指数函数及其性质专题

一、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是R。

函数值的分布情况如下：

注意：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。（2）当时，函数的图象是下降的，即函数单调递减。的值越大，函数图象上部分越远离轴；当时，的值越大，函数图象上部分越靠近轴。

二、指数函数的图象变换

1、平移变换：函数内部相加减，函数图象左右移；函数外部相加减，函数图象上下移。

2、对称变换：关于轴、轴及原点对称的图象的变换；加绝对值的函数图象的变换。

三、指数函数性质的应用

（1）比较两个有理数指数幂的大小

底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，利用指数函数单调性来判断；

对底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断；

对底数不同、指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较；

对三个（或三个以上）数的大小比较，则应先根据值得大小进行分组，再比较各组数的大小。

（2）求复合函数的定义域与值域 

（3）判断复合函数的单调性：遵循“同增异减”的规律。

（4）研究函数的奇偶性：

一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性。

二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或轴对称，则函数具有奇偶性。

考查点1：有关指数型函数的定义域和值域问题

例1求下列函数的值域。

（1）；

（2）。

考查点2：指数函数单调性应用

一、利用单调性比较大小

例1  已知，则的大小关系是__________。

二、求复合函数的单调区间

例2  求下列函数的单调区间。

（1）；

（2）。

考查点3：有关指数函数图象的问题

一、有关指数函数的底数和指数函数图象的关系问题

例3  如图所示的是指数函数：

（1），（2），（3）；（4）的图象，则及1的大小关系是     （       ）

A、

B、

C、

D、

二、指数函数图象间的变换

例4 设 ，且

，则下列关系式中一定成立的是         （        ）

A、   D、

C、D、

考查点4：指数函数的综合应用题

例5已知函数在区间上的最大值为14，求的值。

例6 设是R上的偶函数。（1）求的值；（2）求证在上是增函数。

练习题：

1、函数，函数在R上 （   ）

A、单调递减且无最小值

B、单调递减且有最小值

C、单调递增且无最大值

D、单调递增且有最大值

2、设是实数，。

（1）求证：不论为何实数，均为增函数；（2）试确定的值，使成立。