陕西省渭南市2016届高考数学一模试卷 理(含解析)

一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥2}，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，1，2}    B．{1，2}    C．{﹣1，2}    D．{2}

2．复数z=1﹣i，则对应的点所在的象限为（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）

A．y=2x    B．y=    C．y=|x|    D．y=﹣x2+1

4．已知α是第二象限角，且sin（π﹣α）=，则sin2α的值为（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．﹣

5．以下说法错误的是（　　）

A．命题“若“x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”

B．“x=2”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件

C．若命题p：存在x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，则￢p：对任意x∈R，都有x2﹣x+1≥0

D．若p且q为假命题，则p，q均为假命题

6．在等差数列{an}中，a1+a5=16，则S5=（　　）

A．80    B．40    C．31    D．﹣31

7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．16+π    B．16+4π    C．8+π    D．8+4π

8．二项式（x+）6的展开式中，常数项为（　　）

A．    B．30    C．15    D．1

9．函数f（x）=lnx的零点所在的区间是（　　）

A．（1，2）    B．（1，e）    C．（e，3）    D．（e，+∞）

10．执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（　　）

A．6    B．5    C．4    D．3

11．若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（　　）

A．2    B．18    C．2或18    D．4或16

12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1x2（x3﹣1）（x4﹣1）的取值范围是（　　）

A．∅    B．（9，21）    C．（21，25）    D．（9，25）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲产品有18件，则样本容量n=　　　　　　．

14．已知若x，y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为　　　　　　．

15．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC，若=m+n（m，n∈R），则=　　　　　　

16．设a，b都是正数，且满足+=cosxdx，则使a+b＞c恒成立的实数c的取值范围是　　　　　　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．

18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=6，BE=3．

（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD

（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值．

19．一个盒子里装有6张卡片，其中红色卡片4张，编号分别为3，6，8，9；蓝色卡片2张，编号分别为6，8，从盒子中任取3张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．

（Ⅰ）求取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率；

（Ⅱ）记X为取到的卡片中红色卡片的张数，求X的分布列和数学期望．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为6．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线C相交于A，B两点，且以AB为直角的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=ax2﹣x+2ln（x+1）

（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；

（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，在⊙O直径AB的延长线上任取一点C，过点C做直线CE与⊙O交于点D、E，在⊙O上取一点F，使，连接DF，交AB于G．

（1）求证：E、D、G、O四点共圆；

（2）若CB=OB，求的值．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R．

（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

【选修4-5：不等式选讲】

24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣3}，求a的值．

2016年陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）

参与试题解析

一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥2}，则A∩B=（　　）

A．{﹣1，1，2}    B．{1，2}    C．{﹣1，2}    D．{2}

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．

【分析】找出A与B的交集即可．

【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥2}，

∴A∩B={2}．

故选：D．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．复数z=1﹣i，则对应的点所在的象限为（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【专题】探究型；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．

【分析】复数z=1﹣i，则=1+i，得到对应的点的坐标，则答案可求．

【解答】解：∵复数z=1﹣i，则=1+i，

∴对应的点的坐标为：（1，1），位于第一象限．

故选：A．

【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，是基础题．

3．下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）

A．y=2x    B．y=    C．y=|x|    D．y=﹣x2+1

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由奇函数和偶函数图象的对称性，根据y=2x和的图象便可判断出A，B错误，而由y=x的单调性便可判断选项C错误，对于D，由偶函数的定义便可判断该函数为偶函数，由该二次函数的图象便可判断出在（0，+∞）上单调递减，从而得出D正确．

【解答】解：A．根据y=2x的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；

B．根据的图象知该函数非奇非偶，∴该选项错误；

C．x∈（0，+∞）时，y=|x|=x为增函数；

即y=|x|在（0，+∞）上单调递增，∴该选项错误；

D．显然y=﹣x2+1为偶函数，根据其图象可看出该函数在（0，+∞）上单调递减，∴该选项正确．

故选：D．

【点评】考查奇函数和偶函数图象的对称性，清楚y=2x和的图象，一次函数的单调性，偶函数的定义，以及二次函数的单调性的判断．

4．已知α是第二象限角，且sin（π﹣α）=，则sin2α的值为（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．﹣

【考点】二倍角的正弦．

【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，根据二倍角公式即可求得sin2α的值．

【解答】解：∵α是第二象限角，且sin（π﹣α）=sinα=，

∴cosα=﹣=﹣．

∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．

故选：A．

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．

5．以下说法错误的是（　　）

A．命题“若“x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”

B．“x=2”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件

C．若命题p：存在x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，则￢p：对任意x∈R，都有x2﹣x+1≥0

D．若p且q为假命题，则p，q均为假命题

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】计算题；转化思想；简易逻辑．

【分析】A．利用逆否命题的定义即可判断出正误；

B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，即可判断出关系；

C．利用￢p的定义即可判断出；

D．由p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，即可判断出正误．

【解答】解：A．“若“x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；

B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=2”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要，正确；

C．命题p：存在x0∈R，使得x02﹣x0+1＜0，则￢p：对任意x∈R，都有x2﹣x+1≥0，正确；

D．由p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确．

故选：D．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

6．在等差数列{an}中，a1+a5=16，则S5=（　　）

A．80    B．40    C．31    D．﹣31

【考点】等差数列的前n项和．

【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．

【分析】利用等差数列通项公式求解．

【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1+a5=16，

∴S5==40．

故选：B．

【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A．16+π    B．16+4π    C．8+π    D．8+4π

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】数形结合；分割补形法；立体几何．

【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与长方体的组合体，结合图中数据求出它的体积．

【解答】解：根据几何体的三视图知，

该几何体是上部为圆柱，下部为长方体的组合体，

且圆柱体的直径为2，高为1；

长方体的长、宽、高分别为4、2、2；

所以该几何体的体积为

V=V圆柱体+V长方体

=π××1+4×2×2

=π+16．

故选：A．

【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目．

8．二项式（x+）6的展开式中，常数项为（　　）

A．    B．30    C．15    D．1

【考点】二项式系数的性质．

【专题】计算题；对应思想；定义法；二项式定理．

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，再求得常数项．

【解答】解：二项式（x+）6的展开式的通项公式为

Tr+1=•x6﹣r•（）r=•x6﹣3r，

令6﹣3r=0，求得r=2，

故展开式中的常数项为=15，

故选：C．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，是基础题目．

9．函数f（x）=lnx的零点所在的区间是（　　）

A．（1，2）    B．（1，e）    C．（e，3）    D．（e，+∞）

【考点】二分法求方程的近似解．

【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】由题意，函数f（x）=lnx在（0，+∞）上连续，计算f（e），f（3）即可．

【解答】解：函数f（x）=lnx在（0，+∞）上连续，

且f（e）=10，f（3）=ln3﹣1＞0，

故选C．

【点评】本题考查了零点的判定定理，属于基础题．

10．执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（　　）

A．6    B．5    C．4    D．3

【考点】程序框图．

【专题】计算题；对应思想；试验法；算法和程序框图．

【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S≥0.9时，不满足条件S＜P，退出循环，输出n的值．

【解答】解：执行如图所示的程序框图，有

P=0.9，n=1，S=0，

满足条件S＜P，有S=，n=2；

满足条件S＜P，有S=+，n=3；

满足条件S＜P，有S=++，n=4；

满足条件S＜P，有S=+++=，n=5；

不满足条件S＜P，退出循环，输出n的值为5．

故选：B．

【点评】本题考查了程序框图和算法的应用问题，是对基本知识的考查．

11．若抛物线y2=2px（p＞0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（　　）

A．2    B．18    C．2或18    D．4或16

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由抛物线上点P到的对称轴的距离6，设P的坐标为（x0，±6）．根据点P坐标适合抛物线方程及点P到焦点的距离为10，联列方程组，解之可得p与x0的值，从而得到本题的答案．

【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点到的对称轴的距离6，

∴设该点为P，则P的坐标为（x0，±6）

∵P到抛物线的焦点F（，0）的距离为10

∴由抛物线的定义，得x0+=10…（1）

∵点P是抛物线上的点，∴2px0=36…（2）

（1）（2）联解，得p=2，x0=2或p=18，x0=1

故选：C

【点评】本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离，求抛物线的焦参数p，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1x2（x3﹣1）（x4﹣1）的取值范围是（　　）

A．∅    B．（9，21）    C．（21，25）    D．（9，25）

【考点】分段函数的应用．

【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用．

【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，利用一元二次函数的性质进行求解即可．

【解答】解：当2≤x≤10，时，f（x）=sinx，

则函数的图象如图，

则0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜x4，且x3，x4，关于x=6对称，

∵f（x1）=f（x2），

∴﹣log2x1=log2x2，

∴log2x1x2=0，

∴x1x2=1，

∵f（x3）=f（x4），

∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10

∴x1x2（x3﹣1）（x4﹣1）=（x3﹣1）（x4﹣1）=x3x4﹣（x3+x4）+1=x3x4﹣11，

∵2＜x3＜4，8＜x4＜10，x3+x4=12，

∴x3=﹣x4+12，

则x3x4=（12﹣x4）x4=﹣（x4）2+12x4=﹣（x4﹣6）2+36，

∵8＜x4＜10，

∴20＜x3x4＜32

则9＜x3x4﹣11＜21，

故选：B．

【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，难度较大．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲产品有18件，则样本容量n=　90　．

【考点】分层抽样方法．

【专题】概率与统计．

【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．

【解答】解：由题意得，

解得n=90，

故答案为：90

【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．

14．已知若x，y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为　﹣　．

【考点】简单线性规划．

【专题】数形结合；综合法；不等式．

【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．

【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

，

由z=y﹣x得：y=x+z，

显然直线过A（﹣1，﹣1）时：z最小，

z的最小值是：﹣，

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．

15．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD=2DC，若=m+n（m，n∈R），则=　﹣3　

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．

【分析】根据向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算便可由得到，这便可得到m=，从而可以求出．

【解答】解：BD=2DC；

∴；

∴；

∴；

又；

∴；

∴．

故答案为：﹣3．

【点评】考查向量数乘、减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．

16．设a，b都是正数，且满足+=cosxdx，则使a+b＞c恒成立的实数c的取值范围是　（﹣∞，9）　．

【考点】定积分；基本不等式．

【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；不等式．

【分析】先根据定积分的计算得到+=1，由题知利用“1”的代换，以及基本不等式求解即可得到答案．

【解答】解：∵ cosxdx=sinx|=1，

∴+=1，

∵a，b均为正数，

∴a+b=（a+b）（+）=5++≥5+2=9．当且仅当a=3，b=6时取等号．

∴a+b＞c恒成立的实数c的取值范围是c＜9．

故答案为：（﹣∞，9）．

【点评】本题考查定积分的计算，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和Sn．

【考点】数列的求和；等比数列的性质；余弦定理．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．

（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出an=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和Sn．

【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2=bc，

∴=，

∴cosA=，

∵A∈（0，π），∴A=．

（Ⅱ）设{an}的公差为d，

∵a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，

∴a1==2，且=a2•a8，

∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，

∴an=2n，

∴==，

∴Sn=（1﹣）+（）+（）+…+（）

=1﹣=．

【点评】本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=6，BE=3．

（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD

（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．

【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，推导出四边形BEGA是平行四边形，从而四边形CDGE是平行四边形，进而CE∥DG，由此能证明CE∥平面PAD．

（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面PCE所成角的正弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，

∵PA∥BE，且PA=6，BE=3，∴BE∥AG，且BE=AG，

∴四边形BEGA是平行四边形，

∴EG∥AB，且EG=AB，

∵正方形ABCD，∴CD∥AB，CD=AB，

∴EG∥CD，且EG=CD，

∴四边形CDGE是平行四边形，∴CE∥DG，

∵DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，∴CE∥平面PAD．

解：（Ⅱ）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则C（6，6，0），E（6，0，3），P（0，0，6），D（0，6，0），

∴=（0，6，﹣6），=（6，6，﹣6），=（6，0，﹣3），

设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），

∴，取z=1，得=（1，1，2），

设PD与平面PCE所成有为α，

则sinα=|cos＜＞|===，

∴PD与平面PCE所成角的正弦值为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

19．一个盒子里装有6张卡片，其中红色卡片4张，编号分别为3，6，8，9；蓝色卡片2张，编号分别为6，8，从盒子中任取3张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．

（Ⅰ）求取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率；

（Ⅱ）记X为取到的卡片中红色卡片的张数，求X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）取出的3张卡片中，利用互斥事件概率计算公式能求出含有编号为6的卡片的概率．

（Ⅱ）由题意取到红色卡片的张数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

【解答】解：（Ⅰ）取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率：

p==．

（Ⅱ）由题意取到红色卡片的张数X的可能取值为1，2，3，

P（X=1）==，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

∴X的分布列为：

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为6．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线C相交于A，B两点，且以AB为直角的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．

【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率及短轴长列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．

（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其方程为y=x+m，与椭圆联立，得3x2+4mx+2m2﹣18=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直径性质，结合已知条件能求出符合题意的直线l存在，且方程为y=x+2或y=x﹣2．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且短轴长为6，

∴，解得，

∴椭圆的标准方程为=1．

（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其方程为y=x+m，

由，消去y，化简得3x2+4mx+2m2﹣18=0，

∵直线l与椭圆交于A、B两点，∴△=16m2﹣12（2m2﹣18）＞0，

化简，得m2＜27，

∴，，

∵以线段AB为直径的圆恰到恰好经过原点，

∴=0，∴x1x2+y1y2=0，

又y1y2=（x1+m）（x2+m）=，

=，

解得m2=12，满足m2＜27，

∴m=2或m=﹣2，

故符合题意的直线l存在，且方程为y=x+2或y=x﹣2．

【点评】本题考查直线方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆及圆的性质的合理运用．

21．已知函数f（x）=ax2﹣x+2ln（x+1）

（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；

（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】计算题；综合题；综合法；导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出．

（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），h（x）≤x恒成立，则f（x）﹣g（x）≤0恒成立，g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0，分类讨论后，综合讨论结果可得实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）f（0）=0，所以切点为（0，0），

∵f′（x）=2ax﹣+，

∴f′（0）=﹣+2=，

∴所求切线方程为y=x，

（Ⅱ）由题设，当x∈[0，+∞）时，不等式ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，

设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，

由g′（x）=2ax+﹣1=，

（1）当a=0时，g′（x）=﹣，

当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，

故g（x）max=g（0）=0，满足条件，

（2）当a＞0时，令g′（x）==0，解得x=﹣1，

①若﹣1≤0，即a≥，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，

则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥0，当且仅当x=0时等号成立，此时不满足条件，

②若﹣1＞0，即0＜a＜时，函数g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，

g（）=lg（1+）＞0，此时不满足条件，

（3）当a＜0时，由g′（x）=，

∴2ax+（2a﹣1）＜1，

∴g′（x）＜0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，

故g（x）max=g（0）=0，满足条件，

综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，0]

【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数最值，利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导数符号与原函数单调性的关系，是解答的关键．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，在⊙O直径AB的延长线上任取一点C，过点C做直线CE与⊙O交于点D、E，在⊙O上取一点F，使，连接DF，交AB于G．

（1）求证：E、D、G、O四点共圆；

（2）若CB=OB，求的值．

【考点】与圆有关的比例线段．

【专题】选作题；推理和证明．

【分析】（1）证明∠EDF=∠AOE，利用∠COE与∠AOE互补，可得∠COE与∠EDF互补，从而可得E、D、G、O四点共圆；

（2）利用四点共圆，结合割线定理，即可求的值．

【解答】（1）证明：∵∠EDF的度数等于的度数的一半，而，

∴∠EDF的度数等于的度数．

∵∠AOF的度数等于的度数，

∴∠EDF=∠AOE，

∵∠COE与∠AOE互补，

∴∠COE与∠EDF互补，

∴E、D、G、O四点共圆；

（2）解：由（Ⅰ）知E、D、G、O四点共圆，

∴CE•CD=CO•CG，

∵CE•CD=CA•CB，

∴CA•CB=CO•CG，

∵CB=OB，

∴==．

【点评】本题考查圆內接多边形的性质与判定，考查割线定理，确定四点共圆是关键．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R．

（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．

【考点】简单曲线的极坐标方程．

【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．

【分析】（Ⅰ）设点P（x，y），由点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R，能求出点P的轨迹的直角坐标方程．

（Ⅱ）求出直线l的直角坐标方程为，由P的轨迹是圆心为（0，2），半径为2的圆，求出圆心到直线的距离，从而能求出点P到直线的距离的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），

∵点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R，

∴，且参数a∈R，

∴点P的轨迹的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．

（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为：ρ=，∴，

∴，

∴，

∴直线l的直角坐标方程为，

由（1）知点P的轨迹是圆心为（0，2），半径为2的圆，

∴圆心到直线的距离d==4，

∴点P到直线的距离的最大值为4+2=6．

【点评】本题考查点的轨迹的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．

【选修4-5：不等式选讲】

24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣3}，求a的值．

【考点】绝对值不等式的解法．

【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用．

【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．

（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．

【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为

|x﹣1|≥2．

由此可得x≥3或x≤﹣1．

故不等式f（x）≥3x+2的解集为：

{x|x≥3或x≤﹣1}．

（Ⅱ）由f（x）≤0得：

|x﹣a|+3x≤0，

此不等式化为不等式组或，

即或，

因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，

由题设可得﹣=﹣3，故a=6．

【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．