【精品讲义】新课标高一 数学 必修一基本不等式和二次函数与一元二次方程不等式

1.掌握基本不等式及推导过程，能熟练运用基本不等式比较两实数的大小

2.熟练掌握基本不等式及变形的应用.

3.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.

导学一：基本不等式

知识点　基本不等式

1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．

一、利用基本不等式比较大小

例1　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　)

A．x＝             B．x≤          C．x>                 D．x≥

反思感悟　基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．

跟踪训练1　若0二、利用基本不等式直接求最值

例2　(1)当x>0时，求＋4x的最小值；

(2)当x<0时，求＋4x的最大值；

(3)当x>1时，求2x＋的最小值；

(4)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．

反思感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点：

一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．

跟踪训练2　已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　)

A．16  B．25  C．9  D．36

1．若0A．a>>>b       B．b>>>a      C．b>>>a       D．b>a>>

2．下列等式中最小值为4的是(　　)

A．y＝x＋          B．y＝2t＋          C．y＝4t＋(t>0)             D．y＝t＋

3．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋≥4         B．a2＋b2≥4ab           C.≥           D．x2＋≥2

4．已知x>－1，则的最小值为________．

1．知识清单：

两个不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，≥(a，b都是正数)．

2．方法归纳：通过拆项、加项配凑成基本不等式的形式．

3．常见误区：一正、二定、三相等，常缺少条件导致错误．

导学二：基本不等式的应用

知识点　用基本不等式求最值

用基本不等式≥求最值应注意：

(1)x，y是正数；

(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；

②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.

(3)讨论等号成立的条件是否满足．

自我检验

1．已知02．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.

3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元．

4．已知x>2，则x＋的最小值为________．

一、利用基本不等式变形求最值

例1　已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

延伸探究　若将条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

反思感悟　应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．

跟踪训练1　已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值是________．

1．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　)

A．3                 B．3－2            C．－1                    D．3－2

2．已知(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(　　)

A．1＋                B．2                C．3                  D．4

3．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则＋的最小值为________．

1．知识清单：

(1)已知x，y是正数．

①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．

②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．

即：“和定积最大，积定和最小”．

导学三 二次函数与一元二次方程、不等式

知识点　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系

一、解不含参数的一元二次不等式

例1　解下列不等式：

(1)－x2＋5x－6>0；                (2)3x2＋5x－2≥0；                (3)x2－4x＋5>0.

反思感悟　解一元二次不等式的一般步骤

第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集．

跟踪训练1　解下列不等式：

(1)4x2－4x＋1>0；               (2)－x2＋6x－10>0.

二、三个“二次”间的关系及应用

例2　已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3(1)求二次函数的解析式；

(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．

反思感悟　三个“二次”之间的关系

(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．

(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：

特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．

跟踪训练2　已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为.

(1)求a，c的值；

(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.

三、含参数的一元二次不等式的解法

例3　设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.

反思感悟　解含参数的一元二次不等式的步骤

特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．

跟踪训练3　(1)当a＝时，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集；

(2)若a>0，求关于x的不等式x2－x＋1≤0的解集．

1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)

A.         B.         C．∅                 D.

2．如果关于x的不等式x2A．－81          B．81            C．－           D．

3．不等式x2－3x－10<0的解集是________．

4．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________．

课后作业：

1．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　)

A．a2＋b2>2ab          B．a＋b≥2           C.＋>                D.＋≥2

2．若0A.                  B．a2＋b2                        C．2ab           D．a

3．已知a>0，b>0，且ab＝2，那么(　　)

A．a＋b≥4              B．a＋b≤4           C．a2＋b2≥4            D．a2＋b2≤4

4．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　)

5．(2019·全国Ⅰ)已知集合M＝{x|－4A．{x|－4C．{x|－26．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)

A．8           B．7            C．6           D．5

7．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．a8．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　)

A.           B.           C.        D.

9．已知a>b>c，则与的大小关系是____________________．

10．设a，b为非零实数，给出下列不等式：

①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.其中恒成立的是________．(填序号)

11．设a>0，b>0，给出下列不等式：

①a2＋1>a；    ②≥4；

③(a＋b)≥4；    ④a2＋9>6a.

12．已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.

(1)求xy的最大值；

(2)求＋的最小值．