江苏省镇江市句容市2016届中考数学一模试卷(含答案)

一、填空题

1．﹣5的绝对值是　　　　　　．

2．分解因式：2a2﹣8=　　　　　　．

3．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是　　　　　　．

4．如图，直线MA∥NB，∠A=68°，∠B=40°，则∠P=　　　　　　．

5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是　　　　　　．

6．如果反比例函数y=的图象在第二、四象限，那么k的取值范围是　　　　　　．

7．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=10，那么BC的长等于　　　　　　．

8．如图，圆O的半径为3，点A、B、C在圆O上，且∠ACB=45°，则弦AB的长是　　　　　　．

9．如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为　　　　　　．

10．若圆锥底面的直径为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为　　　　　　cm2（结果保留π）．

11．将关于x的一元二次方程x2+bx+c=0变形为x2=﹣bx﹣c，就可得x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1=0，可用“降次法”求得x4﹣3x+2016的值是　　　　　　．

12．如图，抛物线C1是二次函数y=x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；它与x轴的另一交点为A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点

P（2016，a），则a=　　　　　　．

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

13．下列运算中，正确的是（　　）

A．m2•m3=m6    B．（﹣m2）3=m6    C．﹣m2﹣2m2=﹣3m2    D．﹣3m﹣2=﹣

14．如图所示零件的左视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

15．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（　　）

A．0.5    B．1.5    C．    D．1

16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB=，那么tan∠CDE的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

17．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（　　）

A．①⑤    B．①②⑤    C．②⑤    D．①③④

三、解答题

18．计算：

（1）sin60°+|1﹣|+20160

（2）（1﹣）÷．

19．（1）解不等式组：，写出使不等式组成立的所有整数x．

（2）解方程：．

20．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．

求证：BC=DE．

21．某班级新做的表册栏被分割成如图所示的9个小长方形区域，标有标号1、2、3的3个小方格区域的可粘贴新内容，另外6个小方格需要保留，除此以外小方格完全相同．

（1）粗心的小明将一份通知随意地粘贴在图中所示的96个方格中的某一处上，求小明将这份通知粘贴在需保留区域小方格的概率；

（2）小伟准备从图中所示的标有编号1、2、3的3个小方格区域任意选取2个来粘贴课外活动表，则编号为1、2的两个小方格被粘贴的概率是多少？（用树状图或列表法求解）

22．对某校九年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩按A、B、C、D四个等级进行了评定．现将抽取学生的成绩评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如下：

根据上述信息完成下列问题：

（1）这次抽取的样本的容量为　　　　　　；图①中“D级”对应的扇形圆心角度数为　　　　　　°

（2）请在图②中把条形统计图补充完整；

（3）已知该校九年级共有学生750名，请你估计体能达到A级和B级的共约有多少人．

23．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°． 已知原传送带AB长为4米．

（1）求新传送带AC的长度．

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．

参考数据：．

24．如图，直线y=kx+b（k≠0），与反比例函数y=（m≠0）的图象交于第一象限内的A、B两点，已知点A的坐标为（3，4），OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．

（1）求点B的坐标．

（2）直接写出使不等式kx+b﹣＞0成立的正整数x的值．

25．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，∠B=∠DCA，AD∥BC，连结OD、AC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若=，OD=3，求AB的长．

26．如图1，A、B两地相距90km，甲、乙二人同时从A地出发向B地行进，甲以高于乙10km/h的骑车速度前行，行驶一段时间后因某些原因又往回骑行（在往返过程中速度不变），与乙汇合后，二人继续以各自的速度向B地行进，设两人骑行的时间为t，与A地的距离为s，s与t之间的函数图象如图2所示．

（1）甲、乙两人骑行的速度；

（2）若乙从A地出发小时后，丙以35km/h的速度由B地向A骑行，则丙经过　　　　　　小时后，与乙相距15km．

27．如图，二次函数y=kx2﹣3kx﹣4k（k≠0），的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，OC=OA．

（1）求点A坐标和抛物线的解析式；

（2）是否存在抛物线上的点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标．

28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，3）．点C的坐标为（0，m），其中m＜2，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作▱DEFA．

（1）图中AB=　　　　　　；BE=　　　　　　（用m的代数式表示）．

（2）若▱DEFA为矩形，求m的值；

（3）是否存在m的值，使得▱DEFA为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

2016年江苏省镇江市句容市中考数学一模试卷

参与试题解析

一、填空题

1．﹣5的绝对值是　5　．

【考点】绝对值．

【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|=5．

【点评】解题的关键是掌握绝对值的性质．

2．分解因式：2a2﹣8=　2（a+2）（a﹣2）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】计算题；因式分解．

【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：2a2﹣8

=2（a2﹣4），

=2（a+2）（a﹣2）．

故答案为：2（a+2）（a﹣2）．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

3．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是　4　．

【考点】实数大小比较．

【分析】先计算出a、b、c的值，再找出最大实数与最小实数，两者相减即可得出答案．

【解答】解：∵a=﹣|﹣2|=﹣2，b=﹣（﹣1）=1，c==﹣3，

∴则a、b、c中最大实数是b，最小实数是c，

∴a、b、c中最大实数与最小实数的差是b﹣c=1﹣（﹣3）=4；

故答案为：4．

【点评】此题考查了实数的大小比较，用到的知识点是绝对值、相反数和立方根，关键是计算出a、b、c的值．

4．如图，直线MA∥NB，∠A=68°，∠B=40°，则∠P=　28°　．

【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．

【分析】先根据平行线的性质求出∠AOB的度数，再由三角形内角和定理求出∠P的度数．

【解答】解：∵直线MA∥NB，∠A=68°，设直线AP与直线NB交于点O，

∴∠A=∠AOB=68°，

又∵∠POB=180°﹣∠AOB=112°，

∴在三角形POB中，∠B+∠P+∠POB=180°，

∵∠B=40°，

∴∠P=180°﹣40°﹣112°=28°．

故答案为：28°．

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，先根据题意求出∠POB的度数是解答此题的关键．

5．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是　m≤1　．

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【解答】解：由题意知，△=4﹣4m≥0，

∴m≤1，

故答案为：m≤1．

【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．

6．如果反比例函数y=的图象在第二、四象限，那么k的取值范围是　k＞1　．

【考点】反比例函数的性质．

【分析】由于反比例函数y=的图象在二、四象限内，则1﹣k＜0，解得k的取值范围即可．

【解答】解：由题意得，反比例函数y=的图象在二、四象限内，

则1﹣k＜0，

解得k＞1．

故答案为：k＞1．

【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y=（k≠0）中k的取值，①当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；②当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．

7．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=10，那么BC的长等于　6　．

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据计算即可．

【解答】解：∵AB∥CD∥EF，

∴=，即=，

解得BC=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

8．如图，圆O的半径为3，点A、B、C在圆O上，且∠ACB=45°，则弦AB的长是　3　．

【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．

【分析】首先连接OA，OB，由∠ACB=45°，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得弦AB的长．

【解答】解：连接OA，OB，

∵∠ACB=45°，

∴∠AOB=2∠ACB=90°，

∵OA=OB=3，

∴AB==3．

故答案为：3．

【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

9．如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为　19　．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质证明CA=CD=DB=8，根据三角形周长公式计算即可．

【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，

∴DB=DC，

∴∠DCB=∠B=40°，

∵∠A=80°，∠B=40°，

∴∠ACB=60°，

∴∠ACD=20°，

∴∠ADC=80°，

∴CA=CD=DB=8，

∴△ADC的周长=AD+AC+CD=19，

故答案为：19．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

10．若圆锥底面的直径为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为　15π　cm2（结果保留π）．

【考点】圆锥的计算．

【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．

【解答】解：圆锥的侧面积=π×6÷2×5=15πcm2．

【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．

11．将关于x的一元二次方程x2+bx+c=0变形为x2=﹣bx﹣c，就可得x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知x2﹣x﹣1=0，可用“降次法”求得x4﹣3x+2016的值是　2018　．

【考点】一元二次方程的解．

【专题】新定义．

【分析】先求得x2=x+1，再代入x4﹣3x+2016即可得出答案．

【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，

∴x2=x+1，

∴x4﹣3x+2016=（x+1）2﹣3x+2016

=x2+2x+1﹣3x+2016

=x2﹣x+2017

=1+2017

=2018，

故答案为2018．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．

12．如图，抛物线C1是二次函数y=x2﹣10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A1；将C1绕点A1旋转180°后得抛物线C2；它与x轴的另一交点为A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点

P（2016，a），则a=　24　．

【考点】二次函数图象与几何变换．

【专题】规律型．

【分析】先通过解方程x2﹣10x=0得到A1（10，0），则OA1=10，利用旋转的性质得A1A2=A2A3=10，由于2010=10×201，则可判断P（2016，a）在抛物线C201上，由于抛物线C201的开口向下，与x轴的两交点坐标为（2010，2020），则可求出抛物线C201的解析式为y=﹣（x﹣2010）（x﹣2020），然后把P（2016，a）代入可计算出a的值．

【解答】解：当y=0时，x2﹣10x=0，解得x1=10，x2=0，则A1（10，0）

所以OA1=10，

所以A1A2=A2A3=10，

而2010=10×201，

∴P（2016，a）在抛物线C201上，抛物线C201的开口向下，与x轴的两交点坐标为（2010，2020），

所以抛物线C201的解析式为y=﹣（x﹣2010）（x﹣2020），

当x=2016时，y=﹣（2016﹣2010）（2016﹣2020）=24，即a=24．

故答案为24．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

13．下列运算中，正确的是（　　）

A．m2•m3=m6    B．（﹣m2）3=m6    C．﹣m2﹣2m2=﹣3m2    D．﹣3m﹣2=﹣

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；负整数指数幂．

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、负整数指数幂，即可解答．

【解答】解：A、m2•m3=m5，故错误；

B、（﹣m2）3=﹣m6，故错误；

C、﹣m2﹣2m2=﹣3m2，正确；

D、，故错误；

故选：C．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、负整数指数幂，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、负整数指数幂．

14．如图所示零件的左视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可．

【解答】解：零件的左视图是两个竖叠的矩形．中间有2条横着的虚线．

故选D．

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的棱用实线表示，看不到的用虚线表示．

15．如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC=，∠B=60°，则CD的长为（　　）

A．0.5    B．1.5    C．    D．1

【考点】旋转的性质．

【分析】解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC﹣BD计算即可得解．

【解答】解：∵∠B=60°，

∴∠C=90°﹣60°=30°，

∵AC=，

∴AB=AC•tan30°=×=1，

∴BC=2AB=2，

由旋转的性质得，AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=1，

∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．

故选：D．

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．

16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB=，那么tan∠CDE的值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】平行四边形的性质；解直角三角形．

【分析】首先由已知条件和三角函数得出CE=5，所以CD=AB，进而得到∠CDE=∠CED=∠ADE，所以tan∠CDE=tan∠ADE，于是得到结论．

【解答】解：在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，sinB=，

∴AE=4，

∴BE==3，

∴EC=BC﹣BE=8﹣3=5．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=5．

∴△CED为等腰三角形．

∴∠CDE=∠CED．

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠CED．

∴∠CDE=∠ADE．

在Rt△ADE中，AE=4，AD=BC=8，

∴tan∠CDE=tan∠ADE==，

故选：A．

【点评】本题考查了解直角三角形的运用、勾股定理的运用、平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到图形中相等的角．

17．已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（　　）

A．①⑤    B．①②⑤    C．②⑤    D．①③④

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，

∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，

∵对称轴为x=＞0，

∴a、b异号，即b＜0，

又∵c＜0，∴abc＞0，

故本选项正确；

②∵对称轴为x=＞0，a＞0，

﹣＜1，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0；

故本选项错误；

③当x=1时，y1=a+b+c；

当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；

故本选项错误；

④当x=1时，a+b+c=0；

当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；

∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2=0，

∴（a+c）2=b2

故本选项错误；

⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；

当x=1时，a+b+c=0，

∴a+c=1，

∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；

故本选项正确；

综上所述，正确的是①⑤．

故选A．

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；

（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0，没有交点，b2﹣4ac＜0．

三、解答题

18．计算：

（1）sin60°+|1﹣|+20160

（2）（1﹣）÷．

【考点】分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题．

【分析】（1）先对原式化简，再合并同类项即可解答本题；

（2）先将括号内的式子通分再与括号外的式子相除，将除法转化为乘法进行约分化简即可．

【解答】解：（1）sin60°+|1﹣|+20160

=

=

=2；

（2）（1﹣）÷

=

=

=．

【点评】本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确它们各自的计算方法，注意去绝对值符号时，是否要变号．

19．（1）解不等式组：，写出使不等式组成立的所有整数x．

（2）解方程：．

【考点】解一元一次不等式组；解分式方程；一元一次不等式组的整数解．

【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出使不等式组成立的所有整数x即可；

（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可．

【解答】解：（1），由①得，x≤3，由②得，x＞﹣2，

故不等式组的解集为：﹣2＜x≤3，使不等式组成立的所有整数是：﹣1，0，1，2，3；

（2）方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得，2（x+1）﹣3（x﹣1）=（x+1）（x﹣1），

化简得，x2+x﹣6=0，解得x1=3，x2=2，

经检验，x1=3，x2=2均是原分式方程的解．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．

求证：BC=DE．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据由两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质即可得到BC=DE．

【解答】证明：∵AB∥EC，

∴∠A=∠DCE，

在△ABC和△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE，

∴BC=DE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

21．某班级新做的表册栏被分割成如图所示的9个小长方形区域，标有标号1、2、3的3个小方格区域的可粘贴新内容，另外6个小方格需要保留，除此以外小方格完全相同．

（1）粗心的小明将一份通知随意地粘贴在图中所示的96个方格中的某一处上，求小明将这份通知粘贴在需保留区域小方格的概率；

（2）小伟准备从图中所示的标有编号1、2、3的3个小方格区域任意选取2个来粘贴课外活动表，则编号为1、2的两个小方格被粘贴的概率是多少？（用树状图或列表法求解）

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）由共有9个方格，需保留区域小方格有6个，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与编号为1、2的两个小方格被粘贴的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）∵共有9个方格，需保留区域小方格有6个，

∴小明将这份通知粘贴在需保留区域小方格的概率为： =；

（2）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，编号为1、2的两个小方格被粘贴的有2种情况，

∴编号为1、2的两个小方格被粘贴的概率是： =．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．对某校九年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩按A、B、C、D四个等级进行了评定．现将抽取学生的成绩评定结果进行分析，并绘制扇形统计图和条形统计图如下：

根据上述信息完成下列问题：

（1）这次抽取的样本的容量为　120　；图①中“D级”对应的扇形圆心角度数为　36°　°

（2）请在图②中把条形统计图补充完整；

（3）已知该校九年级共有学生750名，请你估计体能达到A级和B级的共约有多少人．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）根据A级的人数和所占的百分比求出总人数，再求出B级和D级的人数所占的百分比，即可求出D级对应的扇形圆心角度数；

（2）用总人数乘以C级、D级人数所占的百分比求出C和D级的人数，从而补全统计图；

（3）用该校九年级共有学生数乘以A级和B级所占的百分比，即可求出答案．

【解答】解：（1）根据题意得： =120（人），

则这次抽取的样本的容量为120；

B所占的百分比是：×100%=40%，

D所占的百分比是1﹣20%﹣40%﹣30%=10%，

则图①中“D级”对应的扇形圆心角度数为：360°×10%=36°；

故答案为：120，36°；

（2）C级的人数是：120×30%=36人，

D级的人数是：120×10%=12（人），

补图如下：

（3）根据题意得：

750×（20%+40%）=450（人），

答：估计体能达到A级和B级的共约有450人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°． 已知原传送带AB长为4米．

（1）求新传送带AC的长度．

（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．

参考数据：．

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】（1）在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长．

（2）通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．

【解答】解：（1）如图，

在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=4×=4． 

在Rt△ACD中，

∵∠ACD=30°，

∴AC=2AD=8． 

即新传送带AC的长度约为8米；

（2）结论：货物MNQP不用挪走． 

解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4×=4． 

在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2．

∴CB=CD﹣BD=2﹣4≈0.9．

∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1＞2，

∴货物MNQP不应挪走．

【点评】考查了坡度坡脚问题，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．

24．如图，直线y=kx+b（k≠0），与反比例函数y=（m≠0）的图象交于第一象限内的A、B两点，已知点A的坐标为（3，4），OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．

（1）求点B的坐标．

（2）直接写出使不等式kx+b﹣＞0成立的正整数x的值．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将点A坐标（3，4）代入反比例函数解析式y=，求出m的值，过B作BC⊥x轴于点C．在Rt△BOC中，由tanα=，可设B（3h，h）．将B（3h，h）代入y=，求出h的值，即可得到点B的坐标；

（2）不等式kx+b﹣＞0成立时即一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，写出自变量x的取值范围进而求解即可．

【解答】解：（1）将点A坐标（3，4）代入反比例函数解析式y=，

得m=3×4=12，

则y=．

过B作BC⊥x轴于点C．

∵在Rt△BOC中，tanα=，

∴可设B（3h，h）．

∵B（3h，h）在反比例函数y=的图象上，

∴3h2=12，解得h=±2，

∵h＞0，∴h=2，

∴B（6，2）；

（2）当x＞0时，由图象得不等式kx+b﹣＞0成立时，3＜x＜6，

所以满足条件的正整数x的值是4，5．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数的解析式，正切函数的定义，难度适中，利用数形结合是解题的关键．

25．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，∠B=∠DCA，AD∥BC，连结OD、AC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若=，OD=3，求AB的长．

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）首先连接OC，AB是⊙O的直径，易证得∠1+∠B=90°，又由OA=OC，则可证得∠1=∠2，由∠B=∠DCA，从而求得∠2+∠DCA=90°，即CD是⊙O的切线；

（2）由已知条件和圆周角定理易证△CAB∽△DAC，由AC：BC的值可设AC=k，则BC=2k，由勾股定理可得AB=3k，继而表示出DC的长，然后由勾股定理建立关于k的方程，解方程即可得到问题答案．

【解答】（1）证明：连结OC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠1+∠B=90°，

又∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠2+∠B=90°，

∵∠DCA=∠B，

∴∠DCA+∠2=90°，

即OC⊥DC，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵AD∥BC，AB是⊙O的直径，

∴∠DAC=∠ACB=90°，

∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2，

∴∠B=∠3，

∴△CAB∽△DAC，

∴，

∵=，

∴设AC=k，BC=2k，则AB=3k，

∴，

∴DC=，

在△ODC中，OD=3，OC=AB=k，

∴（3）2=（k）2+（k）2，

∴解得：k=2，

∴AB=3k=6．

【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

26．如图1，A、B两地相距90km，甲、乙二人同时从A地出发向B地行进，甲以高于乙10km/h的骑车速度前行，行驶一段时间后因某些原因又往回骑行（在往返过程中速度不变），与乙汇合后，二人继续以各自的速度向B地行进，设两人骑行的时间为t，与A地的距离为s，s与t之间的函数图象如图2所示．

（1）甲、乙两人骑行的速度；

（2）若乙从A地出发小时后，丙以35km/h的速度由B地向A骑行，则丙经过　1或　小时后，与乙相距15km．

【考点】一元一次方程的应用；函数的图象．

【分析】（1）设甲骑行的速度为xkm/h，则乙的速度是（x﹣10）km/h，根据图中的数据列出方程求解即可；

（2）设丙经过m小时后，与乙相距15km，分当两人第一次相距15km时和两人第二次相距15km时，分别列出方程求解即可．

【解答】解：（1）设甲骑行的速度为xkm/h，则乙的速度是（x﹣10）km/h，根据题意得：

[﹣（﹣）]x=（x﹣10），

解得；x=35，

则x﹣10=35﹣10=25（km/h），

答：甲骑行的速度为35km/h，乙的速度是25km/h；

（2）设丙经过m小时后，与乙相距15km，当两人第一次相距15km时，根据题意得：

×25+25x+35x=90﹣15，

解得：m=1，

当两人第二次相距15km时，根据题意得：

×25+25x+35x=90+15，

解得：m=，

答：丙经过1或小时后，与乙相距15km；

故答案为：1或．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出题目中的等量关系，列出方程，本题要注意分两种情况列方程，不要漏解．

27．如图，二次函数y=kx2﹣3kx﹣4k（k≠0），的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，OC=OA．

（1）求点A坐标和抛物线的解析式；

（2）是否存在抛物线上的点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，直接写出点Q的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题；分类讨论；转化思想．

【分析】（1）只需令y=0就可求出点A、B的坐标，由OC=OA可得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；

（2）只需分∠ACP=90°或∠CAP=90°两种情况讨论，就可求出点P的坐标；

（3）易证四边形OEDF是矩形，则有EF=OD．要使EF最短，只需OD最短，只需OD⊥AC，由此可求出DF即yQ，然后只需把yQ代入抛物线的解析式就可解决问题．

【解答】解：（1）当y=0时，kx2﹣3kx﹣4k=0

∵k≠0，∴x2﹣3x﹣4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4

∴B（﹣1，0），A（4，0），

∵OA=OC，

∴C（0，4）；

把x=0，y=4代入y=kx2﹣3kx﹣4k，

得k=﹣1，

则抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；

（2）①当∠PCA=90°时，过点P作PM⊥y轴于M，如图1，

∴∠MCP+∠ACO=90°．

∵∠OAC+∠ACO=90°，

∴∠MCP=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP=∠OAC=45°，

∴∠MCP=∠MPC=45°，

∴MC=MP．

设P（m，﹣m2+3m+4），

则PM=CM=m，OM=﹣m2+3m+4，

∴m+4=﹣m2+3m+4，

解得：m1=0（舍去），m2=2，

∴﹣m2+3m+4=6，

即P（2，6）；

②当∠PAC=90°时，过点P作PN⊥y轴于N，设AP与y轴交于点F，如图2，

则有PN∥x轴，

∴∠FPN=∠OAP．

∵∠CAO=45°，∴∠OAP=45°，

∴∠FPN=45°，AO=OF=4，

∴PN=NF，

设P（n，﹣n2+3n+4），

则PN=﹣n，ON=n2﹣3n﹣4，

∴﹣n+4=n2﹣3n﹣4，

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴﹣n2+3n+4=﹣6，

即P（﹣2，﹣6）．

综上所述：点P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）当点Q的坐标是（，2）或（，2）时，EF最短．

提示：如图3，

∵∠OED=∠DFO=∠EOF=90°，

∴四边形OEDF是矩形，

∴EF=OD．

∴当线段EF的长度最短时，OD最小，

此时OD⊥AC．

∵OA=OC，

∴∠COD=∠AOD=45°，CD=AD．

∵DF∥OC，∴△ADF∽△ACO，

∴==，

∴DF=OC=2，

∴yQ=2，

解﹣x2+3x+4=2，得

x1=，x2=，

∴点Q的坐标是（，2）或（，2）．

【点评】本题主要考查了抛物线上点的特征、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，利用矩形的对角线相等将EF转化为OD，是解决第（3）小题的关键．

28．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，3）．点C的坐标为（0，m），其中m＜2，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作▱DEFA．

（1）图中AB=　5　；BE=　（3﹣m）　（用m的代数式表示）．

（2）若▱DEFA为矩形，求m的值；

（3）是否存在m的值，使得▱DEFA为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）根据勾股定理和三角形相似的性质即可求得；

（2）分两种情况讨论．①0＜m＜2时，由△ADE∽△AOB的性质得到AE=（4﹣2m），结合（1）可知BE=（3﹣m），由AE+BE=AB=5得到方程，解方程，可求得m的值．

②当m＜0时，由△ADE∽△AOB的性质得到AE=（4+2m），结合（1）可知BE=（3﹣m），由AE+BE=AB=5得到方程，解方程，可求得m的值．

（3）①0＜m＜2时，因为四边形ADEF是菱形，所以DF⊥AB，AE=2AG，由△AGD∽△AOB得到AE=（4﹣2m），由AE+BE=AB=5得到方程，解方程，可求得m的值．

②当m＜0时，由△AGD∽△AOB得到AE=（4+2m），由AE+BE=AB=5得到方程，解方程，可求得m的值．

【解答】解：（1）∵A（4，0），B（0，3）．

∴AB==5，

∵CE⊥AB，OB⊥OA，

∴∠CEB=∠AOB=90°，

∵∠CBE=∠ABO，

∴△CBE∽△ABO，

∴=，

∵AB=5，OB=3，BC=3﹣m，

∴=

∴BE=（3﹣m）；

故答案为5，（3﹣m）；

（2）当0＜m＜2时，点D在线段OA上，如图1，

当□DEFA为矩形时，则 ED⊥x轴．

∴△ADE∽△AOB，

∴=，

∴=，

∴AE=（4﹣2m），

∴BE=5﹣（4﹣2m），

有（1）可知BE=（3﹣m）；

∴5﹣（4﹣2m）=（3﹣m）

解得m=，

当m＜0时，如图2，

同理；AE=（4+2m），BE=（3﹣m），

∵AE+BE=AB=5，

∴（4+2m）+（3﹣m）=5

解得m=﹣；

（3）当0＜m＜2时，点D在线段OA上，如图3，

∵▱DEFA为菱形，

∴DF⊥AB，AE=2AG，

∴∠AGD=∠AOB=90°，

∵∠OAB=∠GAD，

∴△AGD∽△AOB，

∴=，即=，

∴AG=（4﹣2m），

∴AE=（4﹣2m），

∵BE=（3﹣m），

∴（4﹣2m）+（3﹣m）=5，

解得m=，

当m＜0时，如图2，

同理；AE=（4+2m），BE=（3﹣m），

∵AE+BE=AB=5，

∴（4+2m）+（3﹣m）=5．

解得m=﹣．

故存在m的值，使得▱DEFA为菱形，此时m的值为或﹣．

【点评】本题考查了勾股定理逆定理的简单运用，以及利用三角形相似的性质求线段长度的转化，学会分类讨论思想是解答本题的关键．