弹性力学基础(程尧舜_同济大学出版社)课后习题解答

第二章

2.1计算：(1)，(2)，(3)。

    解：(1);

(2);

(3)。

2.2证明：若，则。

证：。

2.3设、和是三个矢量，试证明：

证：。

2.4设、、和是四个矢量，证明：

证： 

    。

2.5设有矢量。原坐标系绕轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。

    解：，，，

        ，，，

        ，，。

      ，

      ，

。

2.6设有二阶张量。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量在新坐标系中的分量、、和。

解：变换系数同上题。

，

，

，

。

2.7设有个数，对任意阶张量，定义

    若为阶张量，试证明是阶张量。

证：为书写简单起见，取，，则

，

在新坐标系中，有

                                                         (a)

因为和是张量，所以有

比较上式和式(a)，得

由于是任意张量，故上式成立的充要条件是

即是张量。

2.8设为二阶张量，试证明。

    证：。

2.9设为矢量，为二阶张量，试证明：

    (1)，(2) 

    证：(1) 

            。

        (2) 

2.10已知张量具有矩阵

     求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。

     解：的对称部分具有矩阵

     ，

     的反对称部分具有矩阵

     。

     和反对称部分对应的轴向矢量为

     。

2.11已知二阶张量的矩阵为

求的特征值和特征矢量。

解： 

由上式解得三个特征值为，，。

将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为

，，。

2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：

， 

其中，和是实数，和是两个相互垂直的单位矢量。

解：因为

，

所以是的特征矢量， 是和其对应的特征值。设是和垂直的任意单位矢量，则有

所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。

令

  ，， 

则有

  ， 

上面定义的是相互垂直的单位矢量。张量可以表示成

所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是、和。

2.13设和是矢量，证明：

(1) 

(2) 

证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。

    (2) 

2.14设，求及其轴向矢量。

     解： 

     由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量

     。

2.15设是一闭曲面，是从原点到任意一点的矢径，试证明：

(1)若原点在的外面，积分；

(2)若原点在的内部，积分。

证：(1)当时，有

                                                  (b)

因为原点在的外面，上式在所围的区域中处处成立，所以由高斯公式得

。

(2)因为原点在的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。用表示由和所围的区域，在中式(b)成立，所以

  即

  在上，，，于是

  。

2.16设，试计算积分。式中是球面在平面的上面部分.

     解：用表示圆，即球面和平面的交线。由Stokes公式得

     。

第三章

3.1设是矢径、是位移，。求，并证明：当时，是一个可逆 的二阶张量。

    解： 

    的行列式就是书中的式(3.2)，当时，这一行列式大于零，所以可逆。

3.2设位移场为，这里的是二阶常张量，即和无关。求应变张量、反对称张量及其轴向矢量。

    解：，，，

3.3设位移场为，这里的是二阶常张量，且。请证明：

   (1)变形前的直线在变形后仍为直线；

   (2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；

   (3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。

    证：(1)方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成

                                                                 (1)

    其中是可变的参数。变形后的矢径为

                                               (2)

    用点积式(1)的两边，并利用式(2),得

    上式也是直线方程，所表示的直线和矢量平行，过矢径为的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。

    (2)因为，所以可逆。记，则

                                                       (3)

    变形前任意一个平面的方程可以表示成

                                                                   (4)

    其中是和平面垂直的一个常矢量，是常数。将式(3)代入式(4)，得

                                                              (5)

    上式表示的是和矢量垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。

    (3)变形前两个平行的平面可以表示成

         ， 

    变形后变成

          ， 

    仍是两个平行的平面。

3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。

    答案：能；能。

3.5设位移场为，其中是二阶常张量，和是两个单位矢量，它们之间的夹角为。求变形后的减小量。

    解：和方向的正应变分别为

        ， 

    用和代替式(3.11)中的和，经整理，得的减小量为

    又，所以

    。

3.6设和是两个单位矢量，和是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为，试用应变张量把变形时它的面积变化率表示出来，其中是面积变形前后的改变量。

    解：变形后，和变成

    ， 

   对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得

    对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得

            (a)

    注意到

    所以，从式(a)可得

    利用习题2.4中的等式，上式也可写成

3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为，让坐标系绕轴转动角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。

    解：，，，

        ，，，

        ，，。

    ，

    ，

    ，

    ，， 

3.8在平面上，、、和轴正方向之间的夹角分别为、、，如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为、和。求平面上任意方向的相对伸长度。

    解：在平面中，和方向成角的方向，其方向余弦为

    ，， 

    这一方向的相对伸长度为

                 (a)

    利用上式，可得

    ，， 

    解之，得

    ，， 

    将求出的、和代回式(a)，得

3.9试说明下列应变分量是否可能发生：

    ，，，

    ，， 

    其中和为常数。

    解：如果列出的应变分量是可能的，则必须满足协调方程。将题中的应变分量代入协调方程(3.34c)，可以发现，必须有。所以当和不为零时，上述应变分量是不可能发生的。

3.10确定常数，，，，，，之间的关系，使下列应变分量满足协调方程

      ，

      ，

      ，

      。

    解：将所给应变分量代入协调方程，可以得到常数之间的关系如下：

       ，。

    其它三个常数、、可以是任意的。

3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。

    解：由于应变张量和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成

     其中是任意的刚体平移，是任意的角位移矢量。

3.12设，，，，其中，，是常量，求位移的一般表达式。

    解：所给的应变张量是，

    很容易验证，且有

    所以从式(3.36a),得

第四章

4.1已知物体内一点的六个应力分量为：

    ，，，，， 

    试求法线方向余弦为，，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。

    解：应力矢量的三个分量为

    ，， 

    总应力。

    正应力。

    剪应力。

4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。

    证：利用应力张量的对称性，可得

。证毕。

4.3某点的应力张量为

    且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。

    解：设要求的单位法向矢量为，则按题意有

    即

    ，，                             (a)

    上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得

    上式有两个解：或。若，则代入式(a)中的三个式子，可得，这是不可能的。所以必有。将代入式(a)，利用，可求得

    。

4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量

    ， 

    满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。

    解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。

        在的边界上，有边界条件

    ， 

    所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。将的表达式代入上面的第一个条件，得

                                                                  (1)

    在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成

    ，，

，                                        (2)

斜面上的外法向方向余弦为

    ，，                                       (3)

    将式(2)和(3)代入边界条件，得

                                           (4)

    联立求解(1)和(4)，得

    ，， 

4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为

    ，，，

    ， 

    和分别是坝身和水的比重。求常数、、、，使上述应力分量满足边界条件。

    解：在的边界上，有边界条件

    ， 

    将题中的应力分量代入上面两式，可解得：，。

    在左侧的斜面上，，外法向方向余弦为

    ，， 

    把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得：，。

4.6物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。

    解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为

      或 

    按题意，边界条件为

    因此

      即 

    上式的指标形式为

      。

4.7如图4.10所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。

    解：球面的外法向单位矢量为

     或 

    当时，有边界条件

      即  或。

    当时，球面上的压力为，其中为重力加速度，边界条件为

     即  或。

4.8物体的应力状态为，其中为矢径的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；(2)写出物体表面上的面力表达式。

    解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以

    所以，只要令，就有。

    (2)表面上的面力为

     或。

4.9已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。

    解：应力张量的三个不变量为：，，。

    特征方程是

    上式的三个根即三个主应力为和

4.10已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为

    ，， 

    求八面体各个面上的正应力和剪应力。

    解：，

        ，，

      。

4.11某点的应力分量为，，求：

    (1)过此点法向为的面上的正应力和剪应力；

    (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。

    解：(1)，

           。

    正应力为。

    剪应力为。

    由此可知，是主应力，是和其对应的主方向。

    (2)用表示主应力，则

    所以，三个主应力是，。由上面的结论可知，和对应的主方向是，又因为是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。

第五章

5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为，试写出柔度系数张量的具体表达式。

    解： 

    所以

    。

5.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力作用，如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。

    解：取压力的方向为的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为、的方向。按题意有

    ，， 

    由胡克定律得

    所以盒内侧面的压力为

    体积应变为

    最大剪应力为

    。

5.3证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同性体是否具有这样的性质？试举例说明。

    解：对各向同性材料，设是应力的主方向，是相应的主应力，则

                                                                (1)

    各向同性的胡克定律是

    将上式代入式(1)，得，即

    由此可知，也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，应力主方向和应变主方向一致。

        下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于平面对称。因为，所以从式(5.14)得

    若应变主坐标系也是应力主坐标系，则，即

    上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。

5.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。

    解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系

                                                            (1)

    从上式得

                                     (2)

                                                   （3）

                                        (4)

式(2)、(3)、(4)就是用应变不变量表示应力不变量的关系。也容易得到用应力不变量表示应变不变量的关系。

第六章

6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的？

    解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。

6.2设

    其中、、、为调和函数，问常数为何值时，上述的为无体力弹性力学的位移场。

    解： 

    同理。

    由上面两式及和是调和函数可得

                                                           (1)

    因、、、为调和函数，所以

                                                              (2)

    将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier方程，得

    上式成立的条件是

    即

    。

6.3已知弹性体的应力场为

    ，，，，。

(1)求此弹性力学问题的体力场；

(2)本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。

解：(1)将所给的应力分量代入平衡方程，就可以得到体力场为。

(2)所给的应力分量和已求出的体积力满足Beltrami-Michell应力协调方程，所以给出的应力分量是弹性力学问题的应力场。

6.4证明下述Betti互易公式

，

其中、、和、、分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。

证：利用平衡方程、几何方程和弹性模量张量的对称性，可得

。    证毕。

6.5如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程

其中，。

证：无体力的Lamé-Navier方程为

又，所以Lamé-Navier方程可以写成

将所给的位移代入上式的左边，并利用，可得

因为和是调和的，所以上式为零，即所给位移满足平衡方程。

6.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为轴，弯矩所在的主平面为平面。试证下述位移分量是该问题的解

    。

    提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为

    ，， 

    其中是杆的横截面。

    证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lamé-Navier方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可以求出应力：

    ，其它应力分量为零。                                           (a)

    上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为

    ，，， 

    式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。

6.7图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。

    解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量

    ，， 

    满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为

    利用题3.11的结果，可求得位移为

6.8弹性半空间，比重为，边界上作用有均布压力，设在处，求位移和应力。

    解：由问题的对称性，可以假设

    ， 

    把上述位移分量代入Lamé-Navier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成

    解之得

    其中的、是待定常数。由已知条件得

    所以 

    应力分量为

    ，，。

    在边界上的边界条件为：，，。前两个条件自动满足，最后一个成为

      即  

    所以最后得

    ，；

    ，，。

6.9设一等截面杆受轴向拉力作用，杆的横截面积为，求应力分量和位移分量。设轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，，且

        。

    答案：，；

    ，，。

6.10当体力为零时，应力分量为

    ，，

    ，，

    ， 

    式中，。试检查它们是否可能发生。

解：所给应力分量满足平衡方程，但不满足协调方程，故不可能发生。

6.11图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为，偏心距为，杆的横截面积为，求应力分量。

    解：根据杆的受力特点，假设

    ， 

    其中、是待定的常数。上述应力分量满足无体力时的平衡方程和协调方程，也满足杆侧面的边界条件。按圣维南原理，杆端的边界条件可以放松为

    ，，， 

    前面两个条件自动满足，将应力分量代入后两个条件，可求得

    ，，其中。

    所以，得最后的应力分量为

，。

6.12长方形板，厚度为，两对边分别受均布的弯矩和作用，如图6.8所示。验证应力分量

    ，， 

    是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。

    解：所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调(Beltrami-Michell)方程，也满足板面上无面力的边界条件。板边上的边界条件可以放松为

    ，，， 

    容易验证应力分量满足上述条件。同样可以说明应力分量满足板边、、上的边界条件。所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。

第七章

7.1在常体力的情况下，为什么说平面问题中应力函数应满足的方程表示协调条件？

    解：在无体力的情况，不管是平面应力问题还是平面应变问题，用应力表示的协调方程都是

    若把用应力函数表示的应力，即、代入上式，就可以得到

    所以，上式就是用应力函数表示的协调条件。

7.3设有任意形状的等厚度博板，不计体力，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力，求板中的应力分量。

    答案：，。

7.4图7.5所示悬壁梁受均布载荷作用，求应力分量。提示：假定和无关。

    解：假定和无关，即，于是有

    积分两次，得

            (1)

    其中和是的待定函数。将应力函数代入双调和方程，得

    上式对任意成立的充要条件是

    ，，                    (2)

    解上面的前两式，得

    ， 

    中略去了不影响应力的常数项。由式(2)中的第三个方程，得

    所以，有

    在上式中略去了不影响应力的常数项和线性项。将求出的函数、和代入式(1)，得

    应力分量为

    本问题的边界条件是：

    ，                                            (3)

    ，                                                (4)

                                                                (5)

    ,                                     (6)

    由条件(5)可求得

    ，， 

    由条件(3)和(4)可以求得

    ，，， 

    将求得的常数代入应力分量表达式，得

                                  (7)

    由条件(6)中的第一个条件可以求得，由(6)中的第二个条件可以求得

    最后的应力分量为

    其中，是截面的惯性矩。

7.5图7.6所示的简支梁只受重力作用，梁的密度为，重力加速度为，，求应力分量。提示：假定和无关。

    解：假设

    即

    经过和上题类似的运算，可以得到和上题相同的应力函数

    应力分量为

    由对称性可知，，所以，由此得

    ，， 

    在梁的任意截面上，方向的合力为零，即

    故有

    ， 

    利用上面求得的结果，应力分量的表达式简化为

    在梁的端部有条件

    在梁的上下表面上有条件

    ， 

    将应力分量表达式代入上述条件，可以求得

    ，，， 

    最后的应力分量为

    ，。

7.6设有矩形截面的竖柱，其密度为，在一边侧面上受均布剪力，见图7.7，求应力分量。提示：假设或。

    解：设，积分得

    把上式代入双调和方程，得

    因而有

    ， 

    所以

    ， 

    在和的表达式中略去了不影响应力分量的项。应力函数为

    应力分量为

    边界条件是

    ，， 

    ， 

    把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得

    ，，，， 

    最后的应力分量为

    ，，。

7.7图7.8表示一挡水墙，墙体的密度为，，水的密度为，，求应力分量。提示：设。

    解：设，积分两次，得

    将上式代入双调和方程，得

    上式成立的充要条件是

    ，， 

    解上述三个方程，得

    在上面的三个函数中，已略去了不影响应力分量的项。应力函数为

    应力分量为

    边界条件为

    ，，， 

    ， 

    把应力分量的表达式代入上述条件，可以求得

    ，，，，，，，， 

    应力分量为

7.8图7.9所示的三角形悬壁梁只受重力作用，梁的密度为，求应力分量。提示：设该问题有代数多项式解，用量纲分析法确定应力函数的幂次。

解：应力与外载荷(即体力)成比例，所以任意一个应力分量都可以表示成如下形式

    应力的量纲是[力][长度]－2，的量纲是[力][长度]－3，和的量纲是[长度]，是无量纲的，所以若是多项式，则必是一个和的齐一次表达式。应力函数应是比高两次的多项式，故有

    应力分量的表达式为

    在的边界上，有

    ， 

    由上面两式得

    在斜面上，有

    ，，， 

    斜面上的边界条件为

    由此得

    ， 

    故

    ，。

    把求出的常数代回应力分量的表达式，得

    ，

    ，

    。

第八章

8.1对平面应变问题，试证明极坐标形式的应变协调方程为

    证：在极坐标系中，有

所以

协调方程是

即

或

。证毕。

8.3在内半径为、外半径为的圆筒外面套以内半径为的刚性圆筒，内筒的内壁受压力作用，如图8.17所示，求应力分量和位移分量。注：按平面应力问题求解。

    解：这是一个整环的轴对称问题，应力分量可以表示成如下形式

    ，， 

    若不计刚体位移，则位移分量的表达式为

    ， 

    边界条件为

    将和的表达式代入上面两个条件，可以求得

    ， 

    将求出的常数代入应力和位移的表达式，得

    ，， 

8.4设有一块内半径为、外半径为的薄圆环板，内壁固定、外壁受均布剪力作用，如图8.18所示，求应力和位移。

    解：由对称性可知，极坐标系中的应力分量和无关。

        平衡方程(8.8)中的第二式简化成

    解之得

    由边界条件得

     即 

    所以。

    平衡方程(8.8)中的第一式和应力协调方程简化成

    ， 

    这是齐次方程组，有特解，这一特解满足边界条件。所以应力分量的解是

    ，，。

    利用胡克定律，得

    ，， 

    由于对称性，位移分量和也和无关，所以几何关系简化成

    ，， 

    上面前两式的解是，第三式的通解是

    由边界条件可以确定常数，所以位移分量的解是

    ，。

    解法二：根据对称性，可知、和无关。利用胡克定律和几何关系，可得

    ，，。

    把上述表达式代入平衡方程，得

    ， 

    由此解得

    ， 

    利用边界条件可以确定常数、、、。

8.5图8.19表示一尖劈，其一侧面受均布压力作用，求应力分量、和。提示：用量纲分析法确定应力函数的形式。

    解：任意一个应力分量都可以表示成，应力和有相同的量纲，所以应是无量纲的。根据应力和应力函数之间的关系可知，应力函数应该是的两次表达式，即

    将上式代入双调和方程，得

    解出上式的解后，可得应力函数

    应力分量为

    边界条件为

    ，，， 

    把应力分量的表达式代入上面的四个条件，可以求出常数、、和。

    最后的应力分量为

8.6图8.20所示的是受纯剪的薄板。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。

    解：无孔时板中的应力分量为

    ， 

    在极坐标系中的应力分量为

    ，， 

    假定小圆孔的半径为。由于孔的半径很小，且远离板边，所以孔的存在只会引起孔附近应力场的变化，因此这一问题的边值问题可以写成

    根据边界条件和应力与应力函数之间的关系，设应力函数有如下形式

                                                            (a)

    将上式代入双调和方程，可以得到

    把上式的解代入式(a)，得

    所以有

    把上述应力分量的表达式代入边值问题中的边界条件，可以求得

    ，，， 

    将求出的常数代入应力分量的表达式，得

    在孔边上，有

    ， 

    因此最大正应力是，最小正应力是。

    解法二：将直角坐标系转动，得一新的坐标系。无孔时，在新的坐标系中有，，。这一问题可以看成是方向受拉问题和方向受压问题的叠加，所以可以利用书中§8.7的结果和叠加原理求解。在孔边上，有

    ，

    。

8.7楔形体在侧面上受有均布剪力，如图8.21所示，求应力分量。提示：用量纲分析法确定应力函数的形式，或假定和无关。

    解：用完全和题8.4中的分析方法相同的方法，可得

    边界条件为

    ，，， 

    将应力分量的表达式代入上面的条件，可以求出

    ，，， 

    所以，有

    ，，。

8.8在弹性半平面的表面上受个法向集中力构成的力系作用，这些力到原点的距离为，如图8.22所示，求应力分量。

    解：利用§8.10中的式(8.32)和叠加原理，即可得到本题的应力分量

    ，

    ，

第九章

9.1设和分别是扭转函数和Prandtl应力函数，试说明方程和所表示的物理意义。

    解:方程是用扭转函数表示的平衡方程；方程是用应力函数表示的协调方程。

9.2求图9.11所示等边三角形截面杆扭转问题的应力分量、最大剪应力和抗扭刚度。提示：设应力函数为。

    解：在图9.11中所取的坐标系中，三角形的三条边的直线方程是

    ，， 

    所以猜测Prandtl应力函数为

上式满足在截面边界上为零的条件。应力函数还应该满足方程，将的表达式代入，可以求得，所以

， 

，

最大剪应力出现在截面的边界上。由于对称性，出现在每条边上的最大剪应力应该相等，所以只要求这条边上的最大剪应力就可以了，在这条边上，有

， 

因此最大剪应力为

。

9.3半径为的圆截面扭杆有半径为的圆弧槽，且，如图9.12所示。求应力分量、最大剪应力以及抗扭刚度。提示：两条圆弧的方程是和。设应力函数为。

    解：两条圆弧的方程是和，所以猜测应力函数为

    上式在截面边界上为零。将上式代入方程，可知应取，因此

    用表示整个大圆的区域，则和的面积差小于。

    应力分量为

    在小圆上，有

    ，；                                        (1)

    在大圆上，有

    ，                         (2)

    由(1)和(2)式可知，最大剪应力发生在小圆的处，其绝对值为

    。

9.4已知截面边界为椭圆

的杆，扭转刚度为，求上述边界与椭圆

              ()

所围成的空心截面杆的扭转刚度。

解：大椭圆所围区域用表示，小椭圆所围区域用，截面用表示，。在中定义函数

                                                (1)

容易验证上式满足方程，也满足条件和

常数

又

即

所以式(1)定义的函数是本问题的应力函数。因为在上，，所以根据已知条件，有

  。

解法二：横截面为大椭圆的实心杆扭转时，因为小椭圆是应力函数的等值线，所以与小椭圆对应的材料和外部材料之间没有相互作用力，这相当于两根的杆件在一起扭转，因此有

。

9.5一闭口薄壁杆具有图9.13所示的横截面，壁厚是常数。试证明：杆扭转时中间腹壁上无剪应力；并导出用扭矩表示的远离角点处的应力公式和单位长度的扭转角。

解：应力函数在外边界上的值为零，在左内边界上的值为，在右内边界上的值为。由于壁很薄，由书中的式(9.17)可以近似地得到

    ，

    。

    解上面的方程组，得

    对本问题的薄壁杆，近似地有

    所以

    左右薄壁上的剪应力为

    ，中间腹壁上的。