cot a b a b S c a b γγ∴=-=
+
57. 由58可证。
58.（1）易知PQ 的斜率为0和斜率不存在时，对任意x 轴上的点A 都成立。设:PQ x ty m =+，A （m ，0）
代入双曲线方程得：(
)()
222
2
2
2
2
2
20b t a
y
b mty b m a
-++-=，则()222212122222222,b m a b mt
y y y y b t a b t a
-+=-=--
若PBA QBA ∠=∠，则()()12
122112000BQ BP B B B B
y y k k y ty m x y ty m x x x x x +=⇒
+=⇒+-++-=--
()()()
()()()22222222
1212222222
22222
2
222002200B B B B B A B b t m a b mt m x ty y m x y y b t m a b mt m x b t a b t a a a m t a t m t mtx x x x m a m m
--⇒+-+=⇒-=⇒---=--⇒--+=⇒=⇒⋅=⋅=
（2）作P 关于x 轴的对称点'P ，由（1）即证。 59.同9。 60.
设
1cos :,0,tan sin 2x c t a b l y t b a απααα
=+⎧⎡⎤∈≠⎨⎢⎥=⎣⎦⎩且或
，代入双曲线方程得：
()2
222224cos sin 2cos 0b
a t
b
c t b ααα-++=
2
1222222cos sin ab AB t t b a αα
∴=-==-，同理对2
l 倾斜角2πβα=+。
2
122
222
2cos sin ab CD t t a b αα
∴=-==- 22
2222222222222211
1122cos sin cos sin sin sin AB CD ab ab b a a b b c a c αααααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪∴+=+
=+ ⎪ ⎪----⎝
⎭⎝⎭
当a=b 时，c =
=，222
4224212sin a b c AB CD a a a a α
+=
≥=+=-，此时0α=或2
π。
当a b ≠时，设()22222211sin sin f b c a c ααα=
+--，则()f α关于sin α在0,min ,a b c c ⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢
⎩⎭⎣
⎭上增至正无穷，在max ,,1a b c c ⎛⎤⎧⎫⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝
⎦上单调减，在a c 和b c 之间先减后增，此时两者异号。 当sin 0,min ,a b c c α⎡⎫⎧⎫∈⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣
⎭和max ,,1a b c c ⎛⎤⎧⎫⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦时，当sin α为0或1时，()f α有最小值2
222211c
b a a b
+=。
当
sin α
介于
a
c
和
b c
之间时：
()()()2222222222
222222114sin sin sin sin b a f b c c a b a b c c a ααααα-=+=≥
-----
等号成立时2
2
2
222sin
sin b c c a αα-=-即4π
α=
。而2
2222222
444c a b c a b b a
>=>+-
故当a b ≠时，()min 22
4f b a
α=-，AB CD +的最小值为2
228ab a b -。 61,62,63为同一类问题，现给出公式：若点P 到两定点A (),0m -，B (),0m 的距离之比
()0,1PA
k k k PB
=>≠，
则P 点的轨迹为一个圆，圆心坐标为221,01k m k ⎛⎫+ ⎪
-⎝⎭
，圆的半径为221km k -。 下三个题的比值k 均为
c a
b
-，代入上述公式得：圆心坐标为(),0me ，圆的半径为b m a 。
61.m=c ，圆心坐标为(),0ce ±，圆的半径为be 。轨迹方程是姊妹圆()()2
2
2x ce y be ±+=。 62.m=a ，圆心坐标为(),0c ±，圆的半径为b 。轨迹方程是姊妹圆()2
22x c y b ±+=。
63.m=2a c ，圆心坐标为(),0a ±，圆的半径为b e 。轨迹方程是姊妹圆()2
22
b x y a e ⎛+=⎫ ⎪⎝⎭
±。
. 设()()()()'
sec ,tan ,,,,0,,0P a b Q x y A a A a ϕϕ-，由''
0AP AQ A P AQ ⋅=⋅=得2
tan sec ,a Q a b ϕϕ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
消去参数ϕ得Q 点的轨迹方程：222
241x b y a a
-= 65.同37。
66.（1）同35。
（2）由基本不等式''2AM A M b +>（渐近线时取等号），则梯形''AMA M 面积趋近于一个最小值
1
2222
a b ab ⋅⋅=。 67.设AC 交x 轴于M ，AD ⊥l 于D 。由双曲线第二定义：1AM BC FM AM BC AF BC e AC CM AD EM CM AD BF AD e
AC
⋅⋅⋅=
====⋅⋅⋅ ∴AC 过EF 的中点。
68.（1）由17可知当双曲线方程为22
221x y a b -=时，AB 过定点2222
,0a b a b a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭
-。当双曲线方程变为22
2
2()1x a y a b
--= 时，双曲线向右平移了a 个单位，定点也应向右平移了a 个单位，故此时AB 过定点2222
,0a b a a b a ⎛++-⎫
⎪⎝⎭即22
22,0a b a b ⎛-⎫
⎪⎝⎭
（2）由69（2）P 为原点，即m=n=0时Q 的轨迹方程是22222
2222()()ab ab x y b a b a
-+=--（除原点）。
69.（1）由17可知当双曲线方程为22221x y a b -=时，AB 过定点()2222
2
222,a b a b b a m a n a b +⎛⎫
- ⎪-⎝-⎭
+。当双曲线方程变为22
2
2()1x a y a b
--=时，双曲线向右平移了a 个单位，定点也应向右平移了a 个单位，故此时AB 过定点()2222
2
222,a b a m a a n a b b b a +⎛⎫-+ ⎪-⎝-⎭
+即222222222
2()()
(,)ab m b a n a b b a b a -++--。 （2）先证双曲线中心在原点的情况。双曲线方程为：22
221x y a b
-=，()00,P x y ，AB 的斜率为tan k θ=。
由17（1）：AB 过定点22220
02222,a b a b x y a b a b ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭，设AB ：2222002222a b a b y y k x x a b a b ⎛⎫
+++=- ⎪--⎝⎭，PQ ：()001
y y x x k
-=-
- 两
者
联
立
得
()()()()()2222000
2
2
222222
1211Q a k y b kx b y y b a k b a k a b -=++-+-+-，
()()()()()2222000
22222222
1211Q b k x a ky a x x b a
k b a k b a -=-+--+-+- 则()()()()()22222200000
2
222222222221tan 2tan cos 2sin 2tan 1tan 1Q b x a x a y b x a y x b a b a b a b a b a θθθ-θθθ-+=-=---+-+- ()()()()()22222200000
222222222222
1tan 2tan sin 2cos 2tan 1tan 1Q a y b y b x b x a y y b a b a
b a b a b a θθθθθθ--=+=+---+-+- ()
()()
()()
2222
222222000000
222222222222
24222
22222
42
4242
00000
2
2
2
2
22
222cos 2sin 2sin 2cos 2Q Q a x b y b x a y b x a y x y b a b a b a b a b a b a a b y a b b a b a y a y b x a y b a
b a
b a θ-θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤+++++⎣⎦
=
=
=
---
当双曲线方程变为
22
22()1x a y a b
--=时，双曲线向右平移了a 个单位，圆心也应向右平移了a 个单位，而半径不变。故此时圆心的坐标为()222222,a a m b n a b a b a ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭即2222222,ab a m b n b a b a ⎛⎫
- ⎪--⎝
⎭，半径的平方仍为
()()
24222
2
2
2a b n a b b
a
⎡⎤++⎣⎦
-。
∴Q 点的轨迹方程为()()
24222
2
2
22
2
2
22222
2Q Q a b n a b ab a m b n x y b a b a b
a
⎡⎤++⎛⎫⎛⎫
-⎣⎦
-
+-=
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
-（除P 点）。
70. 设L:Ax+By+C=0,
则12d d ==
2221222
C A c d d A B -∴=
+
将
L
代入双曲线方程得：
()()22
22222222220B b
A a x a ACx a C a b
B ---+=，
()222222224a b B B b A a C ∆=-+
212d d b =，且F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和双曲线相切,或L 是双曲线的渐近线；
212d d b >，且F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和双曲线相离；212d d b <，或F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和双
曲线相交.
71.
由
35
：
()()
1sec ,sec 1tan tan C D b b
y y ϕϕϕϕ
=-
+=-()()()()sec 1sec 1:,:2tan 2tan b b AD y x a BC y x a a a ϕϕϕϕ-+∴=+=- 联立解得tan sec ,2b M a ϕϕ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，消去参数ϕ得M 点的轨迹方程为：()22
2
2410x y y a b -=≠ 72. 由43：222222222222
00002222222cos sin sin b x a y a b b x a y a b PA PB b a b c θθθ
----⋅==--。∵P 在含焦点的一侧 ∴2222
22000b x a y a b -->
当a b ≥时，当2
π
θ=
，即AB 与实轴垂直时，()2222
22
002
min
b x a y a b PA PB a --⋅=
；当a002
min
b x a y a b PA PB b
--⋅=。无论a 与b 关系如何，均无最大值。 73.同7。 74.同8。 75.由8可知，切线长分别为1FT a c =+，()22F T c a c c a =-+=-，同理可证P 在其他位置情况。
76.如图，由切线长定理2F 1S=PF 1+PF 2+F 1F 2，PS=F 1S-PF 1，所以PS=PQ=c-a.
76图 77图
77. 设P ()sec ,tan a b ϕϕ，由79中得到的外点坐标和22中的焦半径公式：
2212sec sec ,sec sec M M c c c c
x c x c a a e e PF a c PF c a
ϕϕ
ϕϕ+-+-====+- 78.由77和内角平分线定理：
221PF PI
IM F M e
==。 79. 设P ()sec ,tan a b ϕϕ，则12F PF ∠内角平分线（即切线）sec tan :1l x y a b ϕϕ-=，由此得内点,0sec a N ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；同理12F PF ∠外角平分线（即法线）2
':tan sec sec tan 0l a x b y c ϕϕϕϕ+-=，由此得外点
2sec ,0c M a ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2
2sec sec M N
c a x x c a ϕϕ∴⋅=⋅= 80. 由79中得到的内外点坐标可得：2sec sec sec a a c c c c a ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，即证。 81.由79中得到的内外点坐标可得：22
sec sec sec c a c c c c a a ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即证。 82.同5。 83.同5。 84.由5,7即证。 85. 设P
()sec ,tan a b ϕϕ，则12F PF ∠内角平分线（即切线）sec tan :
1l x y a b
ϕϕ
-=，1
cos tan sin sin cos b a a b ϕ
βϕϕϕ
==
由50得：2
tan tan cot bc c b b
ϕϕα==，tan tan b
c αϕ=则 22222222222222222222
2222222222222222222
222tan 1
1tan cos tan 1tan tan sin sin tan 11cos tan 1tan tan 1tan 1tan tan cos tan cos b b c c b e b e a e a a b b c b c c b e c e e e
b c ϕϕαβϕϕϕϕ
αβαϕϕβϕ
ϕαϕβ
++++++=====
++++++==⇒=+ 86. 由4即证。 87.同4。
88. 由71：()()1sec ,sec 1tan tan C D b b y y ϕϕϕϕ
=
--=-，()()12,0,,0F c F c - ()()()22112
sec 10tan b FC F D a c c a ϕϕ
-∴⋅=+--
= 同理：()()()22222
sec 10tan b CF DF a c c a ϕϕ
-∴⋅=+--
=
1122,CF F D CF F D ∴⊥⊥，即两焦点在以两交点为直径的圆上。
. 设P ()sec ,tan a b ϕϕ，则()()1:tan sec tan sec b b l y b x a y x b a a ϕϕϕϕ-=-⇒=+-
同理()2:tan sec b
l y x b a ϕϕ=-
++ ∴()()2sec tan sec tan b b OM ON a b b
a a
ϕϕϕϕ-+⋅=⋅= 同理()()2sec tan sec tan OQ OR b b b ϕϕϕϕ⋅=-⋅+= 90. 设P ()00,x y ，则100200:,:b b b b
l y x y x l y x y x a a a a =
+-=-++0000,bx ay bx ay OM ON b b
-+∴== 2222
2
0000002
bx ay bx ay b x a y OM ON a b b b
-+-∴⋅=⋅== 同理：0000,b b OQ x y OR x y a a =-=+ 2222
2000000
2
bx ay bx ay b x a y OQ OR b a a a
-+-∴⋅=⋅== 均推出P 点的轨迹方程为22221x y a b -=。 91. 设
()sec ,tan P a b ϕϕ，则
()()tan ,tan ,sec ,sec Q a b R a b ϕϕϕϕ--
()2212sec tan 22
ab ab
S S ϕϕ∴-=
-= 92. 设P ()00,x y ，则00,Q R a b x y y x b a =-
=- 220012122
ay bx ab S S b a ∴-=-=
由此得P 点的轨迹方程为22
2
21x y a b
-=，即：22221(0,0)x y a b a b -=>>或22221(0,0)y x a b b a -=>>。
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