习题(第5章)

5-2 如题图所示，一半径为a的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B中以等角速度旋转，其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。这一装置称为法拉第发电机。试证明两电刷之间的电压为。

证明：，选圆柱坐标，

其中    

证毕 

5-4  一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为、，长度，极板间介质的介电常数为，极板间接交流电源，电压为。求时极板间任意点的位移电流密度。

解法一：因电源频率较低，为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为，外导体电荷为，因此有

所以                ，     

当时

解法二：用边值问题求解，即

    由圆柱坐标系有    (1)

解式(1)得         

由边界条件得：       

所以       

当时   

5-5由圆形极板构成的平板电容器见题5-5图所示，其中损耗介质的电导率为、介电系数为、磁导率为，外接直流电源并忽略连接线的电阻。试求损耗介质中的电场强度、磁场强度和坡印廷矢量，并根据坡印廷矢量求出平板电容器所消耗的功率。

解：由于电容器两端的电压为直流电压，因此没有位移电流，只有漏电流。     

由    知  ,为均匀电场。

任意一点的电流密度： 

电流均匀分布且垂直于极板。 

磁场强度有安培环路定律得到： 

所以坡印亭矢量为： 

进入电容器的总功率，即电容器消耗的功率为：

5-8在一个圆形平行平板电容器的极间加上低频电压，设极间距离为d，极间绝缘材料的介电常数为，试求极板间的磁场强度。

解：采用圆柱坐标系

极板间的电场为： 

所以，   

由全电流定律（此时传导电流为零）有：    

所以：    

5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为，电导率为。分别求频率、以及时位移电流密度和传导电流密度的比值。

解：传导电流和位移电流分别由以下公式计算

  ，            

所以传导电流和位移电流的幅值比为：

分别将三种频率代入式(1)中得：

5-11题图所示的一对平行长线中有电流。求矩形线框中的感应电动势。

解：在圆柱坐标中，由无限长直导线产生的磁感应强度为

现设右边一条电流为i1， i1的方向为参考方向，其产生的磁感应强度为

在矩形框产生的磁通

左边一条电流设为i2，

则       

在矩形框产生的磁通

矩形框的总磁通    

所以      

5-13 真空中磁场强度的表达式为，求空间的位移电流密度和电场强度。

解：由           得

   又由：，

所以  

   所以           

5-14 已知在某一理想介质中的位移电流密度为，介质的介电常数为，磁导率为。求介质中的电场强度和磁场强度。

 解： 由得

  ，    

  又由可得

 所以：  

5-16 半径为，厚度为、电导率为的导体圆盘，盘面与均匀正弦磁场正交，如题5-16图所示。已知，忽略圆盘中感应电流对均匀磁场的影响，试求：（1）圆盘中的涡流电流密度；（2）涡流损耗。

解：选圆柱坐标

            电场相量

 所以     电流密度相量

功率密度       

5-17 由圆形极板构成的平行板电容器，间距为d，其间的均匀介质，电导率为，介电常数为，磁导率为，当外加电压为V时，忽略电容器的边缘效应。试求电容器中任意点的位移电流和磁感应强度（假设变化的磁场产生的电场远小于外加电压产生的电场）。

解：                              （1）

                        （2）

方向 ：E和J的方向相同，从高电压方向指向低压方向。由全电流定律：

5-18 已知大地的电导率，相对介电常数，试问可把大地视为良导体的最高工作频率是多少？

解：由题意知满足磁准态场的条件：由时，大地可视为良导体，在工程中可以认为取两个数量级时，可认为满足远远小于条件，即：

所以：     Hz 

5-19 （1）长直螺线管中载有随时间变化相当慢的电流。先用安培环路定律求半径为a的线圈内产生的磁准静态场的磁感应强度，然后利用法拉第定律求线圈里面和外面的感应电场强度；

（2）试论证上述磁准静态场的解只有在的静态极限情况下，才精确地满足麦克斯韦方程组。

解：（1）对于长直螺线管，在均匀密绕的条件下，磁场方向与电流方向成右手螺旋关系，为

           ①

其中，N是每单位长度上的线圈的匝数。

由于磁场分布具有轴对称性，因而它感应出的电场也具有这一性质，其方向与磁场成右螺旋。取半径为的同心圆周为积分路径，应用法拉第定律，可求得沿方向的磁场产生的电场为      

          ②

所以有：

                ③

（2）将①式和③式代入麦克斯韦第一方程中

左边   

             ④

右边                  ⑤

很明显，式④和式⑤不相等，但是当时＝0，精确满足麦可斯韦方程组。

5-20 同题5-17，假如圆形极板的面积是A，在频率不很高时，用坡印廷定理证明电容器内由于介质的损耗所吸收的平均功率是，式中R是极板间介质的漏电阻。

与5-5题方法相同。

5-22 一块金属在均匀恒定磁场中平移，金属中是否会有涡流？若金属块在均匀恒定磁场中旋转，金属中是否会有涡流？

答：平移时没有，旋转时有。

5-23当有Hz和两种频率的信号，同时通过厚度为1的铜板时，试问在铜板的另一侧能接收到那些频率的信号

解：由于透入深度公式

    （1）

分别把两种信号代入（1）式得：， 

所以，只有第一种信号可以通过，即在另外一侧只能接收到第一种信号。

5-24某高灵敏度仪器必须高度地屏蔽外界电磁场，使外界磁场强度降低到0.01A/m。但根据实测结果，该处可能受到的最大干扰磁场强度达12A/m。试计算用铝板屏蔽以及的铁板所需的厚度（，）。

解：最大干扰磁场的频率可以认为工频，f =50Hz，这样，铝板和铁板的衰减常数分别为：

设铝板中的磁场从表面处的H=12A/m经厚度为后衰减到0.01A/m，则有：

，所以，得： =8.45 cm

同理，可得： =3.92  mm