江苏省常州市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题及答案解析

常州市教育学会学业水平监测

高三数学2021年11月

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A ＝{x |x 2

－2x ＞0}，B ＝{1，2，3，4}，则(∁R A )∩B ＝

A ．{1，2}

B ．{2，3}

C ．{1，2，3}

D ．{1，2，3，4}

2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，

a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则a 4＝A ．274B ．94C ．278D ．98

3．已知角A 是△ABC 的内角，则“sin A ＝22”是“A ＝π4”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件

4．某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为

A ．411

B ．58

C ．4355

D ．47

5．已知函数f (x )|ln(－x )|，x ＜0，

x 2－4x ＋1，x ≥0．若x 1，x 2，x 3，x 4是方程f (x )＝t 的四个互不相等的解，

则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的取值范围是

A ．[6，＋∞)

B ．(－∞，2]

C ．(4－e －1e ，2]

D ．[4－e －1e

，2)

6．已知(1－2x)2021＝a0＋a1x＋…＋a2021x2021，则a1

2＋

a2

22

＋

a3

23

＋…＋

a2021

22021

＝

A．－2B．－1C．0D．2

7．已知函数f(n)＝n2cos nπ

2

(n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝

A．5100B．5150C．5200D．5250

8．若过点(a，b)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则

A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知随机变量X服从正态分布N(10，102)，则

A．随机变量X的均值为10B．随机变量X的方差为10

C．P(X＞10)＝1

D．P(X≥0)＋P(X＜20)＞1

2

10．已知关于x的不等式a e x＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，则

A．a＞0B．b＞0C．c＞0D．a＋b＋c＞0

11．已知等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，且满足0＜a1＜1，a2020a2021－1＞0，

a2020－1

＜1，则

a2021－1

A．q＞1B．a2019a2021－1＜0

C．T2021的值是T n中最小的

D．使T n＜1成立的最大正整数n的值为4039

12．已知函数f(x)＝sin ax－a sin x，其中a＞0，且a≠1，则A．f(x)为奇函数

B．f(x)为周期函数

C．若0＜a＜1，则f(x)在区间(0，π)上单调递增

D．若0＜a＜1，则f(x)在区间(0，2π)内没有零点

故选AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．一个直角三角形的三条边的长度成等差数列，则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是．

14．已知θ为锐角，且满足tan3θ＝4tanθ，则tan2θ的值为．

15．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为线段A1C的中点，三棱锥O－ABC的体积为，过点O且垂直于A1C的平面与底面ABCD的交线长为．

16．已知函数f(x)＝x(xe x－2)－4ln x，对于任意x＞0，f(x)≥a恒成立，则整数a的最大值为．

【答案】0

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)

为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图、2×2列联表(将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”)．

(1)根据已知条件完成上图的2×2列联表；

(2)据此调查结果，是否有95%的把握认为“球迷”与性别有关?

附：χ2＝n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )．临界值表：P (χ2≥x 0)

0.150.100.050.0250.0100.0050.001x 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828

【解析】

设△ABC的内角A．B，C的对边分别为a，b，c，且满足b sin2A＋a sin B＝0，点D为边BC 上一点，AD⊥AC．

(1)求∠BAC的大小；

(2)若AC＝4，AD＝3，求AB．

【解析】

19．(12分)

如图，在四棱台ABCD－AB1C1D1中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝2BC＝2A1B1＝2，平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1B1BA⊥平面ABCD．

(1)求证：AA⊥平面ABCD；

(2)若二面角A－BB1－D的大小为π

6，求四棱台ABCD－AB1C1D1的高．

【解析】

已知数列{a n}满足a1＝5，且a n＝2a n－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)．

(1)设b n＝a n＋λ

2n

，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列?若存在，求出λ的值，若不存在，说

明理由；

(2)求{a n}的前n项和S n．【解析】

b n＝n＋1，

21．(12分)

全国高中数赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，思考精神以及合作精神．现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互．

第1次

第2次第3次第4次第5次甲86928786乙

90

86

88

87

(1)从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；

(2)从5次训练中随机选取2次，用X 表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求X 的分布列和数学期望；

(3)根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由．(注：样本数据x 1，x 2，…，

x

n

的方差s 2

＝

1n

()

∑=-n

i i

x x 1

2

，其中x ＝

1

n

∑=n

i i

x 1

)

【解析】

已知函数f(x)＝

x

e x－1

．

(1)求函数f(x)的极大值；

(2)设实数a，b互不相等，且a e b－b e a＝e a－e b，证明：ab＋a＋b＜0．【解析】

(1)

(2)法一：

法二：