2021年江苏省常州市高考数学期初试卷(一模)(解析版)

一、单项选择题（共8小题）.

1．已知集合A＝{x|x2+2ax﹣3a2＝0}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（　　）

A．{0}    B．{﹣1，3}    

C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）    D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

2．i是虚数单位，在复平面内复数对应的点的坐标为（　　）

A．（，）    B．（，）    C．（，）    D．（，）

3．已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac2≥bc2”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．设函数f（x）＝alnx+bx2，若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x，则函数y＝f（x）的增区间为（　　）

A．（0，1）    B．（0，）    C．（，+∞）    D．（，1）

5．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

6．如果在一次实验中，测得（x，y）的四组数值分别是（1，2.2），（2，3.3），（4，5.8），（5，6.7），则y对x的线性回归方程是（　　）

A．    B．    

C．    D．

7．令（x+1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+…+a2020x+a2021（x∈R），则a2+2a3+…+2019a2020+2020a2021＝（　　）

A．2019•22019    B．2019•22020    C．2020•22019    D．2020•22020

8．函数f（x）＝Asin（2x+φ）+kx+b，A＞0，φ＞0，k，b∈R，则函数f（x）在区间（﹣π，π）上的零点最多有（　　）

A．4个    B．5个    C．6个    D．7个

二、多项选择题（共4小题）.

9．已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且（﹣）•（﹣）＝0，则下列结论中正确的有（　　）

A．    B．    

C．    D．，的夹角是钝角

10．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N（110，81），其中90分为及格线，则下列结论中正确的有

附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545（　　）

A．该校学生成绩的期望为110    

B．该校学生成绩的标准差为9    

C．该校学生成绩的标准差为81    

D．该校学生成绩及格率超过95%

11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的有（　　）

A．a8＝21    

B．S7＝32    

C．a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝a2n    

D．

12．设函数y＝f（x）的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a]⊆D，且对任意的x1∈[﹣a，a]，总存在x2∈[﹣a，a]，使得f（x1）⋅f（﹣x2）＝1，称函数f（x）为P（a）函数，则下列结论中正确的有（　　）

A．函数f（x）＝3x是P（1）函数    

B．函数f（x）＝x3是P（2）函数    

C．若函数f（x）＝log12（x+t）是P（2）函数，则t＝4    

D．若函数f（x）＝tanx+b是P（）函数，则b＝

三、填空题（共4小题）.

13．圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为　   　．

14．函数f（x）＝|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|的最小正周期为　   　．

15．已知椭圆C1：的右焦点F也是抛物线C2：y2＝nx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为，则实数n＝　   　，椭圆C1的离心率e＝　   　．

16．已知函数f（x）＝﹣ln|x﹣2|，则使不等式f（2t+1）＞f（t+2）成立的实数t的取值范围是　   　．

四、解答题（共6小题，共计70分．）

17．设等比数列{an}的公比为q（q≠1），前n项和为Sn．

（1）若a1＝1，S6＝，求a3的值；

（2）若q＞1，am+am+2＝，且S2m＝9Sm，m∈N*，求m的值．

18．已知△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2+3c2＝3a2+2bc．

（1）求sinA的值；

（2）若sinB＝2sinC，求tanC的值．

19．已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次．

（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；

（2）求该射手的总得分X的分布列和数学期望．

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝AP＝2BC，平面PAB⊥平面ABCD，二面角P﹣BC﹣A的大小为45°．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．

21．已知函数，a，b∈R．

（1）若a＞0，b＞0，且1是函数f（x）的极值点，求的最小值；

（2）若b＝a+1，且存在x0∈[，1]，使f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．

22．已知等轴双曲线C：（a＞0，b＞0）经过点（，）．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点B（0，1）．

①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；

②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，kAP+kAQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值．

参

一、单项选择题（共8小题）.

1．已知集合A＝{x|x2+2ax﹣3a2＝0}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（　　）

A．{0}    B．{﹣1，3}    

C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）    D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）

解；已知集合A＝{x|x2+2ax﹣3a2＝0}＝{x|（x+3a）（x﹣a）＝0}，

B＝{x|x2﹣3x＞0}＝{x|x＞3或x＜0}，

若A⊆B，

则B集合包含A集合的所有元素，

若a＝0时，A＝{0}，不符合题意舍去，

当a≠0时，A＝{﹣3a，a}，

则a＞0时，因为A⊆B，则a＞3；

a＜0时，﹣3a＞0，因为A⊆B，则﹣3a＞3；即a＜﹣1，

故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．

故选：D．

2．i是虚数单位，在复平面内复数对应的点的坐标为（　　）

A．（，）    B．（，）    C．（，）    D．（，）

解：∵＝

＝＝＝，

∴在复平面内复数对应的点的坐标为（，）．

故选：A．

3．已知a，b，c是实数，则“a≥b”是“ac2≥bc2”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

解：由“a≥b”⇒“ac2≥bc2”，反之不成立，例如c＝0时．

∴“a≥b”是“ac2≥bc2”的充分不必要条件．

故选：A．

4．设函数f（x）＝alnx+bx2，若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x，则函数y＝f（x）的增区间为（　　）

A．（0，1）    B．（0，）    C．（，+∞）    D．（，1）

解：由f（x）＝alnx+bx2，得f′（x）＝，

又函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x，

∴，则a＝﹣1，b＝1．

∴f′（x）＝，

由f′（x）＝＞0，得x2＞，

又x＞0，∴x＞，

即函数y＝f（x）的增区间为（，+∞）．

故选：C．

5．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

解：用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，

基本事件总数n＝54，

其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数：

m＝5×43，

则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为P＝＝＝．

故选：A．

6．如果在一次实验中，测得（x，y）的四组数值分别是（1，2.2），（2，3.3），（4，5.8），（5，6.7），则y对x的线性回归方程是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：＝（1+2+4+5）＝3，＝（2.2+3.3+5.8+6.7）＝4.5，

∴＝＝＝＝1.15，

∴＝﹣＝4.5﹣1.15×3＝1.05，

∴线性回归方程为＝1.15x+1.05．

故选：D．

7．令（x+1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+…+a2020x+a2021（x∈R），则a2+2a3+…+2019a2020+2020a2021＝（　　）

A．2019•22019    B．2019•22020    C．2020•22019    D．2020•22020

解：由于（x+1）2020＝C20200+C20201x+…+C20202020x2020，

则C20200＝C20202020，C20201＝C20202019，…，

∴a1＝a2021，a2＝a2020，…，

∴2020a1+2019a2+2018a3+…+a2020＝a2+2a3+…+2019a2020+2020a2021，

f（x）＝（x+1）2020＝a1x2020+a2x2019+a3x2018+…+a2020x+a2021，

∴f′（x）＝2020（x+1）2019＝2020a1x2019+2019a2x2018+2018a3x2017+…+a2020，

令x＝1，可得2020•22019＝2020a1+2019a2+2018a3+…+a2020＝a2+2a3+…+2019a2020+2020a2021．

故选：C．

8．函数f（x）＝Asin（2x+φ）+kx+b，A＞0，φ＞0，k，b∈R，则函数f（x）在区间（﹣π，π）上的零点最多有（　　）

A．4个    B．5个    C．6个    D．7个

解：根据题意，函数f（x）＝Asin（2x+φ）+kx+b在区间（﹣π，π）上的零点，

就是函数y＝Asin（2x+φ）和函数y＝﹣kx﹣b在区间（﹣π，π）的交点，

对于y＝Asin（2x+φ），其周期T＝＝π，

区间（﹣π，π）包含2个周期，

如图：

两个函数在两个周期中最多有5个交点，即函数f（x）在区间（﹣π，π）上的零点最多有5个，

故选：B．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且（﹣）•（﹣）＝0，则下列结论中正确的有（　　）

A．    B．    

C．    D．，的夹角是钝角

解：，是平面上夹角为的两个单位向量，

如图：＝，＝，距离坐标系如图，

＝，﹣＝，﹣＝，（﹣）•（﹣）＝0，

可得＝0，所以的中为P在以BC为直径的圆上，

所以＝．所以A不正确；

＝1，所以B正确；

的最大值为：＝，所以C正确；

，的夹角是锐角，所以D不正确．

故选：BC．

10．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N（110，81），其中90分为及格线，则下列结论中正确的有

附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545（　　）

A．该校学生成绩的期望为110    

B．该校学生成绩的标准差为9    

C．该校学生成绩的标准差为81    

D．该校学生成绩及格率超过95%

解：由题意，正态分布曲线的对称轴为x＝110，σ＝9．

∴该市学生数学成绩的期望为110，故A正确；

该市学生数学成绩的标准差为9，故B正确，C错误；

∵P（92＜ξ＜128）＝0.9545，

∴P（ξ≤92）＝P（ξ≥128）＝[1﹣P（P（92＜ξ＜128）]＝（1﹣0.9545）＝0.02275，

则P（ξ＜90）＜0.02275，P（ξ≥90）＞0.97725＞0.95，故D正确．

故选：ABD．

11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论中正确的有（　　）

A．a8＝21    

B．S7＝32    

C．a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝a2n    

D．

解：由题设知：数列{an}的前为：1，1，2，3，5，8，13，21，

∴a8＝21，S7＝33，故选项A正确，选项B错误；

又a1＝a2，a3＝a4﹣a2，a5＝a6﹣a4，…，a2n﹣1＝a2n﹣a2n﹣2，

将以上式子相加可得：a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝a2n，故C选项正确；

斐波那契数列总有an+2＝an+1+an，

∴a12＝a2a1，

a22＝a2（a3﹣a1）＝a2a3﹣a2a1，

a32＝a3a4﹣a2a3，…，

a20192＝a2018（a2019﹣a2017）＝a2018a2019﹣a2017a2018，

a20192＝a2019a2020﹣a2019a2018，

a20202＝a2020a2021﹣a2020a2019，

a20212＝a2021a2022﹣a2021a2020，

将以上式子相加可得：a12+a22+…+a20212＝a2021a2022，故选项D正确，

故选：ACD．

12．设函数y＝f（x）的定义域为D，若存在常数a满足[﹣a，a]⊆D，且对任意的x1∈[﹣a，a]，总存在x2∈[﹣a，a]，使得f（x1）⋅f（﹣x2）＝1，称函数f（x）为P（a）函数，则下列结论中正确的有（　　）

A．函数f（x）＝3x是P（1）函数    

B．函数f（x）＝x3是P（2）函数    

C．若函数f（x）＝log12（x+t）是P（2）函数，则t＝4    

D．若函数f（x）＝tanx+b是P（）函数，则b＝

解：对于A，对任意的x1∈[﹣1，1]，要使f（x1）⋅f（﹣x2）＝1，

即，只要x2＝x1即可，所以f（x）＝3x是P（1）函数，所以A对；

对于B，当x1＝0时，f（0）⋅f（﹣x2）＝1，此方程无解，所以B错；

对于C，假设C对，则对任意的x1∈[﹣2，2]，总存在x2∈[﹣2，2]，

使得f（x1）⋅f（﹣x2）＝1，即log12（x1+4）log12（x1+4）＝1，

x1+4∈[2，6]，x1+4∈[2，6]，所以0＜log12（x1+4）＜1，0＜log12（x1+4）＜1，

于是log12（x1+4）log12（x1+4）＜1，于是矛盾，所以C错；

对于D，因为f（x）＝tanx+b是P（）函数，所以对任意的x1∈[﹣，]，

总存在x2∈[﹣，]，使得f（x1）⋅f（﹣x2）＝1，

即（b+tanx1）（b﹣tanx2）＝1，tanx2＝b﹣∈[﹣1，1]，

所以﹣1≤b﹣≤1，且﹣1≤b﹣≤1，解得b＝±，所以D对．

故选：AD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的表面积为　80π　．

解：由题意球的体积为：，所以球的半径为R，

＝，解得R＝5，

所以圆柱底面直径为8，圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，

所以圆柱的高为：＝6．

可得圆柱的表面积：8π×6+2×42π＝80π．

故答案为：80π．

14．函数f（x）＝|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|的最小正周期为　π　．

解：由三角函数公式化简可得：

f（x）＝|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|

＝|sin（x+）|+|sin（x﹣）|，

可知函数y＝|sin（x+）|和y＝|sin（x﹣）|的周期均为π，

∴已知函数的周期为π，

故答案为：π．

15．已知椭圆C1：的右焦点F也是抛物线C2：y2＝nx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为，则实数n＝　4　，椭圆C1的离心率e＝　　．

解：椭圆C1：的右焦点F（1，0），所以抛物线C2：y2＝nx的焦点（1，0），

所以n＝4；

椭圆与抛物线的交点到F的距离为，不妨设在第一象限的交点为A，则A（，），

由椭圆定义，可得2a＝＝4，

所以椭圆的离心率为e＝＝．

故答案为：4；．

16．已知函数f（x）＝﹣ln|x﹣2|，则使不等式f（2t+1）＞f（t+2）成立的实数t的取值范围是　（）　．

解：因为f（x）＝﹣ln|x﹣2|＝﹣ln|x﹣2|，

所以f（4﹣x）＝﹣ln|2﹣x|＝f（x），

所以函数f（x）的图像关于x＝2对称，

当x＞2时，f（x）＝﹣ln|x﹣2|＝﹣ln（x﹣2）单调递减，

根据函数的对称性知，f（x）在x＜2时单调递增，

因为f（2t+1）＞f（t+2），

所以|2t+1﹣2|＜|t+2﹣2|，

即|2t﹣1|＜|t|，

所以4t2﹣4t+1＜t2，

解得，．

故答案为：（）．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．设等比数列{an}的公比为q（q≠1），前n项和为Sn．

（1）若a1＝1，S6＝，求a3的值；

（2）若q＞1，am+am+2＝，且S2m＝9Sm，m∈N*，求m的值．

解：（1）等比数列{an}的公比为q（q≠1），前n项和为Sn．

∵a1＝1，S6＝，

∴S6＝＝S3（1+q3）＝，

解得q＝，

∴a3＝＝．

（2）∵q＞1，am+am+2＝，且S2m＝9Sm，m∈N*，

∴，∴＝0，

由q＞1，解得q＝2，

∵S2m＝9Sm，∴＝9×，

∵a1≠0，∴1﹣22m＝9（1﹣2m），

解得m＝3．

18．已知△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2+3c2＝3a2+2bc．

（1）求sinA的值；

（2）若sinB＝2sinC，求tanC的值．

解：（1）△ABC中，3b2+3c2＝3a2+2bc，所以b2+c2﹣a2＝bc，

利用余弦定理知，cosA＝＝＝，

因为A∈（0，π），所以sinA＝＝＝；

（2）△ABC中，B＝π﹣（A+C），

所以sinB＝sin（A+C）＝2sinC，

即sinAcosC+cosAsinC＝2sinC，

所以cosC+sinC＝2sinC，

解得sinC＝cosC，

又cosC≠0，所以tanC＝＝．

19．已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次．

（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；

（2）求该射手的总得分X的分布列和数学期望．

解：（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D，射中固定靶为事件A，射中移动靶分别为事件B，C，

则D＝AB+AC，其中AB+AC互斥，A，B，C，，相互，P（A）＝，P（B）＝P（C）＝，

∴P（D）＝P（AB）+P（AC）＝+＝．

即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为．

（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5．

P（X＝0）＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝2＝，

P（X＝3）＝2＝，

P（X＝4）＝（1﹣）×＝，

P（X＝5）＝＝，

该射手的总得分X的分布列为：

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝AP＝2BC，平面PAB⊥平面ABCD，二面角P﹣BC﹣A的大小为45°．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．

【解答】（1）证明：∵底面四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，

又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面PAB，

∵AB⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB

∴BC⊥AB，BC⊥PB，BC⊥PA，

∴∠PBA为二面角P﹣BC﹣A的平面角，

又二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，∴∠PBA＝45°，

∵在△PAB中AB＝AP，∴∠PBA＝∠BPA＝45°，

∴∠PAB＝90°，即AB⊥AP，

又BC⊥PA，AB∩BC＝B，

∴PA⊥平面ABCD；

（2）解：如右图所示，在底面ABCD内，过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接PH，

由（1）知PA⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PA，

又PA∩AC＝A，∴BH⊥平面PAC，

∴∠BPH为直线PB与平面PAC所成的角，其中BH＝＝BC，

BP＝PA＝2BC，

∴直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为＝＝．

21．已知函数，a，b∈R．

（1）若a＞0，b＞0，且1是函数f（x）的极值点，求的最小值；

（2）若b＝a+1，且存在x0∈[，1]，使f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．

解：（1）f′（x）＝1﹣﹣，因为1是函数f（x）的极值点，

所以f′（1）＝1﹣a﹣b＝0，即a+b＝1，

此时f′（x）＝1﹣﹣＝＝＝，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在x＝1处取极小值，

所以＝（）（a+b）＝3++，因为a＞0，b＞0，

所以+≥2＝2（当且仅当a＝2﹣，b＝﹣1时等号成立），

所以≥3+2，

所以的最小值为3+2．

（2）当b＝a+1时，f（x）＝x﹣alnx+，

在x0∈[，1]，使f（x0）＜0成立，即函数f（x）在[，1]上的最小值小于0，

f′（x）＝1﹣﹣＝（x＞0），

①当1+a≥1，即a≥0时，f（x）在[，1]上单调递减，

所以f（x）在[，1]上的最小值为f（1）＝1+a+1＝a+2＜0，

所以a＜﹣2，不符，舍去；

②当1+a≤，即a≤﹣1时，f（x）在[，1]上单调递增，

所以f（x）在[，1]上的最小值为f（）＝+a+e（a+1）＝（e+1）a+e+＜0，

所以a＜﹣，又a≤﹣1，所以a＜﹣；

③当＜1+a＜1，即﹣1＜a＜0时，f（x）在[，1+a]上单调递增，在[1+a，1]上单调递减，

所以f（x）在[，1]上的最小值为f（1+a）＝a+1+1﹣aln（a+1）＝a[1﹣ln（a+1）]+2，

因为＜1+a＜1，所以﹣1＜ln（a+1）＜0，所以1＜1﹣ln（a+1）＜2，

所以a＞a[1﹣ln（a+1）]＞2a，

所以f（1+a）＝a[1﹣ln（a+1）]+2＞2a+2＞0，不符，舍去，

综上可得，a的取值范围是（﹣∞，）．

22．已知等轴双曲线C：（a＞0，b＞0）经过点（，）．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点B（0，1）．

①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；

②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，kAP+kAQ为定值λ，求点A的坐标及实数λ的值．

解：（1）由题意a＝b，且﹣＝1，解得a＝b＝1，

所以双曲线C的方程为x2﹣y2＝1．

（2）①由对称性可设E（x，y），F（﹣x，﹣y），

则•＝（x，y﹣1）•（﹣x，﹣y﹣1）＝﹣x2﹣y2+1，

因为E点在双曲线C上，所以x2﹣y2＝1，所以y2＝x2﹣1，

所以•＝2（1﹣x2）≤0，

当|x|＝1时，•＝0，∠EBF为直角，

当|x|＞1时，•＜0，∠EBF为钝角，

所以∠EBF最小时，|x|＝1，k＝0．

②设A（m，n），过点B的动直线为y＝tx+1，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立得（1﹣t2）x2﹣2tx﹣2＝0，

所以，由1﹣t2≠0，且△＞0，解得t2＜2且t2≠1，

kAP+kAQ＝λ，即+＝λ，即+＝λ，

化简得（2t﹣λ）x1x2+（﹣mt+1﹣n+λm）（x1+x2）﹣2m+2mn﹣λm2＝0，

（2t﹣λ）x1x2+（﹣mt+1﹣n+λm）﹣2m+2mn﹣λm2＝0，

化简得（λm2﹣2mn）t2+2（λm﹣n﹣1）t+2λ﹣2m+2n﹣λm2＝0，

由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，

所以，

将①代入②得λ＝m，从而，

如果m＝0时，那么n＝﹣1，此时A（0，﹣1）不在双曲线C上，舍去，

因此m≠0，从而m2＝2n，代入m2＝n+1，解得n＝1，m＝±，

此时A（±，1）在双曲线上，

综上A（，1），λ＝，或者A（﹣，1），λ＝﹣．