等边三角形专题训练 (1)

1.如图，    C为线段AE上的一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点平，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°

其中恒成立的结论有__________（把你认为正确的序号都填上）

2.如图，以△ABC的两边AB，AC为边分别向三角形作等边△ABD和等边△ACE，连接BE和CD交于点O，求证：

（1）BE=CD

（2）OA平分∠DOE

3.如图，D为等边三角形ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN，求证：

（1）∠MDN=60°

（2）△DMN的高DH=BD

（3）MD平分∠BDH

4.如图，D为等边△ABC的AC边上的一点，BD=CE，∠1=∠2，求证：△ADE是等边三角形

5.如图，∠BAD=120°，BD=DC，AB+AD=AC，求证：AC平分∠BAD

6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，求证：BF=2CF

7.如图，在△ABC中，∠A=90°，D为三角形内一点，且AB=AC=BD，∠ABD=30°，求证：AD=CD

8.如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA与E，若OD=4㎝，求PE的长

9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6，点D在AB边上，点E在BC边上（不与B，C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是________________

10.（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和OD为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB

（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB

11.已知∠MAN，AC平分∠MAN

（1）在图①中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证AB+AD=AC

（2）在图②中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？，若成立，请给出理由；若不成立，请说明理由

12.如图，△ABC为等边三角形，点D，E，F分别在AB，BC，CA上，且△DEF是等边三角形，求证：AD=BE=CF

13.如图，D为等边△ABC内一点，P为△ABC外一点，且DB=DA，BP=BA，∠DBP=∠DBC，求∠BPD

14.如图，已知四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，求证：BC+CD=AC

15.如图，已知等边△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC边的中点，M为BC边上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）），请你判断EN与MF又怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请说明理由

16.（1）如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点P，过点P作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两线交于点Q，求证：AP=BQ

（2）在上面的条件下，点P在BC边上任意移动，延长AP交BQ于点D，请画出图形，问AD与BD+CD之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并证明你的结论；若不存在，请说明理由

17.如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN

（1）探究线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明；

（2）若点M，N分别是射线AB，CA上的点，其他条件不变，在探究线段BM，MN，NC之间的关系，画出图形，并说明理由