2010三明中考数学卷(含答案)

数 学 试 题

（满分：150分 考试时间：6月21日上午8：30－10：30）

友情提示：

1、选择题答案用2B 铅笔填涂，非选择题使用黑色签字笔作答，作图或画辅助线等需用签字笔描黑。

2、未注明精确度保留有效数字等的计算问题，结果应为准确值。

3、抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x ＝－2b

a

.

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分。每小题只有一个正确选项，请在答题

卡的相应位置填涂）

1． （2010福建三明，1，4分）比－3大2的数是（ ） A ．－5 B ．－1 C ．1 D ．5

【分析】有理数运算中加法法则的运用，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减．

【答案】B

2． （2010福建三明，2，4分）下列运算正确的是（ ）

A ．a 3＋a 2＝a 5

B ．a 3－a 2＝a

C ．a 3·a 2＝a 6

D ．（a 3）

2

＝a 6

【分析】幂的相关运算，要注意法则的应用，同底数幂相加时除非是相同的幂，可以合并同类项，否则不可以合并计算。幂的乘方和同底数幂相乘中指数的变化要分清，同底数幂相乘应把指数相加，幂的乘方则底数不变，指数相乘。

【答案】D

3．（2010福建三明，3，4分）不等式组3032 5.

x x +-⎧⎨⎩＜，

≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A

B

D

【分析】解不等式组问题，要注意不等式在数轴上表示的时候关注方向，关注实心还是

空心，哪一部分为重合部分。

【答案】A

4． （2010福建三明，4，4分）若两圆的半径分别为5和2，圆心距是4。则这两圆的位

置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切

【分析】本题考察两圆位置关系的判定，确定R －r 、R ＋r 、d 三者之间的关系即可。 【答案】C

5． （2010福建三明，5，4分）2010年4月20日，电视台举办“情系玉树，大爱无

1

－1 －2 －3 －4 0

1

－1 －2 －3 －4

A．0.2175×109B．2.175×108C．2.175×109D．21.75×108

【分析】本题考察科学记数法，要注意两个方面，一是1≤a＜10，其次是指数与位

数的关系，指数要比整数位小1。

【答案】C

6．（2010福建三明，6，4分）下列成语所描述的事件是必然事件的是（）A．水中捞月B．守株待兔C．水涨船高D．画饼充饥

【分析】本题是对必然事件和可能事件和不可能事件的概念的理解，从实际语境创设问题的情境，有一定的难度。

【答案】C

7．（2010福建三明，7，4分）林老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：

甲：函数的图象经过第二象限；

乙：函数的图象经过第四象限；

丙：在每一个象限内，y值随x值增大而增大。

根据他们的叙述，林老师给出的这个函数可能是（）

A．y＝－3x B．y＝－3

x

C．y＝x－3 D．y＝x2－3

【分析】本题最好的解决方法是排除法，答案A显然不满足丙的条件，而C不满足甲条件，D则不满足丙条件，只有B是满足甲、乙、丙条件。

【答案】B

8．（2010福建三明，8，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°。AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）

A．AE＝BE B．AC＝BE C．CE＝DE D．∠CAE＝∠B 【分析】AE＝BE很容易由垂直平分线的性质得出，AC＝CE很容易用反例说明其错误：若有AC＝BE，则必有AC＝AE，由∠C＝90°这显然不可能，而C选选由角平分线性质易得出，利用已知条件也容易得出∠CAE、∠B、∠DAE均为30°，从而确定D的正确性。

【答案】B

9．（2010福建三明，9，4分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的全面积是（）A．14πB．24πC．26πD．36π

【分析】利用三视图可获取此几何体是圆锥，其底面直径是4，母线长为5，展开后为侧面为扇形，扇形半径为5，弧长为4π，所以侧面积为10π，底面是圆，其面积为4π，所以全面积为14π。

【答案】A

10．（2010福建三明，10，4分）如图，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的概率是（）

A．1

6

B．

1

3

C．

1

2

D．

2

3

【分析】涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现6种等可能情况，当涂黑左上角和右下角的黑块时，不会是轴对称图形，其余均可以，所以选择D 。

【答案】D

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分。请将答案填入答题卡的相应位置） 11． （2010福建三明，11，4

_________。

【分析】63可分解为9×7，9可开出3，从而得结果为

【答案】

12． （2010福建三明，12，4分）方程

3

2

2x x

=-的解为___________。 【分析】方程两边同时乘以x （x －2），转化为3x ＝2x －4，解得x ＝－4。 【答案】x ＝－4

13． （2010福建三明，13，4分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，∠ABC ＝75°，

DE ∥AB 交BC 于点E ，将△DCE 沿DE 翻折，得到△DFE ，则∠EDF ＝______度。 【分析】由条件知梯形ABCD 为等腰梯形，∠C ＝∠ABC ＝75°，∠CDA ＝105°，由DE ∥AB 、AD ∥BC 知四边形ABED 为平行四边形，∠ADE ＝B ＝75°，所以∠EDC ＝105°－75°＝30°，三角形DFE 由三角形CED 折叠得到，所以∠FDE ＝∠EDC ＝30°。

【答案】30

14． （2010福建三明，14，4分）一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，x ，7，9。

这组数据的中位数是6。则这组数据的众数为_________。

【分析】这组数据一共有六个数据，中位数必为最中间两数的平均数，因此x 和5的平均数是6，从而求出x 的值是7，进而得出数据的众数是7。

【答案】7

15． （2010福建三明，15，4分）如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图。

在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处。已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD 。且测得AB ＝1.4米，BP ＝2.1米，PD ＝12米。那么该古城墙CD 的高度是______米。

B A

C E D

（第8题图）

· 左

视图 主视图 俯

视图

（第9题图）

（第10题图）

C

B

（第13题图）

【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠

CDP＝90°得到△ABP∽△CDP，得到AB

CD

＝

BP

PD

代入数值求的CD＝8。

【答案】8

16．（2010福建三明，16，4分）观察下列有序整数对：

（1，1）。

（1，2），（2，1）。

（1，3），（2，2），（3，1）

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）。

（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）。

…

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10行从左到右第5个整数对是___________。

【分析】有序数对的第一个是列数，第二个用行数减去列数加1。

【答案】（5，6）

三、解答题（共7小题，满分86分。请将解答过程写在答题卡的相应位置）

17．（2010福建三明，17，16分）（本题满分16分，每小题8分）

（1）请从三个代数式4x2－y2，2xy＋y2，4x2＋4xy＋y2中，任选两个构造一个分式，并化简该分式；

（2）解方程：（x－1）2＋2x－3＝0.

【答案】：（1）本题答案不唯一

①

22

4

2

2

x y

xy y

-

+

……………………2分

＝()()

()

22

2

x y x y

y x y

+-

+

……………………6分

＝2x y

y

-

………………………8分

②

22

4

22

44

x y

x xy y

-

++

＝

()()

()

222

22

2

x y x y x y

x y

x y

+--

=

+

+

；

③

2

2(2)

22(2)(2)2

4

xy y y x y y

x y x y x y

x y

++

==

+---

；

④ 2

2(2)222244(2)xy y y x y y

x y

x xy y x y ++==++++； ⑤ 22244(2)222(2)(2)24x xy y x y x y x y x y x y x y ++++==+---；

⑥ 22244(2)2.2(2)2x xy y x y x y y x y y xy y

++++==++

（2） x 2－2x ＋1＋2x －3＝0 ……………………………………………………………3分

x 2－2＝0

x 2＝2 (6)

分 ∴x 1

x 2

(8)

分

18． （2010福建三明，18，10分）（本题满分10分）

如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点。 （1）求证：四边形DECF 是平行四边形；（5分）

（2）若AC ＝BC ，则四边形DECF 是什么特殊四边形？请说明理由。（5分）

【答案】：

（1）方法一：∵D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点， ∴DE ∥AC ，DE ＝

12AC ，CF ＝1

2

AC . …………………………………3分 ∴DE ∥CF ，DE ＝CF .

∴四边形DECF 是平行四边形. ……………………………………5分

方法二：∵D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点，

∴DE ∥AC ，DF ∥BC . ……………………………………3分

∴四边形DECF 是平行四边形. ……………………………………5分

（2）四边形DECF 是菱形……………………………………6分 理由：∵E 、F 分别是边BC 、CA 的中点，

∴CE ＝

12BC ，CF ＝12

AC . 又∵AC ＝BC ，

A

B C D E F （第18题图）

由（1）知，四边形DECF是平行四边形.

∴四边形DECF是菱形. ……………………………………10分

19．（2010福建三明，19，10分）（本题满分10分）

九年级（1）班的小亮为了了解本班同学的血型情况，对全班同学进行了调查。将调查数据绘制成如下两幅不完整的统计图表。请你根据图表提供的信息回答下列问题：（1）九年级（1）班共有学生_____人，其中a＝______；（4分）

（2）扇形统计图中，AB血型所在扇形的圆心角为_______度；（3分）

（3）已知同种血型的人可以互相输血。O型血可以输给任何一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血。小红是九年级（1）班的B血型学生。因病需要输血。在本班学生中（小红除外）任找一人，求他的血可以输给小红的概率。（3分）

【答案】：（1）50，14；（每空2分）……………………………………4分

（2）36；（3分）……………………………………7分

（3）九年级（1）班除小红外有49人，可以给小红输血的人数为

12＋18＝30人. ……………………………………8分

∴P（血可以输给小红）＝30

49

.……………………………………10分

A

28%

O

36%

B

AB

血型人数扇形统计图血型人数统计表

（第19题图）

如图，BD 是⊙O 的弦。过点D 做⊙O 的切线交BO 延长线于点A 。AC ⊥AD 交BD 延长线于点C 。

（1）求证：AB ＝AC ；（6分）

（2）若AB ＝5，∠B ＝25°。求AD 的长。（精确到0.1）（6分）

【分析】遇到切点，连接切点和圆心构造垂直是常用的手段，本题应该连接OD ，利用OD ⊥AD 和AC ⊥AD 得到OD ∥AC ，进而得到∠B ＝∠ODB ＝∠C ，从而得到AB ＝AC .而第二问直接利用解直角三角形得到。

【答案】：（1）连接OD ，∵AD 切⊙O 于D ，

∴OD ⊥AD . ……………………………………1分 ∵AC ⊥AD ，

∴∠ODA ＝∠DAC ＝90°.…………2分 ∴OD ∥AC . ……………………………3分 ∴∠1＝∠C . ……………………4分

∵OB ＝OD ， ∴∠B ＝∠1. ∴∠B ＝∠C . ………………………5分 ∴AB ＝AC . ………………………6分 （2）由（1）得，∠C ＝∠B ，AB ＝AC ， ∴∠C ＝25°，AC ＝5. ……………………………………8分

在Rt △ACD 中，tan C ＝

AD

AC

，……………………………………10分 ∴AD ＝AC tan C ＝5tan25°≈2.3……………………………………12分

C （第20题图） A

B

D

O ·

C

A B D O

·

（1）享受合作医疗的李大妈在一次住院治疗中的医疗费为18000元。则她这次住院医疗得到的补偿费为多少元？（3分）

（2）王老伯在一次住院治疗中得到的补偿费为60000元，他的住院医疗费最少为多少元？（3分）

（3）设享受合作医疗的农民在一次住院治疗中的医疗费为x元，按规定得到的补偿费为y元，根据补偿费标准，得到y与x的函数图象如图所示。分段写出y与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围。（6分）

【答案】：（1）（18000－400）×60％＝10560（元） (2)

分

∴李大妈得到的补偿费为10560元. ……………………………………3分

（2）解法一：

设王老伯的住院医疗费最少为x元. ……………………………………4分

根据题意，得（x－400）×60％＝60000

∴x＝100400.

∴王老伯的住院医疗费最少为100400元. ……………………………………6分

解法二：

设王老伯的住院医疗费为x元. ……………………………………4分

根据题意，得（x－400）×60％≥60000

∴x≥100400.

∴王老伯的住院医疗费最少为100400元. ……………………………………6分

（3）当0＜x≤400时，t＝0；……………………………………8分

当400＜x≤100400时，

y＝（x－400）×60％＝0.6x－240；……………………………………10分

当x＞100400时，y＝60000……………………………………12分

或y＝

()

()

()

00400

0.6240400100400

60000100400

x

x x

x

⎧

⎪

-

⎨

⎪

⎩

＜≤

＜≤

＞

……………………………………12分22．（2010福建三明，22，12分）（本题满分12分）

正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点。

（1）如图①，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF＝BE。

求证：△ADF≌△ABE；（4分）

（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：

DE－BE

AE。请你说明理由；（5分）

（3）如图②，若点E在AD上。写出线段DE、BE、AE之间的等量关系。（不必证明）（3分）

【分析】（1）中易证AD＝AB，EB＝DF，所以只需证明∠ADF＝∠ABE，利用同弧所对的圆周角相等不难得出，从而证明全等；（2）中易证△AEF是等腰直角三

角形，所以EF

AE，所以只需证明DE－BE＝EF即可，由BE＝DF不

难证明此问题；类比（2）不难得出（3）的结论。

【答案】：（1）在正方形ABCD中，AB＝AD……………………………………1分∵DF＝BE，∠1＝∠2，……………………………………3分

∴△ADF≌△ABE. ……………………………………4分

（2）由（1）有△ADF≌△ABE，

∴AF＝AE，∠3＝∠4. ……………………………………5分

在正方形ABCD中，∠BAD＝90°.

∴∠BAF＋∠3＝90°.

∴∠BAF＋∠4＝90°.

∴∠EAF＝90°. ……………………………………6分

∴△EAF是等腰直角三角形.

∴EF2＝AE2＋AF2.

∴EF2＝2AE2. ……………………………………7分

∴EF

AE. ……………………………………8分

即DE－DF

AE.

C

A B D

E

F

O

·

（第22题图①）

C

A

B

D

E

O

·

（第22题图②）

C

A

B

D

E

F

O

·

（第22题图①）

3 1

2

4

∴DE －BE

AE . ……………………………………9分 （3）BE －DE

AE . ……………………………………12分

23． （2010福建三明，23，14分）（本题满分14分）

如图①，抛物线经过点A （12，0）、B （－4，0）、C （0，－12）。顶点为M ，过点A 的直线y ＝kx －4交y 轴于点N 。

（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（5分） （2）试判断△AMN 的形状，并说明理由；（5分）

（3）将AN 所在的直线l 向上平移。平移后的直线l 与x 轴和y 轴分别交于点D 、E （如图②）。当直线l 平移时（包括l 与直线AN 重合），在抛物线对称轴上是否存在点P ，使得△PDE 是以DE 为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。（4分）

【分析】第（1）问是典型的待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法很容易求；第（2）问要想证明等腰直角三角形，需要证明等腰，需要证明直角，而证明等腰三角形和证明直角均需要利用坐标求出MN 和AN 长，并利用勾股定理逆定理（或全等）完成证明；第（3）问则需要根据不同的顶点讨论等腰直角三角形成立的条件，进而求出坐标。

【答案】：（1）设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c . ∵抛物线过点C （0，－12），

∴c ＝－12. ……………………………………1分

又∵它过点A （12，0）和点B （－4，0），

∴144121201120.

a b a b +-=⎧⎨--=⎩， 解得142.

a b ⎧

=⎪⎨⎪=-⎩，

∴抛物线的函数关系式为y ＝

14

x 2

－2x －12.…………………3分

（第23题图②）

（备用图）

（第23题图①）

图23－1

抛物线的对称轴为x ＝4. ……………………………………5分 （2）解法一：

∵在y ＝kx －4中，当x ＝0时，y ＝－4.

∴y ＝kx －4与y 轴的交点N （0，－4）. …………………6分 ∵y ＝

14x 2－2x －12＝1

4

（x －4）2－16， ∴顶点M （4，－16）. ………………………………7分 ∵AM 2＝（12－4）2＋162＝320， AN 2＝122＋42＝160.

MN 2＝42＋（16－4）2＝160.

∴AN 2＋MN 2＝160＋160＝320＝AM 2.

AN ＝MN . ……………………………………9分

∴△AMN 是等腰直角三角形. …………………10分

解法二：

过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，则有

MF ＝4，NF ＝16－4＝12，OA ＝12，ON ＝4.………6∴MF ＝

ON ，NF ＝OA . …………………………7分 又∵∠AON ＝∠MFN ＝90°，

∴△AON ≌△NFM . (8)

∴∠MNF ＝∠NAO ，AN ＝MN .…………………………9∵∠NAO ＋∠ANO ＝90°， ∴∠MNA ＝90.

∴△AMN 是等腰直角三角形.…………………10分 （3）存在.点P 的坐标分别为 （4，－16），（4，－8），（4，－3），（4，6）………14分 （3）参考解答如下：

∵y ＝kx －4过点A （12，0）. ∴k ＝

13

直线l 与y ＝

13x －4平行，设直线l 的解析式为y ＝1

3

x ＋b . 则它与x 轴的交点D （－3b ，0），与y 轴交点E （0，b ）.

∴OD ＝3OE .

设对称轴与x 轴的交点为K

（Ⅰ）以点E 为直角顶点如图23－1.

①根据题意，点M （4，－16）符合要求； ②过P 作PQ ⊥y 轴.

当△PDE 为等腰直角三角形时， 有Rt △ODE ≌Rt △QEP . ∴OE ＝PQ ＝4，QE ＝OD .

∵在Rt △ODE 中，OD ＝3OE ， ∴OD ＝12，QE ＝12. ∴OQ ＝8.

∴点P 的坐标为（4，－8）

图23－2

同理在图23－2中得到P（4，6）.

在图23－3中可得P（4，－3）.

综上所得：满足条件的P的坐标为

（4，－16），（4，－8），（4，－3），（4，6）.

附加题（每小题5分，满分10分.请将答案填入答题卡的相应位置）

温馨提示：如果你估计全卷得分低于90分，请继续完成下面试题.

1. （2010福建三明，附加题，5分）－5的绝对值是_________.

【答案】：5

2.（2010福建三明，附加题，5分）如图，∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，则∠AOC的度数

＝________.

【答案】：25°

（附加题第2题图）A

O B

C