高2013级物理竞赛力学部分摸底考试题

(时间：120分钟)

1.(20分)质量足够大的长平板从时刻t=0开始在水平方向上自静止开始向右做匀加速运动，加速度为a。如图所示，在板的上方h高处有一静止的小球，在t=0时刻自由下落，而后与平板发生碰撞。设小球与平板接触时的动摩擦系数为μ=0.1，碰后小球反弹的高度等于h。将小球反弹离开平板时相对地面参考系的速度与水平面的夹角即为θ，试求tanθ和a的关系，并作出tanθ~a曲线。(解题时，小球可简化为一质点，空气阻力可忽略不计)

2.(25分)如图所示，一根长为3L的轻绳绕过定滑轮，一端拴在放于光滑水平地面上质量为M的物体A上；另一端拴在质量为m的物体B上，滑轮距离地面的高度为L。开始时，将B移至非常靠近滑轮的位置处，且滑轮与A之间的那段轻绳已被拉直。将B由静止释放，试求：B刚要接触地的瞬间绳子的张力(A、B均可视为质点，不计滑轮的质量及摩擦，A始终在水平地面上运动)。

3.(25分)有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞。以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔 T 拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H表示）的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离h的可能值。

4．（30分）一半径为R的圆环直立在地面上的P点，AP是垂直于环平面的直线，，一根细杆的一端用铰链铰接于A点，而杆身搁在圆环的B点上，过B点的半径OB与OP的夹角θ＝60˚，如图所示．为使杆能平衡在此位置，试求杆与环之间的最小摩擦系数．

高2013级物理竞赛力学部分摸底考试题答案

1.(20分)解析：小球下落时间为，与板碰前速度大小为。此时板的速度为。由于板质量足够大，且作用时间很短，故不考虑在此瞬间板速度的改变。对小球，竖直和水平运用动量定理有

                        ①

                ②

其中表示摩擦力作用时间和表示正压力作用时间。

情形I： =，联立①②可得

解得                ③

其中③式成立的条件是，代入两速度的表达式可解得a≥g/5.

此时。

情形II： <，联立①②可得并整理可得a又碰撞末时刻，水平方向速度相等(无相对运动)，，故

综合I、II两种情形：

当a当a≥g/5时，。

tanθ~a曲线如右图所示。

2.(25分)解：当B落地时，拉A的绳子与水平面夹角为θ，则sinθ=L/2L=0.5，解得θ=30°

B落地是AB的速度分别设为vA、vB，由机械能守恒定律有

                    ①

又   vB=vAcosθ                            ②

联立解得①②

                        ③

设A、B的加速度分别为aA和aB，由牛顿第二定律有

Tcosθ=MaA                        ④

mg-T=maB                        ⑤

由相连物体加速度的关系可得

aAcosθ=aAn+aB                    ⑥

其中                    ⑦

联立⑤⑥⑦可解得

                    ⑧

3.(25分)解：小球的运动轨迹如图所示。设小球做一次自由落体运动的时间为t，则小球返回原位置的周期为2t。设摄像机的位置高度为hA。

i)若摄像机相邻两次拍摄时，小球的运动方向相同(即都是向上或都是向下运动)，T和t有关系：

        T=n2t                    

或      t=T/2n     其中n=1,2,3,……             ① 

小球下落高度为Hn= （n=1,2,3,……）  ②

故hA的数值可取0和Hn之间的任意值，即

    0≤hA,n≤Hn      Hn=   （n=1,2,3,……）

ii)若摄像机相邻两次拍摄时，小球的运动方向相反，T和t有关系：

        T=n2t+t= (2n+1)t       其中n=0,1,2,3,……            

或      t=T/(2n+1)                         ③ 

小球下落高度为Hn= （n=0,1,2,3,……）④

小球从拍摄位置hA,n处上升到最高点后再返回到同一高度hA,n处所用时间应等于从该位置下落后返回同一高度处所用的时间，且都等于t，故有

      Hn-hA,n=

hA,n=H-= （n=0,1,2,3,……）