高中数学-常用逻辑用语测试题

(时间：90分钟　满分：120分  )

第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是(　　)

A．不存在x0∈R,2x0＞0

B．存在x0∈R,2x0≥0

C．对任意的x∈R,2x≤0

D．对任意的x∈R,2x＞0

解析：因为命题“存在x0∈R,2x0≤0”是特称命题，所以它的否定是全称命题．

答案：D

2．(·安徽卷)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定推出x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．

答案：B

3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是(　　)

A．能被3整除的整数，一定能被6整除

B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除

C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除

D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除

解析：一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题为已知命题的逆否命题．

答案：B

4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由x＝4知|a|＝＝5；反之，由|a|＝＝5，得x＝4或x＝－4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件，故选A.

答案：A

5．(·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q　　　　　　　    B．綈p∧q

C．p∧綈q      D．綈p∧綈q

解析：命题p为假，因为当x＜0时，2x＞3x.命题q为真，因为f(x)＝x3＋x2－1在(0，＋∞)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(1)＝1＞0，所以在(0,1)内函数f(x)必存在零点．所以綈p∧q为真命题，故选B.

答案：B

6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题：

①sin∠A＞sin∠B；②cos2∠A＜cos2∠B；③tan＞tan.

其中正确的命题个数是(　　)

A．0个      B．1个

C．2个      D．3个

解析：当∠A、∠B均为锐角时，由函数的单调性及不等式的性质知都成立；当∠B为锐角，∠A为钝角或直角时，又有∠A、∠B为三角形的内角，所以≤∠A＜π，0＜∠B＜，∠A＋∠B＜π，即≤＜，0＜＜，∠B＜π－∠A＜，即tan＞tan，sin∠B＜sin(π－∠A)＝sin∠A，cos∠B＞cos(π－∠A)＝－cos∠A≥0，所以cos2∠A＜cos2∠B.

答案：D

7．下面说法正确的是(　　)

A．命题“∃x0∈R，使得x＋x0＋1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2＋x＋1≥0”

B．实数x＞y是x2＞y2成立的充要条件

C．设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“綈p∧綈q”也为假命题

D．命题“若α＝0，则cosα＝1”的逆否命题为真命题

解析：对A选项，命题的否定是：“∀x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，故不正确，对于B选项，由x＞yA/⇒x2＞y2，且x2＞y2A/⇒x＞y，故不正确．对于C选项，若“p∨q”为假命题，

则“綈p∧綈q”为真命题，故不正确．

对于D选项，若α＝0，则cosα＝1是真命题，故其逆否命题也为真命题，故正确．

答案：D

8．已知命题p：∃x0∈R，使tanx0＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是(　　)

A．命题“p∧q”是真命题

B．命题“p∧綈q”是假命题

C．命题“綈p∨q”是真命题

D．命题“綈p∧綈q”是假命题

解析：∵p真，q假．故p∧q为假，p∧綈q为真．綈p∨q为假，綈p∧綈q为假，选D.

答案：D

9．下列结论错误的是(　　)

A．命题“若log2(x2－2x－1)＝1，则x＝－1”的逆否命题是“若x≠－1，则log2(x2－2x－1)≠1”

B．设α，β∈，则“α＜β”是“tanα＜tanβ”的充要条件

C．若“(綈p)∧q”是假命题，则“p∨q”为假命题

D．“∃α∈R，使sin2α＋cos2α≥1”为真命题

解析：根据逆否命题定义知A选项正确．由正切函数单调性，可判断B选项正确．D选项作为特称命题正确，对于C选项，“綈p∧q”为假，则綈p，q中至少一个为假，故p∨q真假不定，故选C.

答案：C

10．给出下列三个命题：

①若a≥b＞－1，则≥；②若正整数m和n满足m≤n，则≤；③设P(x1，y1)是圆O1：x2＋y2＝9上的任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．

其中假命题的个数为(　　)

A．0个      B．1个

C．2个      D．3个

解析：①≥⇒1－≥1－⇒≤，又a≥b＞－1⇔a＋1≥b＋1＞0知本命题为真命题．

②用基本不等式：2xy≤x2＋y2(x＞0，y＞0)，取x＝，y＝，知本命题为真命题．

③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．

答案：B

第Ⅱ卷(非选择题，共70分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

11．给出命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________．

解析：∵命题：“若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1个．

答案：1个

12．命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

解析：∵命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，∴不等式ax2－2ax－3≤0对于任意的实数x恒成立，(1)当a＝0时，符合条件；(2)当即－3≤a＜0.

由(1)、(2)得实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－3}．

答案：－3≤a≤0

13．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是__________．

解析：∵|x－1|＜a⇔1－a＜x＜1＋a，

又∵不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，

∴即∴a≥3.

答案：[3，＋∞)

14．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是__________．

解析：∵“p∧q”为真命题，∴p，q均为真命题．

由p为真命题得a≤1.由q为真命题得a≤－2或a≥1.

∴当p，q同时为真时，有a≤－2或a＝1.

答案：a≤－2或a＝1

三、解答题：本大题共4小题，满分50分．

15．(12分)命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．

解：逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．(3分)

否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b＜0.(6分)

逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．(9分)

原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．

(12分)

16．(12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

解：由题意p：－2≤x－3≤2，

∴1≤x≤5.

∴綈p：x＜1或x＞5.(4分)

q：m－1≤x≤m＋1，

∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.(8分)

又∵綈p是綈q的充分不必要条件，

∴

∴2≤m≤4.(12分)

17．(12分)设命题p：∃x0∈R，x＋2ax0－a＝0.命题q：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1.如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

解：当命题p为真时，Δ＝4a2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，当命题q为真时，(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，

∴a＋2＞0且16－4(a＋2)(a－1)≤0，即a≥2.(6分)

由题意得，命题p和命题q一真一假．

当命题p为真，命题q为假时，得a≤－1；

当命题p为假，命题q为真时，得a∈∅；

∴实数a的取值范围为(－∞，－1]．(12分)

18．(14分)给出两个命题：

命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．

分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．

(1)甲、乙至少有一个是真命题；

(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．

解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞或a＜－1.

乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－.

(1)甲、乙至少有一个是真命题时，

即上面两个范围取并集，

∴a的取值范围是{a|a＜－或a＞}．(7分)

(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：

甲真乙假时，＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－，

∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|＜a≤1或－1≤a＜－}．(14分)