【2022】浙江省宁波市中考数学模拟试卷(及答案解析)

（含答案）

（时间120分钟   满分：150分）

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．﹣1+3的结果是（　　）

A．﹣4    B．4    C．﹣2    D．2

2．如图所示的几何体的左视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．已知点（﹣1，y1），（﹣0.5，y2），（1.5，y3）是直线y＝﹣2x+1上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＞y2＞y1    B．y1＞y2＞y3    C．y1＞y3＞y2    D．y3＞y1＞y2

4．已知关于x的不等式4x﹣a＞﹣5的解集如图所示，则a的值是（　　）

A．﹣3    B．﹣2    C．﹣1    D．0

5．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是（　　）

A．18分，17分    B．20分，17分    

C．20分，19分    D．20分，20分

6．下列命题中真命题是（　　）

A．若a2＝b2，则a＝b    

B．4的平方根是±2    

C．两个锐角之和一定是钝角    

D．相等的两个角是对顶角

7．下面的统计图反映了我市2011﹣2016年气温变化情况，下列说法不合理的是（　　）

A．2011﹣2014年最高温度呈上升趋势    

B．2014年出现了这6年的最高温度    

C．2011﹣2015年的温差成下降趋势    

D．2016年的温差最大

8．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点的坐标是（﹣1，0），（5，0），则这条抛物线的对称轴是直线（　　）

A．x＝1    B．x＝2    C．x＝3    D．x＝﹣2

9．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三叶花的面积为（　　）

A．3π﹣3    B．3π﹣6    C．6π﹣3    D．6π﹣6

10．如图，点A，B为反比例函数在第一象限上的两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若B点的横坐标是A点横坐标的一半，且图中阴影部分的面积为k﹣2，则k的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）

11．分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝　   　．

12．如图，∠ADB＝90°，∠DCB＝30°，则∠ABD＝　   　．

13．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2018的值为　   　．

14．在一次绿色环保知识竞赛中，共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，小明要想在竞赛中得分不少于100分，则他至少要答对　   　道题．

15．如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，…按此规律继续旋转，直到点P2012为止，则AP2012等于　   　．

16．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为　   　．

三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）

17．（1）计算：（﹣）﹣2﹣23×0.125+20050+|﹣1|；

（2）解方程：＝．

18．计算：

（1）（x+y）2﹣2x（x+y）；

（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2；

（3）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x3y﹣4x2y2）÷2xy，其中x＝﹣3，y＝．

19．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．

（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；

（2）图2中所画的平行四边形的面积为　   　．

20．某市教育局到某校抽查七年级学生“根据音标写单词”的水平，随机抽取若干名学生进行测试（成绩取整数，满分为100分）．如下两幅是尚未绘制完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽取的学生有　   　人；

（2）该年段有450名学生，若全部参加测试，请估计60分以上（含60分）有　   　人；

（3）甲、乙、丙是该校三名英语成绩优秀的学生，随机抽取其中两名学生介绍英语学习经验，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求抽到甲、乙两名学生的概率．

21．如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE与BC边交于点E，点P是线段AE上一定点（其中PA＞PE），过点P作AE的垂线与AD边交于点F（不与D重合）．一直角三角形的直角顶点落在P点处，两直角边分别交AB边，AD边于点M，N．

（1）求证：△PAM≌△PFN；

（2）若PA＝3，求AM+AN的长．

22．一个车间加工轴杆和轴承，每人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个，1根轴杆与2个轴承为一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？

23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

24．已知，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，连接CP．

（1）如图1，若∠PCB＝∠A．

①求证：直线PC是⊙O的切线；

②若CP＝CA，OA＝2，求CP的长；

（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN•MC＝9，求BM的值．

参

一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1．【分析】根据有理数的加法解答即可．

【解答】解：﹣1+3＝2，

故选：D．

【点评】此题考查有理数的加法，关键是根据法则计算．

2．【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．

【解答】解：图中几何体的左视图如图所示：

故选：D．

【点评】本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．

3．【分析】根据一次函数图象的增减性，结合横坐标的大小，可判断纵坐标的大小关系，即可得到答案．

【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1的图象y随着x的增大而较小，

又∵﹣1＜﹣0.5＜1.5，

∴y1＞y2＞y3，

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键．

4．【分析】先求出不等式的解集，根据数轴得出关于a的方程，求出方程的解即可．

【解答】解：解不等式4x﹣a＞﹣5得：x＞，

根据数轴可知：＝﹣2，

解得：a＝﹣3，

故选：A．

【点评】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点，能得出关于a的方程是解此题的关键．

5．【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．

【解答】解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23，

所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，

故选：D．

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．

6．【分析】利用平方根的定义对A、B进行判断；利用反例对C进行判断；根据对顶角的定义对D进行判断．

【解答】解：A、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，所以A选项错误；

B、4的平方根是±2，所以B选项正确；

C、两个锐角之和不一定是钝角，若30°与60°的和为直角；所以C选项错误；

D、相等的两个角不一定为对顶角，所以D选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

7．【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．

【解答】解：A、2011﹣2014年最高温度呈上升趋势，正确；

B、2014年出现了这6年的最高温度，正确；

C、2011﹣2015年的温差成下降趋势，错误；

D、2016年的温差最大，正确；

故选：C．

【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关键．

8．【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点的坐标是（﹣1，0），（5，0），可以求得这条抛物线的对称轴，本题得以解决．

【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点的坐标是（﹣1，0），（5，0），

∴这条抛物线的对称轴是直线x＝＝2，

故选：B．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

9．【分析】先算出三叶花即一个小弓形的面积，再算三叶花的面积．一个小弓形的面积＝扇形面积﹣三角形的面积．

【解答】解：如图所示：弧OA是⊙M上满足条件的一段弧，连接AM、MO，

由题意知：∠AMO＝90°，AM＝OM

∵AO＝2，∴AM＝．

∵S扇形AMO＝×π×MA2＝．

S△AMO＝AM•MO＝1，

∴S弓形AO＝﹣1，

∴S三叶花＝6×（﹣1）

＝3π﹣6．

故选：B．

【点评】本题考查了扇形的面积、直角等腰三角形的面积、弓形的面积等知识点．解决本题的关键是根据弦长得到圆的半径．

10．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，设B（），则AC＝2CE＝2t，于是可表示出A（），由点B和点A的纵坐标可知BD＝2OC，然后根据三角形面积公式得到关于k的方程，解此方程即可．

【解答】解：设B（），

∵AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，B点的横坐标是A点横坐标的一半，

∴AC＝2CE＝2t，

∴A（），

∴BD＝2OC＝2DE，

∴△OCM≌△BEM，

∴CM＝EM，同理EN＝DN，

∴阴影部分的面积＝．

解得，                    

故选：B．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．由几何图形的性质将阴影部分的面积进行转化是解题的关键．

二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）

11．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式＝xy（x2﹣2x+1）＝xy（x﹣1）2．

故答案为：xy（x﹣1）2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12．【分析】根据∠ABD＝90°﹣∠A，求出∠A即可解决问题；

【解答】解：∵∠A＝∠DCB＝30°，∠ADB＝90°

∴∠ABD＝90°﹣∠A＝60°，

故答案为60°

【点评】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

13．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝m代入已知方程后即可求得所求代数式的值．

【解答】解：把x＝m代入2x2+3x﹣1＝0，得

2m2+3m﹣1＝0，

则2m2+3m＝1．

所以4m2+6m+2018＝2（2m2+3m）+2018＝2+2018＝2020．

故答案为：2020．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

14．【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，根据“对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，小明要想在竞赛中得分不少于100分”，列出关于x的一元一次不等式，解之即可．

【解答】解：设小明答对x道题，则答错或不答的题数为（20﹣x）道，

根据题意得：

10x﹣5（20﹣x）≥100，

解得：x≥，

∵x为整数，

∴至少答对14道题，

故答案为：14．

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，正确找出等量关系，列出一元一次不等式是解题的关键．

15．【分析】仔细审题，发现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解．

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，

∴AB＝2，BC＝，

∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；

将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；

将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2++1＝3+；

又∵2012÷3＝670…2，

∴AP2012＝670（3+）+2+＝2012+671．

故答案为2012+671．

【点评】本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环是解题的关键．

16．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：

第1步：利用角平分线的性质，得到BD＝CD；

第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；

第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD＝BD＝KD＝CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；

第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出的值．

【解答】解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．

∵＝＝＝＝，

∴BD＝CD．

如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．

在△ABD与△AMD中，

∴△ABD≌△AMD（SAS），

∴MD＝BD＝CD．

过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．

∵MN∥AD，

∴＝＝，

∴CK＝CD，

∴KD＝CD．

∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，

∴∠DMK＝∠DKM．

由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1＝∠2；

∵MN∥AD，

∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，

又∵∠DKM＝∠3（对顶角）

∴∠DMK＝∠4，

∴DM∥GN，

∴四边形DMNG为平行四边形，

∴MN＝DG＝2FD．

∵点H为AC中点，AC＝4CM，

∴＝．

∵MN∥AD，

∴＝，即，

∴＝．

故答案为：．

方法二：

 如右图，有已知易证△DFE≌△GFE，

故∠5＝∠B+∠1＝∠4＝∠2+∠3，又∠1＝∠2，

所以∠3＝∠B，则可证△AGH∽△ADB

设AB＝5a，则AC＝4a，AH＝2a，

所以AG/AD＝AH/AB＝2/5，而  AD＝AG+GD，故GD/AD＝3/5，

所以AG：GD＝2：3，F是GD的中点，

所以AG：FD＝4：3．

【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．

三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）

17．【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）原式＝4﹣8×0.125+1+1

＝4﹣1+1+1

＝5．

（2）两边同乘以x（2x﹣1），得6（2x﹣1）＝5x，

解得x＝．

经检验，x＝是原方程的解．

【点评】此题考查了实数的运算与解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

18．【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算即可求出值；

（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；

（3）原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．

【解答】解：（1）（x+y）2﹣2x（x+y）＝x2+2xy+y2﹣2x2﹣2xy＝y2﹣x2；

（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣（a2﹣2a+1）＝2a﹣2；

（3）（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x3y﹣4x2y2）÷2xy＝x2﹣4y2﹣x2+2xy＝﹣4y2+2xy，

当x＝﹣3，y＝时，原式＝﹣1﹣3＝﹣4．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．【分析】（1）依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得到所求的平行四边形；

（2）利用割补法，即可得到图2中平行四边形的面积．

【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD和四边形EFGH均为平行四边形；

（2）图2中所画的平行四边形的面积＝×6×（1+1）＝6，

故答案为：6．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．

20．【分析】（1）根据第三组的频数为8，所占百分比为16%，即可求出本次抽取的学生总数；

（2）先求出60分以上（含60分）所占百分比，再利用样本估计总体的思想，用450乘以这个百分比即可；

（3）首先根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果与抽到甲、乙两名学生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）8÷16%＝50（人）；

（2）1﹣4%＝96%，450×96%＝432（人）；

（3）列表如下：

共有6种情况，其中抽到甲、乙两名同学的是2种，

所以P（抽到甲、乙两名同学）＝＝．

故答案为50；432．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、用样本估计总体的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

21．【分析】（1）由题意可证AP＝PF，∠MAP＝∠PAF＝∠PFA＝45°，即可证△PAM≌△PFN；

（2）由勾股定理可求AF＝3，由△PAM≌△PFN，可得AM＝NF，即可得AM+AN＝AF＝3．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAD＝90°

∵∠BAD的平分线AE与BC边交于点E，

∴∠BAE＝∠EAD＝45°

∵PF⊥AP

∴∠PAF＝∠PFA＝45°

∴AP＝PF

∵∠MPN＝90°，∠APF＝90°

∴∠MPN﹣∠APN＝∠APF﹣∠APN

∴∠MPA＝∠FPN，且AP＝PF，∠MAP＝∠PFA＝45°

∴△PAM≌△PFN（ASA）

（2）∵PA＝3

∴PA＝PF＝3，且∠APF＝90°

∴AF＝＝3

∵△PAM≌△PFN；

∴AM＝NF

∴AM+AN＝AN+NF＝AF＝3

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．

22．【分析】设x个人加工轴杆，（90﹣x）个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套，根据1根轴杆与2个轴承为一套列出方程，求出方程的解即可得到结果．

【解答】解：设x个人加工轴杆，（90﹣x）个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套，

根据题意得：12x×2＝16（90﹣x），

去括号得：24x＝1440﹣16x，

移项合并得：40x＝1440，

解得：x＝36．

则调配36个人加工轴杆，54个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．

23．【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；

设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），

将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．

（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．

设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），

∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，

EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．

∵点C的坐标为（﹣2，3），

∴点Q的坐标为（﹣2，0），

∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，

∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．

∵﹣＜0，

∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．

（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，

∴点N的坐标为（0，3）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．

∵点C的坐标为（﹣2，3），

∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．

令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．

∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，

∴MN＝CM，

∴AM+MN＝AM+MC＝AC，

∴此时△ANM周长取最小值．

当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，

∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．

∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），

∴AC＝＝3，AN＝＝，

∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．

∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．

24．【分析】（1）①欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；

②想办法证明∠P＝30°即可解决问题；

（2）如图2中，连接MA．由△AMC∽△NMA，可得，由此即可解决问题；

【解答】（1）①证明：如图1中，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∵∠PCB＝∠A，

∴∠ACO＝∠PCB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB＝90°，

∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线．

②∵CP＝CA，

∴∠P＝∠A，

∴∠COB＝2∠A＝2∠P，

∵∠OCP＝90°，

∴∠P＝30°，

∵OC＝OA＝2，

∴OP＝2OC＝4，

∴．

（2）解：如图2中，连接MA．

∵点M是弧AB的中点，

∴＝，

∴∠ACM＝∠BAM，

∵∠AMC＝∠AMN，

∴△AMC∽△NMA，

∴，

∴AM2＝MC•MN，

∵MC•MN＝9，

∴AM＝3，

∴BM＝AM＝3．

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．