浙江省宁波市鄞州区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题及参

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ）

A． ． ． ．

2．下列属于随机事件的是（ ）

A．从装满红球的口袋随意摸一个球是红球 ．抛一个硬币，正好反面朝上

C．从一副扑克牌任抽2张都是红心5 ．抛一枚骰子两次出现点数之和为13

3．已知，则下列结论一定成立的是（ ）

A．， ． ． ．

4．中，斜边，其重心与外心之间的距离为（ ）

A．2 ．3 ．4 ．6

5．若点在内，点在外，，，则的半径的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

6．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（ ）

A． ． ． ．

7．角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（ ）

A． ． ． ．

8．已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能是（ ）

A． ． ．0 ．

9．如图，，是内部一点，与的边相切于点，与边相交于点，，，作于，，则弦的长是（ ）

A． ． ．4 ．

10．如图，，，，分别是矩形四条边上的点，连结，相交于点，，，矩形矩形，连结交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（ ）

A．矩形和矩形的面积之差 ．矩形与矩形的面积之差

C．矩形和矩形的面积之差 ．矩形和矩形的面积之差

二、填空题

11．比例式中的值等于___________．

12．为估计种子的发芽率，做了10次试验．每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是___________．

13．如图，从地到地需经过地，现城市规划需修建一条从到的笔直道路，已知米，，，则道路改直后比原来缩短了___________米．（结果精确到1米，可能用到的数据：，）

14．如图，直线与抛物线（）相交于，两点，点是抛物线上位于直线下方的点，则点的横坐标的取值范围是___________．

15．如图，点，，都在上，，将圆沿翻折后恰好经过弦的中点，则的值是___________．

16．如图，矩形中，，，抛物线的顶点为，且经过点和，其中点，位于矩形的内部（不含边界），则的面积是___________，的取值范围是___________．

三、解答题

17．计算：．

18．端午节期间，扬州某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了两次转盘．

（1）该顾客最少可得      元购物券，最多可得      元购物券；

（2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率．

19．由36个边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点在格点上．

（1）如图1，，也在格点上，连结，相交于点，求的值和的长；

（2）如图2，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得．

20．如图，在东西方向的海岸线上有长为300米的码头海岸，在码头的最西端处测得轮船在它的北偏东方向上；同一时刻，在处正东方向距离处50米的处测得轮船在北偏东方向上．

（1）求轮船到海岸线的距离；（结果保留整数米）

（2）如果轮船沿着南偏东的方向就行，那么该轮船能否行至码头海岸靠岸？请说明理由．（参考数据：，，，）

21．如图，在锐角，，以为直径画交于点，过点作于点．

（1）求证：是的切线；

（2）当时，求阴影部分弓形的面积．

22．如图1，游乐园要建行一个直径为20的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头．如图2，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，根据下表记录的水柱高度（）与水柱距离喷水池中心的水平距离（）之间的关系画出部分图象．

水柱距离喷水池中心的水平距离（

（1）位于第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于轴对称，请你在所给的平面直角坐标系第二象限画出它的图象；

（2）该种喷水头喷水的最大高度是多少？

（3）为了形成不同高度的喷水景观，在地面上安装了另一种喷水头，它的位置在直角坐标系中可用表示，喷水水柱形状与 形状相同，喷出的水柱最大高度为6.25米，水柱下落时也过点，求该种喷水头安装的位置的坐标．

23．和均是等腰直角三角形，其中．如图1，开始时，，现在固定将绕着点按顺时针方向旋转（）．

（1）当中的边旋转到与的某条边平行时，旋转角的度数是         ；

（2）如图2，连结，，求证：；

（3）若，在的旋转过程中，当，，三点在同一条直线上时，请画出图形求的度数．

24．定义：若一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，则称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如，在中，，，，满足，所以是关于的“差倍角三角形”．

（1）若等腰是“差倍角三角形”，求等腰三角形的顶角的度数；

（2）如图1，中，，，，小明发现这个是关于的“差倍角三角形”．

他的证明方法如下：

证明：在上取点，使得，连结，（请你完成接下去的证明）

（3）如图2，五边形内接于圆，连结，与相交于点，，，是关于的“差倍角三角形”．

①求证：四边形是平行四边形；

②若，设，，求关于的函数关系式．

参

1．A

【分析】

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，据此判断即可．

【详解】

解：A、∵a＝＞0，

∴的图象开口向上，故本选项符合题意；

B、∵a＝﹣1＜0，

∴y＝﹣x2+2x+1的图象开口向下，故本选项不符合题意；

C、∵a＝﹣2＜0，

∴y＝﹣2x2+x的图象开口向下，故本选项不符合题意；

D、∵a＝﹣0.5＜0，

∴y＝﹣0.5x2+x的图象开口向下，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

2．B

【分析】

根据事件发生的可能性大小判断．

【详解】

解：A、从装满红球的口袋随意摸一个球是红球，是必然事件；

B、抛一枚硬币，正好反面朝上，是随机事件；

C、从一副扑克牌中任抽2张都是红心5，是不可能事件；

D、抛一枚骰子两次出现点数之和为13，是不可能事件；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3．D

【分析】

根据比例的基本性质以及合比性质进行判断，即可得出结论．

【详解】

解：A．由，不能得到x＝3，y＝4，故本选项错误；

B．由，不能得到y﹣x＝1，故本选项错误；

C．由，可得4x＝3y；由，可得xy＝12，故本选项错误；

D．由，可得，即，故本选项正确．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”是解题的关键．

4．A

【分析】

根据直角三角形的性质得到，根据重心的性质求解即可；

【详解】

∵直角三角形的外心是斜边的中点，

∴，

∵M是的重心，

∴；

故答案选A．

【点睛】

本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的重心和三角形的外心，准确计算是解题的关键．

5．C

【分析】

根据点和圆的位置关系可判断．

【详解】

解：∵点在内，，

∴，

∵点在外，，

∴，

的半径的取值范围是，

故选：C．

【点睛】

本题考查了点和圆的位置关系，解题关键是熟知点和圆的位置关系是由半径和点到圆心的距离决定．

6．B

【分析】

找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．

【详解】

解：∵抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（-1，0），

∴平移后抛物线的顶点坐标为（1，-4），

∴平移后抛物线的解析式为y=（x-1）2-4．

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出平移后抛物线的解析式是解题的关键．

7．C

【分析】

由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．

【详解】

解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小，

随的增大而增大，

A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意；

B．∵,∴,选项B正确，不合题意；

C．，，，，选项C不正确，符合题意；

D．，，，，选项D正确，不符合题意．

故选择：C．

【点睛】

本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．

8．D

【分析】

根据二次函数图象上点的坐标特征得到m+1＜3﹣m或m≤﹣1，解得即可．

【详解】

解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2（a＞0），

∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m，

∵图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p＜q，

∴m+1＜3﹣m或m≤﹣1

解得m＜1，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

9．C

【分析】

延长BO交AM点F，计算BF，后计算OB，OC，OE，最后，运用垂径定理计算即可.

【详解】

如图，延长BO交AM点F，连接OC，

∵与的边相切，

∴∠ABF=90°，

∵，，

∴BF=，∠AFB=60°，∠FOE=30°，

设EF=x，则OF=2x，OE=，

∵，

∴OB=3x，

∴BF=OB+OF=5x，

∴5x=，

∴x=，

∴OB=3x=，OE==，

∵，

∴在直角三角形OCE中，

CE==2，

根据垂径定理，得CD=2CE=4，

故选C.

【点睛】

本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，垂径定理，会用延长线段BO构造特殊的直角三角形是解题的关键.

10．A

【分析】

设BF=a，BE=b，BE=b，AE=kb，根据△AEP∽△ABC，△FQC∽△ABC，分别用含a、b、k的式子表示出EP、FQ，利用割补法表示出△BPQ面积，即可求解．

【详解】

解：设BF=a，BE=b，BE=b，AE=kb，

∵EP∥BC，∠AEP=∠ABC=90°，

∴△AEP∽△ABC，

∴，

∴ ，

同理，△FQC∽△ABC，

∴，

∴，

∵ 

，

∵，

∴  ．

故选：A

【点睛】

本题为三角形相似知识的综合，综合性较强，根据题意设出参数，根据相似表示出相关线段，恰当利用割补法进行转换是解题关键．

11．

【分析】

根据比例的性质列出方程，通过解方程求得x的值即可．

【详解】

解：∵，

∴4x＝15，

解得x＝，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了比例的性质．利用“两内项之积等于两外项之积”列出方程是解题的关键．

12．95%

【分析】

根据发芽率的意义，求出发芽的种子数占实验种子总数的百分比即可．

【详解】

解：（950×10）÷（1000×10）×100%＝95%，

故答案为：95%．

【点睛】

本题考查频率估计概率，理解发芽率的意义是正确计算的前提．

13．63.

【分析】

过点C作CD⊥AB，垂足为D，计算BC，AB的长度，比较AC+BC与AB的大小即可.

【详解】

如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵米，，，

∴DC=BD=90，AD=90，BC=90，

∴AC+BC=180+90≈306，

AB=AD+BD=90+90≈243，

∴缩短了：306-243=63（米），

故答案为：63米.

【点睛】

本题考查了解斜三角形，学会作高化，把斜三角形化为直角三角形，并熟练运用特殊角的三角函数值是解题的关键.

14．

【分析】

先求出直线AB的解析式为：，点是抛物线上位于直线下方的点，点P的横坐标满足，由的两根为x1=-2，x2=5，不等式的解集是，点的横坐标的取值范围即可求出．

【详解】

解：直线与抛物线（）相交于，两点，

设直线AB的解析式为：，

由直线过A、B代入解析式得，

解得，

直线AB的解析式为：，

点是抛物线上位于直线下方的点，

点P的横坐标满足，

由的两根为x1=-2，x2=5，

不等式的解集是．

∴点的横坐标的取值范围是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线解析式的求法，方程的解，利用图像解不等式，掌握直线解析式的求法，方程的解，利用图像解不等式，根据点P的位置构造不等式是解题关键．

15．

【分析】

如图，连接AC，CD，过点C作CE⊥AB于E．设AD＝DB＝2a．想办法用a表示BC即可解决问题．

【详解】

解：如图，连接AC，CD，过点C作CE⊥AB于E．

∵D为AB的中点，

设AD＝DB＝2a

∵∠ABC＝∠CBD，

∴，

∴CA＝CD，

∵CE⊥AD，

∴AE＝ED＝a，

∴BE＝DE+DB＝3a，

∵，

∴EC＝2a，

∴BC＝ ＝，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查圆周角定理，圆心角、弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

16．8

【分析】

根据题意，先把抛物线的一次项系数和常数项用含的式子表示出来，从而表示出点P的坐标，再利用两点间的距离求出MN的长，和点P到MN的距离，即可求出三角形的面积；再根据点M，N在矩形内部求出的范围，进而可求的范围

【详解】

点M和点N的纵坐标均为可知，M与N关于对称轴对称，

点M（、）点N（、）

MN的距离为：

点P的横坐标为：

抛物线的对称轴为：

将点 M（、）代入得：，则①，

点P为抛物线的顶点，则点P的纵坐标为：，将①式代入得P点的坐标为（、）

点P到MN的距离为：

②

点M在矩形的内部，

点N在矩形的内部

代入②式有：

故答案为：①；②

【点睛】

本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的特征，解题关键是用含式子表示出点P的坐标，结合题意求出的范围

17．

【分析】

分别把各角的三角函数值代入原式，再由二次根式混合运算的法则进行计算即可．

【详解】

解：原式，

，

．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

18．（1）20，80；（2）．

【分析】

（1）若两次都转向“10元”，该顾客最少可得20元购物券，若两次都转向“40元”，最多可得80元购物券．

（2）画树状图或列表即可求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券金额不低于50元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】

解：（1）画树状图得：

则该顾客最少可得20元购物券，最多可得80元购物券；

故答案为：20，80；

（2）画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况，

∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为：．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

19．（1），；（2）见解析

【分析】

（1）由，可证，由性质知，由勾股定理求出，利用比例即可求出CO的长；

（2）从A向左取两个格为E，过B向右取三个格为F，连结EF交AB与点M，构造相似，利用相似比即可求出M满足条件．

【详解】

解：（1）由图知：，，

∵，

∴，．

∴，

∴，

∵，

∴，

（2）从A向左取两个格为E，过B向右取三个格为F，连结EF交AB与点M，

∵AE∥BF，

∴∠A=∠B，∠E=∠F，

∴△AEM∽△BFM，

∴，

如图，点是所求作的点．

【点睛】

本题考查网格作图问题，与平行线性质，相似三角形的判定与性质，掌握网格作图经常利用相似或全等解决问题．

20．（1）轮船到海岸线的距离为200米；（2）该轮船能行至码头海岸靠岸

【分析】

（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x，解直角三角形即可得到结论；

（2）作∠DMF=22°，交l于点F．解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x，

∵在Rt△CDM中，CD=DM•tan∠CMD=x•tan37°，

又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，

∴AD=DM，

∵AD=AC+CD=50+x•tan37°，

∴50+x•tan37°=x，

∴，

答：轮船M到海岸线l的距离约为200米；

（2）作∠DMF=22°，交l于点F，

在Rt△DMF中，DF=DM•tan∠FMD=DM•tan22°

≈200×0.40=80（米），

∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈200+80=280＜300，

所以该轮船能行至码头AB靠岸．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．

21．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接OD，由等腰三角形的性质得到,∠A＝∠C,∠ODC＝∠C，∠A＝∠ODC,可得OD∥AB,根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；

（2）根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠ADE＝30°，求得∠A＝60°，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】

解：（1）连结，

∵，

∴．

∵，

∴．

∴．

∴OD∥AB．

∵，

∴，而是圆的半径，

∴是的切线．

（2）连结，

∵BD⊥AC，AB＝BC，

∴AD＝CD，

∵AC＝4AE，

∴AD＝2AE，

∵∠AED＝90°，

∴∠ADE＝30°，

∴∠A＝60°，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴∠COD＝60°，AD＝CD＝AB＝2，BD＝AB＝，

∴

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．

22．（1）见解析；（2）该种喷水头的最大高度是7.2米；（3）喷水头的安装位置是．

【分析】

（1）根据关于y轴对称，画出图象即可；

（2）用待定系数法求得抛物线的解析式并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；

（3）设第一象限抛物线的解析式是（b＞0），利用喷出的水柱最大高度为6.25米得关于b的方程，求得b值，从而可得抛物线的解析式；再令y＝0，可得b＞0时的抛物线与x轴的交点横坐标，根据对称性及下落时过点（0，4），可得答案．

【详解】

解：（1）如图是所求作的图形

（2）由题意可知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的坐标为．可设抛物线的解析式是，把代入得，，所以该种喷水头的最大高度是7．2米．

（3）∵喷水水柱形状与的形状相同，

∴设第一象限抛物线的解析式是（b＞0），

∵喷出的水柱最大高度为6.25，

∴，

解得，

∴，令得或，

∵水柱下落时过点（0，4），

∴该种喷水头安装的位置是（﹣8，0）或（8，0）．

【点睛】

本题考查了二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．

23．（1）或；（2）见解析；（3）图见解析，或．

【分析】

（1）分2种情况进行讨论：AB∥DE、BC∥DE，分别画出图形，计算出度数即可；

（2）根据等腰直角三角形的性质得出，∠BAC=∠DAE=45°，即可得出∠BAD=∠CAE，从而证得△ABD∽△ACE；

（3）由（2）可知，△ABD∽△ACE，得到∠ABD=∠ACE=90°，根据AB=2AD得出∠ACE=30°，即可得出∠DBC=15°或75°．

【详解】

解：（1）当△ADE中的DE边旋转到与△ABC的某条边平行时，旋转角α的度数是45°，90°．

①当AB∥DE时，α=45°；

②当DE∥BC时，α=90°；

∴旋转角α的所有可能的度数为45°，90°．

故答案为45°，90°；

（2）∵△ABC和△ADE均是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠AED=90°．

∴，∠BAC=∠DAE=45°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

∴△ABD∽△ACE；

（3）如图，由得，，．

在中，，，

∴，

∴．

∴．

如图，在得，，．

在中，，，

∴，

∴．

∴．

∴或．

【点睛】

本题考查了作图-旋转变换，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

24．（1）；（2）见解析；（3）①见解析；②

【分析】

（1）利用“差倍角三角形”的意义，建立方程求解，即可得出结论；

（2）先判断出∠C=∠BAD，进而判断出∠CAD=∠ADC，即可得出结论；

（3）①先判断出∠CAD=∠ABE，进而得出AC∥DE，即可得出结论；

②先判断出△ABF∽△EBA，得出BE=x2进而得出CD=x2-1，AE=x2-1，AF=，再判断出，即可得出结论

【详解】

解：（1）设等腰三角形的顶角∠A为2x，则等腰三角形的底角为90°-x，

∵等腰△ABC是“差倍角三角形”，

∴90°-x-2x=2×2x，

∠A=2x=108°，

∴顶角∠A的度数为108°；

（2）∵，，，

∴．

又∵，

∴．

∴．

设．

∵，

∴．

∴，．

∴．

∴是差倍角三角形．

（3）①证明：连结，

∵，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵是关于的差倍角三角形，

∴．

∴．

∴．

∴四边形是平行四边形

②∵∠BAF=∠AEB，∠ABF=∠EBA，

∴△ABF∽△EBA，

∴，

∴，

∴EF=BE-BF=x2-1，

∵四边形CDEF是平行四边形，

∴CD=EF=x2-1，

∵，

∴AE=CD=x2-1，

∴，

过点B作BM⊥AC于M，EN⊥AC于N，

∴BM∥EN，

∴△BFM∽△EFN，

∴，

∴

过点G作GH⊥AE于H，

∵∠BAC=ACB=∠AEG=∠EAG，

∴△ABC∽△AGE，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，新定义，平行四边形的判定和性质，构造出相似三角形判断出是解本题的关键．