吉林省吉林市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

数学试题

本试题共22小题,共150分,共6页,考试时长120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回．

注意事项：

1．答题前,考生务必先将自己地，准考证号填写在答题卡上,认真核对款形码，准考证号,并将款形码粘贴在答题卡地指定位置上．

2．选择题结果使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他结果地标号。非选择题结果一定使用0．5毫米黑色字迹地签字笔书写,字体工整，笔迹清楚．

3．请按照题号在各题地答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写地结果无效．4．作图可先用铅笔画出,确定后一定用黑色字迹地签字笔描黑．

5．保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破，弄皱,不准使用涂改液，修正带，刮纸刀．

一，单项选择题：本大题共8题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一个是符合题目要求．

1. 设全集U =R ,集合{10}A x x =->,{30}B x x =-≤,则()U A C B ⋂=（ ）

A. (1,)

+∞ B. [3,)+∞ C. (1,3] D. (1,3)【结果】D

【思路】

【思路】求出集合A ,B ,接着求出U C B ,依据集合地交集运算求得结果.【详解】{}

{10}1A x x x x =->= ,{30}{|3}B x x x x =-≤=≥ ,

故{|3}

U B x x =<ð故(){|13}U A C B x x =<< ,

故选：D

2. 命题“x ∀∈R ,20x ≥”地否定是（ ）

A. 2,0

x x ∀∈x x ∃∈【思路】

【思路】依据含有一个量词地命题地否定方式即可解答.

【详解】命题2“,0”x x ∀∈≥R 地否定是“2,0x x ∃∈故选：C.

3. 若α为第三象限角,则（ ）

A. sin 0

α> B. cos 0α>C. tan 0

α> D. sin cos 0

αα<【结果】C

【思路】

【思路】依据角α所在象限,可判断其三角函数值地正负,即可得结果.

【详解】α为第三象限角,

则sin 0α<,cos 0α<,tan 0α>,sin cos 0αα>,

由此可得：A ,B ,D 错误,C 正确,

故选：C.

4. 下面函数中与y x =是同一个函数地是（ ）

A. 2y =

B. v u =

C. y =

D. 2n m n

=【结果】B

【思路】

【思路】依据函数相等地定义是：定义域相同且对应关系相同,逐个思路可得结果.

【详解】对于A ,2y =地定义域为[0,)+∞,与y x =地定义域为R 不同,故A 错误。

对于B ,v u =与y x =是同一函数,故B 正确。

对于C ,y =||x =与y x =地对应关系不同,故C 错误。

对于D ,2n m n

=(0)n n =≠与y x =地定义域不同,故D 错误.故选：B

5. 若22.1a -=,ln 0.3b =,tan 46c =︒,则a ,b ,c 地大小关系为（ ）

A. a b c <<

B. b c a

<<

C. a c b

<< D. b a c

<<【结果】D

【思路】【思路】依据指数函数，对数函数，正切函数地单调性进行判断即可.

【详解】因200 2.1 2.11,ln 0.3ln10,tan 46tan 451-︒︒<<=<=>=,

所以b a c <<,

故选：D

6. 若sin 2cos 13sin cos 2

αααα-=+,则tan α=（ ）A 5- B. 3- C. 3 D. 5【结果】A

【思路】【思路】依据三角函数地性质sin tan cos ααα

=

进行计算.【详解】解：由题意得：()2sin 2cos 3sin cos αααα

-=+sin 5cos αα

=-sin tan 5cos ααα

=

=-故选：A 7. 已知函数()f x 是定义域为R 地偶函数,且在区间[0)，

+∞上单调递增,若1

()02f =,则不等式()0f x <地解集为（ ）A. 11(,(0,22-∞- B. 11(,22-C. 11(,0)(,)22-+∞ D. 11(,(,)22-∞-+∞ 【结果】B

【思路】

【思路】依据函数地奇偶性和单调性地性质将不等式进行转化求解即可．

【详解】()f x 是定义在R 上地偶函数,且在区间[0,)∞+上单调递增,

∴若1

(02f =,则不等式()0f x <等价为1()(2

f x f <,为.

即12x <

,即1122

x -<<,故不等式地解集为：11(,)22-.故选：B ．

8. 屏风文化在我国源远流长,可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美地扇环形屏风,如图,扇环外环弧长为2.4m ,内环弧长为0.6m ,径长（外环半径与内环半径之差）为0.9m ,若不计外框,则扇环内需要进行工艺制作地面积地估计值为（ ）

A. 2

1.20m B. 21.25m C. 21.35m D. 2

1.40m 【结果】C

【思路】

【思路】设扇环地圆心角为α,内环半径为1r ,外环半径为2r ,依据题设可得210.9r r -=和()123r r α+=,从而可求扇环地面积.

【详解】设扇环地圆心角为α,内环半径为1r ,外环半径为2r ,则210.9r r -=,

由题意可知,10.6r α=,2 2.4r α=,所以()123r r α+=,所以扇环内需要进行工艺制作地面积地估计值为

()()()222112211122S r r r r r r αα=-=+-2130.9 1.35m 2

=⨯⨯=.故选：C.

二，多项选择题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出地四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对地得5分,有选错地得0分,部分选对地得2分．

9. 十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为符号使用,后来英国数学家哈利奥

特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号地引入对不等式地发展影响深远．若

a ,

b ,R

c ∈,则下面命题正确地是（ ）

A. 若0b a >>,则11a b >

B. 若a b >,则ac bc

>C. 若a b >,c d >,则a c b d

+>+ D. 若22ac bc >,则a b >【结果】ACD

【思路】

【思路】分别由不等式地同加同乘性质可得,注意选项B 中c 为0地情况.

【详解】选项A ：0b a >> ,0.ab ∴>在不等式b a >两边同除以ab 得

11a b >,A 正确。选项B ：当0c =时,ac bc =,B 错误。

选项C ：同向不等式相加,不等号方向不变,C 正确。

选项D ：22ac bc > ,20c ∴>,两边同除以2c 得,a b >,D 正确.

故选：ACD.

10. 下面函数在定义域内既是奇函数,又是减函数地是（ ）

A. 3()f x x =-

B. ()2

x x

e e

f x --=C. 0.5()lo

g f x x

= D. ()tan f x x =-【结果】AB

【思路】

【思路】利用函数奇偶性地定义判断和基本函数地单调性判断.

【详解】A. 3()f x x =-地定义域为R ,因为()3

3()()f x x x f x -=--==-,所以()f x 是奇函数,因为3y x =是增函数,所以3()f x x =-是减函数。B. ()2x x

e e

f x --=地定义域为R ,因为()()22

x x x x e e e e f x f x -----==-=-,所以()f x 是奇函数,因为x y e =是增函数,则x

y e -=是减函数,所以()2x x

e e

f x --=是减函数。C. 0.5()lo

g f x x =定义域为()0, +,不相关原点对称,所以0.5()log f x x =不是奇函数。

地

D. ()tan f x x =-地定义域为|,2x x k k Z ππ⎧

⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭

,因为()()tan tan ()f x x x f x -=--==-,所以()f x 是奇函数,在定义域上不单调.

故选：AB

11. 已知函数()()()f x x a x b =--地图象如图所示,则()x g x a b =-地图象可能是（ ）

A. B.

C. D.

【结果】AC

【思路】

【思路】依题意可得a ，b 两个数一个大于1,一个大于0且小于1,再分类讨论,结合指数函数地性质判断即可。

【详解】解：令()()()0f x x a x b =--=,解得1x a =，2x b =,依据二次函数图形可知,a ，b 两个数一个

大于1,一个大于0且小于1,①当1a >,01b <<时,则()x g x a b =-在定义域上单调递增,且

()001g a b b =-=-,即()001g <<,所以满足款件地函数图形为C 。

②当1b >,01a <<时,则()x g x a b =-在定义域上单调递减,且()0

010g a b b =-=-<,所以满足款件地函数图形为A 。

故选：AC

12. 已知函数2()sin cos f x x x x =+,下面结论中错误地有（ ）

A. 函数()f x 地最小正周期为,π且图象相关3x π=

对称B. 函数()f x 地对称中心是(),0Z 122k k ππ⎛⎫+∈

⎪⎝⎭C. 函数()f x 在区间5[,]1212

ππ上单调递增D. 函数()f x 地图象可以由1()cos 22

g x x =+地图象向右平移3π个单位得到【结果】BC

【思路】【思路】首先把函数地关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数地性质求出结果．

【详解】函数21cos 21()sin cos sin 2262x f x x x x x π-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝

⎭,∴函数()f x 地最小正周期为2,2ππ=2113()sin 13362

22f πππ⎛⎫=-+=+= ⎪⎝⎭,故A 正确。令26x k π

π-=,即,Z 122k x k π

π=+

∈,函数()f x 地对称中心是()1,Z 1222k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故B 错误。5[,1212x ππ∈时,220,63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,显然1sin 2

y x =+在其上不单调,故C 错误。1()cos 22

g x x =+地图象向右平移3π个单位得到()211()cos 2sin 233262

g x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 正确.故选：BC

三，填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分．其中第16题地第一个空填对得2分,第二个空填对得3分．

13. 已知0x >,0y >,若4xy =,则4x y +地最小值为____________．

【结果】8

【思路】

【思路】由基本不等式求得最小值．

【详解】因为0x >,0y >,4xy =,

所以48x y +≥=,当且仅当4x y =即4,1x y ==时等号成立,

故结果为：8.

14. 已知幂函数()y f x =

地图象过点(,则()9f =______．

【结果】3

【思路】

【思路】先利用待定系数法代入点地坐标,求出幂函数()y f x =地思路式,再求()9f 地值.

【详解】设()a y f x x ==,

由于图象过点(,

12,2

a a ==,()1

2y f x x ∴==,

()12993f ∴==,故结果为3.

【点睛】本题考查幂函数地思路式,以及依据思路式求函数值,意在考查对基础知识地掌握与应用,属于基础题.

15. 已知α,β均锐角,若1cos cos sin sin 2

αβαβ=+,则αβ+值为____________．【结果】

3

π【思路】【思路】由两角和地余弦公式求得cos()αβ+地值,再由特殊角地三角函数值得结果．【详解】由已知1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=

,又α,β均为锐角,所以(0,)αβπ+∈,所以3παβ+=

．故结果为：3π

．

16. 已知函数()12,011,04

x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩ ,若函数3()()2g x f x =-有4个零点1x ,2x ,3x ,4x ,则1234x x x x +++=____________。若相关x 地方程25()()02

f x f x a -+= ()a R ∈有8个不相等地实数为

根,则a 地取值范围是____________．

【结果】 ①. 2- ②. 325,216⎛⎫ ⎪⎝⎭

【思路】

【思路】依据指数函数与二次函数地性质,作出函数()f x 地图象,结合函数图象地对称性,即可求解1234x x x x +++地值,再令令()f x t =,依据25()()02

f x f x a -+=有8个不等地实数根,转化为2502

t t a -+=在(1,2)t ∈有2个不同地实数根,结合二次函数地性质,列出不等式组,即可求解.【详解】由题意,函数()12,011,04

x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩,

根函数地图象变换,函数()1x f x e -=地图象相关1x =对称,

依据二次函数地性质,可得函数()2114

f x x x =--+地图象相关2x =-对称,在坐标系中作出函数()f x 地图象,如图所示,函数3()()2

g x f x =-有4个零点1x ,2x ,3x ,4x ,可得

34122,122

x x x x ++=-=,所以12342x x x x +++=-。令()f x t =,则方程25()()02f x f x a -+=可化为2502

t t a -+=,因为25()()02f x f x a -+=有8个不等地实数根,则方程()f x t =必有4个实数根,所以12t <<,所以2

502

t t a -+=在(1,2)t ∈有2个不同地实数根,令()252h t t t a =-+,可得其对称轴地方程为54t =,则满足

=2516−258+a <0ℎ(1)=1−5

2+a >0ℎ(2)=4−5+a >0,解得325216a <<,所以实数a 地取值范围是325(,

)216.故结果为：2-。325(,216

.

四，解答题：共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．

17. 已知集合2{20}A x x x =+-<,{213}B x m x m =+≤≤+(m )R ∈．

（1）当1m =-时,求A B ,A B 。

（2）若x A ∈是x B ∈地充分不必要款件,求实数m 地取值范围．

【结果】（1）{}11A B x x ⋂=-≤<,{}22A B x x ⋃=-<≤

（2）32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦

【思路】

【思路】（1）求出集合B ,进而求出交集和并集。（2）依据x A ∈是x B ∈地充分不必要款件得到A 是B 地真子集,进而得到不等式组,求出实数m 地取值范围.

【小问1详解】

{}21A x x =-<<．

当1m =-时,{}

12B x x =-≤≤所以{}

11A B x x ⋂=-≤<,{}22A B x x ⋃=-<≤。

【小问2详解】x A ∈ 是x B ∈地充分不必要款件

∴A 是B 地真子集,故21231

m m +≤-⎧⎨+≥⎩即3

22

m -≤≤-所以实数m 地取值范围是32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.

18. 已知函数π2sin (π)cos ()2()3cos ()

x x f x x ++-=-（1）化简函数()f x ,并求(4

f π

。（2）在以原点为圆心地单位圆中,已知角α

终边与单位圆地交点为(P ,求(4f πα-地值．【结果】（1）tan 3()x f x -=,143f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭

。 （2）－1.

【思路】【思路】(1)依据诱导公式化简即可,化简后将x ＝4π

代入计算。

(2)依据三角函数地定义求出tan α,再利用正切地差角公式即可计算.

【小问1详解】

2sin sin ()3cos x x f x x -+=sin tan 3cos 3

x x x --==,tan 14433

f ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

【小问2详解】

角α

终边与单位圆地交点为P ⎛ ⎝

,tan 2α∴==-,tan ()3

x f x =- ,tan tan tan 1444331tan tan 4

f ππααπαπα⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴-=-=-⨯ ⎪⎝

⎭+1211312--=-⨯=--.19. 已知函数()sin ()(0,0,0)2f x A x A π

ωφωφ=+>><<地部分图象如图所示．

（1）求函数()f x 地思路式。

（2）将()f x 图象上所有点地横坐标缩短到原来地12

(纵坐标不变),得到函数()y g x = 地图象,求函数()g x 地单调递减区间．

【结果】（1）()2sin 3f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

（2）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦

【思路】

【思路】（1）依据函数()f x 图象,求得2A =,2T π=,得到()2sin ()f x x φ=+,将点7,26π⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入,结合02π

ϕ<<,求得3π

ϕ=,即可求得函数地思路式。

（2）依据三角函数地图象变换求得()2sin 23g x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

,结合正弦型函数地性质,即可求解.小问1详解】

解：由函数()f x 图象,可得2A =,3734632T πππ=

+=,所以2T π=,因为0>ω,可得21T

πω==,所以()2sin ()f x x φ=+,又因为()f x 图象过点7,26π⎛⎫-

⎪⎝⎭,可得72sin 26πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈,解得2,3

k k Z πϕπ=+∈,又由02π

ϕ<<,所以3π

ϕ=,所以()f x 地解折式为()2sin 3f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

.【小问2详解】

解：将()f x 图象上所有点地横坐标缩短到原来地12,得到()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭【

令3222,232

k x k k Z π

π

πππ+≤+≤+∈,解得7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ,所以函数()g x 地单调递减区间是7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢

⎥⎣⎦.20. 已知函数()log (1)(0a f x x a =+>且1)a ≠,且(1)1f =．

（1）求a 值及函数()f x 地定义域。

（2）若相关x 地方程()0f x m -=在区间[0,3]上有解,求实数m 地取值范围．

【结果】（1）2,(1,)-+∞

（2）[0,2]

【思路】

【思路】（1）依据(1)1f =代入即可求出参数a 地值,再依据对数函数地真数大于零得到不等式,解得即可。（2）依题意函数()y f x =与y m =在区间[0,3]上有公共点,依据对数函数地单调性求出()f x 在[]0,3上地值域,即可求出参数m 地取值范围。

【小问1详解】

解：因为()log (1)(0a f x x a =+>且1)a ≠,且(1)1f =,所以(1)log 21

a f ==2a ∴=,所以2()log (1)f x x =+,

令10x +>,解得1x >-,

所以()f x 地定义域为(1,)

-+∞【小问2详解】

解：方程()0f x m -=在区间[0,3]上有解,

所以函数()y f x =与y m =在区间[0,3]上有公共点,

因为2()log (1)f x x =+在区间[0,3]上单调递增,

所以当0x =时,()f x 取最小值0,当3x =时,()f x 取最大值2,

所以函数()f x 地值域为[0,2],所以实数m 地取值范围为[0,2]时,函数()y f x =与y m =在区间[0,3]上有公共点,

综上：实数m 地取值范围为[0,2]

21. 当前新冠肺炎疫情防控形势依然严峻,要求每个公民对疫情防控都不能放松．科学使用防护用品是减少

公众交叉感染，有效降低传播风险，预防疫情扩散蔓延，确保群众身体健康地有效途径．某疫情防护用品生产厂家年投入固定成本150万圆,每生产()x x N ∈万件,需另投入成本()C x （万圆）．当年产量不足60万件时,21()3802C x x x =+。当年产量不小于60万件时,81000()4103000C x x x

=+-．通过市场思路,若每万件售价为400万圆时,该厂年内生产地防护用品能全部售完．(利润=销售收入－总成本)

（1）求出年利润()L x （万圆）相关年产量()x x N ∈（万件）地思路式。

（2）年产量为多少万件时,该厂在这一防护用品生产中所获利润最大？并求出利润地最大值．

【结果】（1）L (x )=−12x 2+20x−150,x <60,x ∈N

2850−10x ≥60,x ∈N

（2）当年产量为90万件时,该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万圆

【思路】

【思路】（1）依据题意直接利用利润=销售收入－总成本,写出分段函数地思路式即可。

（2）利用二次函数及其基本不等式分别求出各段地最大值,再取两个最大地即可.

【小问1详解】

当60x <且x ∈N 时,

2211()4003801502015022

L x x x x x x =---=-+-,当60x ≥且x ∈N 时,

8100081000()4004103000150285010L x x x x x x ⎛⎫=--

+-=-+ ⎪⎝⎭综上：L (x )=−1

2x 2+20x−150,x <60,x ∈N

2850−10x ≥60,x ∈N

【小问2详解】

当60x <且x ∈N 时,2211()20150(20)5022

L x x x x =-+-=--+∴当20x =时,()L x 取最大值(20)50L =（万圆）

当60x ≥且x ∈N 时,81000()28501028501050L x x x ⎛⎫=-+

≤-= ⎪⎝⎭当且仅当8100010x x

=,即90x =时等号成立．

∴当90x =时,()L x 取最大值(90)1050L =（万圆）

∵501050<,

综上所述,当年产量为90万件时,该厂在这一防护商品生产中所获利润最大为1050万圆.

22. 已知实数0t <,函数13()3x

x b f x t

+-=+是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 地奇函数．（1）求函数()f x 地思路式。

（2）已知0a >且 1 a ≠,若对于1x ∀,2[14]x ∈，

,使得22111()3x f x a -+≥恒成立,求实数a 地取值范围．【结果】（1）131()331

x x f x +=-⋅-

（2）1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭

【思路】

【思路】（1）依据奇函数地性质进行求解即可。（2）构造函数,利用函数地单调性,结合任意性地定义进行求解即可.

【小问1详解】

实数0t <,函数13()3x x b f x t

+-=+是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 地奇函数．()()

f x f x ∴-=-113333x x

x x b b t t

--++--∴=-++,21313(3)(3)(26)33333x x x x x x b b b t bt b t t t

+⋅--∴=⇒-⋅+-⋅=-+⋅+,要想对于0x ≠时恒成立,只需3b−t =02bt−6=0,解得：b =−1t =−3或b =1t =3（因为0t <,所以舍去）,则111313131()3333331

x x x x x x f x ++--++==-=-⋅---,【小问2详解】

令()()11111,[1,4]3

g x f x x =+∈,()1111131111211133133313

x x x g x +⎛⎫=-⋅+=-++ ⎪--⎝⎭,()11121113313

x g x ⎛⎫=-++ ⎪-⎝⎭ 是[1,4]上地增函数,()1min (1)3g x g ∴==,

令()2222,[1,4]x h x a x -=∈,

12,[1,4]x x ∀∈,使得()221113

x f x a -+≥恒成立,等价于()()12min max g x h x ≥成立,即()2max 3h x ≥成立,当01a <<时,()222x h x a -=在[1,4]上单调递减,

()12max (1)h x h a -==,故13a -≥,解得113

a ≤<,当1a >时,()222x h x a -=在[1,4]上单调递增,

()2

2max (4)h x h a ==,故23a ≥,解得1a <≤,

综上所述,实数a 地取值范围是1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭

.

【点睛】关键点睛：构造函数,结合任意性地定义是解题地关键.