机械设计基础(第10章： 轮系)

前面我们己经讨论了一对齿轮传动及蜗杆传动的应用和设计问题，然而实际的现代机械传动，运动形式往往很复杂。由于主动轴与从动轴的距离较远，或要求较大传动比，或要求在传动过程中实现变速和变向等原因，仅用一对齿轮传动或蜗杆传动往往是不够的, 而是需要采用一系列相互啮合的齿轮组成的传动系统将主动轴的运动传给从动轴。这种由一系列相互啮合的齿轮(包括蜗杆、蜗轮)组成的传动系统称为齿轮系，简称轮系。本章重点讨论各种类型齿轮系传动比的计算方法，并简要分析各齿轮系的功能和应用。

10.1 轮系的分类

组成轮系的齿轮可以是圆柱齿轮、圆锥齿轮或蜗杆蜗轮。如果全部齿轮的轴线都互相平行，这样的轮系称为平面轮系；如果轮系中各轮的轴线并不都是相互平行的，则称为空间轮系。再者，通常根据轮系运动时各个齿轮的轴线在空间的位置是否都是固定的，而将轮系分为两大类：定轴轮系和周转轮系。

10.1.1定轴轮系

在传动时所有齿轮的回转轴线固定不变的轮系，称为定轴轮系。定轴轮系是最基本的轮系，应用很广。

由轴线互相平行的圆柱齿轮组成的定轴齿轮系，称为平面定轴轮系，如图10.1所示。

a)　　　　　　　　　　　　　　　　　　       b)

图10.1  平面定轴齿轮系

包含有圆锥齿轮、螺旋齿轮、蜗杆蜗轮等空间齿轮的定轴轮系，称为空间定轴轮系，如图10.2所示。

图10.2   空间定轴轮系

10.1.2 周转轮系

轮系在运动过程中，若有一个或一个以上的齿轮除绕自身轴线自转外，其轴线又绕另一个齿轮的固定轴线转动，则称为周转轮系，也叫动轴轮系。如图10.3所示。

a) 周转轮系结构图　　　　　   b)差动轮系                      c)行星轮系

图10.3周转轮系

其中齿轮2的轴线不固定，它一方面绕着自身的几何轴线O2旋转，同时O2轴线，又随构件H绕轴线OH公转。分析周转轮系的结构组成，可知它由下列几种构件所组成：

1.行星轮：当轮系运转时，一方面绕着自己的轴线回转(称自转)，另一方面其轴线又绕着另一齿轮的固定轴线回转(称公转)的齿轮称行星轮，如图10.3中的齿轮2。

2.行星架：轮系中用以支承行星轮并使行星轮得到公转的构件．如图10.3中的构件H，该构件又称系杆或转臂。

3.中心轮:：轮系中与行星轮相啮合，且绕固定轴线转动的齿轮，如图10.3的齿轮1、3。中心轮又称太阳轮。

周转轮系中，由于一般都以中心轮和系杆作为运动的输入和输出构件，并且它们的轴线重合且相对机架位置固定不动。因此常称它们为周转轮系的基本构件。基本构件是围绕着同一固定轴线回转并承受外力矩的构件．由上所述可见，一个周转轮系必定具有一个系杆，具有一个或几个行星轮，以及与行星轮相啮合的太阳轮。

周转轮系还可根据其所具有的自由度的数目作进一步的划分。若周转轮系的自由度为2，如图10.3b所示的轮系，则称其为差动轮系。为了确定这种轮系的运动，需要给定两个构件以的运动规律。凡是自由度为1的周转轮系．称为行星轮系．如图10.3c所示。这种轮系中，两个中心轮1、3中有一个固定不动(图中为3轮不动)，则差动轮系就变成了行星轮系。为确定行星轮系的运动，只需给定一个原动件就可以了。

周转轮系也可分为平面周转轮系和空间周转轮系两类。

10.1.3 混合轮系

凡是轮系中既有周转轮系部分，又有定轴轮系部分，或有两个以上周转轮系组成时，称为混合轮系．如图10.4a所示，既包含有定轴轮系部分又包含有周转轮系部分；而图10.4b所示就是由两部分周转轮系所组成。混合轮系必须包含有周转轮系部分。

a）定轴轮系与行星轮系组合                     　　 b)两个行星轮系组合                                     

图10.4混合轮系

10.2 定轴轮系传动比计算

轮系传动比即轮系中首轮与末轮角速度或转速之比。迸行轮系传动比计算时除计算传动比大小外，一般还要确定首、末轮转向关系。

10.2.1一对齿轮传动的传动比计算及主、从动轮转向关系如图10.5所示

　　　 a) 平面外齿轮传动                         b) 平面内齿轮传动                

　　       c) 园锥齿轮传动　　　　　　　　　　　　　   d) 蜗杆传动

图10.5一对齿轮传动的主、从动轮转向关系

1.传动比大小

无论是圆柱齿轮、圆锥齿轮、蜗杆蜗轮传动，传动比均可用下式表示;

　，式中， I为主动轮， 2为从动轮。

2.主、从动轮之间的转向关系

1)画箭头法

各种类型齿轮传动，主从动轮的转向关系均可用标注箭头的方法确定。约定：箭头的指向与齿轮外缘最前方点的线速度方向一致。

(1)　圆柱齿轮传动：外啮合圆柱齿轮传动时，主从动轮转向相反，故表示其转向的箭头方向要么相向要么相背，如图10.5 a所示； 内啮合圆柱齿轮传动时，主从动轮转向相同，故表示其转向的箭头方向相同，如图10.5 b所示。

 (2)　圆锥齿轮传动：圆锥齿轮传动时，与圆柱齿轮传动相似，箭头应同时指向啮合点或背离啮合点，如图10.5 c所示。

 (3)　蜗杆传动：蜗杆与蜗轮之间转向关系按左(右)手定则确定，如图10.5d 所示，同样可用画箭头法表示。

2)“±”方法

对于平行轴圆柱齿轮传动，从动轮与主动轮的转向关系可直接在传动比公式中表示即:

＝

其中“+”号表示主从动轮转向相同，用于内啮合;“一”号表示主从动轮转向相反，用于外啮合；对于圆锥齿轮传动和蜗杆传动，由于主从动轮运动不在同一平面内，因此不能用“±”号法确定，只能用画箭头法确定。

10.2.2平面定轴轮系传动比的计算

如图10.6所示，圆柱齿轮1，2，2’，3，3’，4，5组成平面定轴轮系，各齿轮轴线互相平行。设各齿轮的齿数Z1，Z2，Z2’，Z3，Z3’，Z4，Z5均为已知，齿轮1为主动轮，齿轮5为执行从动轮。试求该轮系的传动比i15。

图10.6

各对齿轮传动比为

，，， 

将以上各式左右两边按顺序连乘后，可得：

考虑到，，于是可得

所以

上式表明平面定轴轮系中主动轮与执行从动轮的传动比为各对齿轮传动比的连乘积，其值也等于各对齿轮从动轮齿数的乘积与各对齿轮主动轮齿数的乘积之比。上式中计算结果的负号，表明齿轮5与齿轮1的转向相反。.

轮系传动比的正负号也可以用画箭头的方法来确定，如图10.6中所示。判断的结果也是从动轮1与主动轮5的转向相反。

在上面的推导中，公式右边分子、分母中的z4互相消去，表明齿轮4的齿数不影响传动比的大小。如图10.7所示的定轴轮系中，运动由齿轮1经齿轮2传给齿轮3。总的传动比为:

i13 ===

可以看出齿轮2既是第一对齿轮的从动轮，又是第二对齿轮的主动轮，对传动比大小没有影响，但使齿轮1和齿轮3的旋向相同。这种在轮系中起中间过渡作用，不改变传动比大小，只改变从动轮转向也即传动比的正负号的齿轮称为惰轮。

图10.7惰轮的应用

由以上所述可知，一般平面定轴轮系的主动轮１与执行从动轮m的传动比应为

　（10-1）

式中k表示轮系中外啮合齿轮的对数。当k为奇数时传动比为负，表示首末轮转向相反，;当k为偶数时传动比为正，表示首末轮转向相同。

这里首末轮的相对转向判断，还可以用画箭头的方法来确定。如图10.1b中所示，若已知首轮1的转向，可用标注箭头的方法来确定其他齿轮的转向。

例10-1如图10.1b所示定轴轮系，已知z1=20， z2=30， z’2=20， z3=60, z'3=20,z 4=20, z5=30, nl=100r/min。首轮逆时针方向转动。求末轮的转速和转向。

解:根据定轴轮系传动比公式，并考虑1到5间有3对外啮合，故

i15===－=－6.75

末轮5的转速n5===－14.8(r/min)

负号表示末轮5的转向与首轮1相反，顺时针转动。

10.2.3空间定轴轮系传动比的计算

空间定轴轮系中除了有圆柱齿轮之外，还有圆锥齿轮、螺旋齿轮、蜗杆蜗轮等空间齿轮。它的传动比的大小仍可用式(10-1)计算。但在轴线不平行的两传动齿轮的传动比前加上“十”号或“一”号已没有实际意义，所以轮系中每根轴的回转方向应通过画箭头来决定，而不能用(一1)k决定。如图10.2所示的轮系，两轴传动比i16的大小仍然用所有从动轮齿数的连乘积和所有主动轮齿数的连乘积的比来表示，各轮的转向如图中箭头所示。

例10-2 如图10.8所示的轮系中，已知双头右旋蜗杆的转速n＝900r／min，转向如图

所示，z2＝60，z2/＝25，z3＝20，z3/＝25，z4＝20。求n4的大小与方向。

图10.8

   解：由图可知，本题属空间定轴轮系，且输出轴和输入轴不平行。故运动方向只能用画箭头的方式来表示。由定轴轮系公式（10-1），得：

输出轴4的运动方向如图所示。

10.3 周转轮系的传动比计算

周转轮系中，由于行星轮既作自转又作公转，而不是绕定轴的简单转动，所以周转轮系的传动比不能直接用定轴轮系的公式计算。周转轮系的传动比计算普遍采用“转化机构”法。这种方法的基本思想是：设想将周转轮系转化成一假想的定轴轮系，借用定轴轮系的传动比计算公式来求解周转轮系中有关构件的转速及传动比。

如图10.9a所示，该平面周转轮系中齿轮1、2、3、系杆H的转速分别为n1、n2、n3、nH。在前面连杆机构和凸轮机构中，我们曾根据相对运动原理，对它们的转化机构进行运动分析和设计。根据同一原理，假设对整个周转轮系加上一个与行星架H的转速nH大小相等、方向相反的公共转速“－nH”。则各构件间相对运动不变，但这时系杆的转速变为nH＋（－nH）＝0，即系杆变为静止不动，这样，周转轮系便转化为定轴轮系，如图10.9b所示。这个转化而得的假想定轴轮系，称为原周转轮系的转化机构。

 a) 周转轮系　　　　　　　　　　　　　　　b)转化轮系

图10.9周转轮系及其转化轮系

当对整个周转轮系加上“－nH”后，与原轮系比较，在转化机构中任意两构件间的相对运动不变，但绝对运动则不同。转化轮系中各构件的转速分别用n1H、n２H、n３H、nHH表示，各构件转化前后的转速如表10.1所示。.

表10.1

上式虽然求出的是转化轮系的传动比，但它却给出了周转轮系中各构件的绝对转速与各轮齿数之间的数量关系。由于齿数是已知的，故在n１、n３、nH三个参数中，若已知任意两个，就可确定第三个，从而构件1、3之间和1、H之间的传动比i13= nl/n3和ilH=n1/nH便也完全确定了。因此，借助于转化轮系传动比的计算式，求出各构件绝对转速之间的关系，是行星轮系传动比计算的关键步骤，这也是处理问题的一种思路。

推广到一般情况。设周转轮系中任意两齿轮G和K的角速度为nG、nK，行星架的转速为nH，则两轮在转化机构中的传动比为：

　（10-2）

其中，设G为首轮， K为末轮，中间各轮的主从地位按这一假定去判别。转化轮系中齿轮G、K的相对转向的判断，可将H视为静止，然后用画箭头的方法判定。转向相同时，齿数比前取“十”号，转向相反时，齿数比前取“一”号。j

应用式（10-2）要注意以下几点:：

(1)所选择的两个齿轮G、K及系杆H的回转轴线必须是互相平行的，这样，两轴的转速差才能用代数差表示。

(2)将nG、nK、nH的已知值代入公式时，必须将表示其转向的正负号带上。若假定其中一个已知转速的转向为正以后，则其他转速的转向与其同向时取正，与其反向时取负。

(3)≠。为假想的转化轮系中齿轮G与齿轮K的转速之比，而则是周转轮系中齿轮G与齿轮K的转速nG与nK之比，其大小与方向由计算结果确定。

(4)　 式中齿数比前的“±”由转化轮系中G、K两轮的转向关系来确定，“±”若判断错误将严重影响到计算结果的正确性。

对于平面周转轮系，各齿轮及系杆的回转轴线都互相平行。因此在应用公式（10-2）时，齿数比前的“±”可以用来代替，k为外啮合齿轮的对数。k为奇数时，齿数比前取“一”号；k为偶数时，齿数比前取“十”号。

.

例10-３ 如图10.10所示的轮系是一种具有双联行星轮的行星减速器的机构简图，中心轮b是固定的，运动由系杆H输入，中心轮a输出。已知各轮齿数za＝5l，zg＝49，zb＝46，zf＝44。试求传动比iHa。  

图10-10

解：由机构反转法，在转化轮系中，从轮a至轮b的传动比为：

注意到ωb=0，即有：

故　

例10-4在图10.11所示差动齿轮系中，已知齿数z1=60、z2=40、z3= z4=20、若n1=n4=120r/min，且nl与n4转向相反，求iH1。

图10.11差动齿轮系

解:该齿轮系中齿轮2、3为行星轮，齿轮1、4为太阳轮， H为行星架。

=+

等式右端的正号，是在转化齿轮系中用画箭头的方法确定的。设nl的转向为正，则n4的转向为负，代入已知数据

=+

解得: nH=600r/mio计算结果为正，nH与nl转向相同

iH1= ==5

10.4复合轮系的传动比计算

由予复合轮系既不能转化成单一的定轴轮系，又不能转化成单一的动轴轮系，所以不能用一个公式来求其传动比。必须首先分清各个单一的动轴轮系和定轴轮系，然后分别列出计算这些轮系传动比的方程式，最后再联立求出复合轮系的传动比。

1)　区分复合轮系中的动轴轮系部分和定轴轮系部分。在复合轮系中鉴别出单一的动轴轮系是解决问题的关键。一般的方法是:首先在复合轮系中找到行星轮，再找到支持行星轮的构件即行星架H，以及与行星轮相啮合的太阳轮。于是，行星轮、行星架和太阳轮就组成一个单一的动轴轮系。若再有动轴轮系

也照此法确定，最后剩下的轮系部分即为定轴轮系。这样就把整个轮系划分为几个单一的动轴轮系和定轴轮系。

2)　分别列出轮系中各部分的传动比计算公式，代入已知数据。

3)　根据复合轮系中各部分轮系之间的运动联系进行联立求解，可求出复合轮系的传动比。

例10-5 如图10.12所示的轮系中, 已知各轮齿数为：z1=z2=24，z3=72，z4=，z5=95，z6=24，z7=30。试求轴A与轴B之间的传动比iAB。

图10.12

解：（1）分析轮系的组成：首先找周转轮系，可看出齿轮2、2’为行星轮，行星架为系杆H,故齿轮1、2、3和系杆组成了一个周转轮系（齿轮2’此处为虚约束，可不予考虑）；其余四个齿轮4、5、6和7构成了一个定轴轮系。因此此轮系为定轴轮系和周转轮系组成的混合轮系。

（2）对于由齿轮1、2、3和系杆H组成的周转轮系，其传动比为：

对于由轮4、5、6和7所组成的定轴轮系：

由轮系结构特点，可知：

，，， 

由以上各式，消去相应未知量，可得：

， 

故：， 

将以上两式带入周转轮系传动比，得：

整理后，得：

轴A与轴B转向相同。

例10-6图10.13所示为滚齿机的差动机构。设已知齿轮a、g、b的齿数za=zb =zg=30，蜗杆1为单头(z1=1)右旋，蜗轮2的齿数z2=30，当齿轮a的转速(分齿运动)na=100r/min，蜗杆转速(附加运动)nl = 2r/min时，试求齿轮b的转速。

　　　　　　　　　　　　　   图10.13　滚齿机差动机构

解：（1）分析轮系的组成：　如图所示，当滚齿机滚切斜齿轮时，滚刀和工件之间除了分齿运动之外，还应加人一个附加转动。圆锥齿轮g（两个齿轮g的运动完全相同，分析该差动机构时只考虑其中一个)除绕自己的轴线转动外，同时又绕轴线Ob转动，故齿轮g为行星轮，H为行星架，齿轮a、b为太阳轮，所以构件a、g、b及H组成一个差动轮系。蜗杆1和蜗轮2的几何轴线是不动的，所以它们组成定轴轮系。

在该差动轮系中，齿轮a和行星架H是主动件，而齿轮b是从动件，表示这个差动轮系将转速na.、nH(由于蜗轮2带动行星架H，故nH=n2)合成为一个转速nb。

(2) 由蜗杆传动得

nH =n2 =n1 =×2 =r/min(转向如图所示)

又由差动轮系a、g、b、H得

=

=    ==－1

nb=－2n－na=(－2×－100) r/min≈－100.13r/min

因在转化机构中齿轮a和b转向相反，故上式zb/za之前加上负号，又因na和nH(即n2)转向相反，故na用正号、nH用负号代入上式。上式计算结果为负号，表示齿轮b的实际转向与齿轮a的转向相反。

10.5轮系的应用

在机械中，轮系的应用十分广泛，主要有以下几个方面。

一、实现变速传动

在主动轴转速不变时，利用轮系可以获得多种转速。如汽车、机床等机械中大量运用这种变速传动。

图10.14为某汽车变速器的传动示意图，输入轴1与发动机相连，n1= 2000r/min，输出轴Ⅳ与传动轴相连，Ⅰ、Ⅳ轴之间采用了定轴轮系。当操纵杆变换档位，分别移动轴Ⅳ上与内齿圈B相固联的齿轮4或齿轮6，使其处于啮合状态时，便可获得四种输出转速，以适应汽车行驶条件的变化。

第1档，A一B接合，i14=1,n4=nl =2000r/min，汽车以最高速行驶;

第2档，A一B分离，齿轮1-2、3-4啮合，i14=＋1. 636,　n4=1222. 5r/min，汽车以中速行驶;

第3档，A一B分离，齿轮1-2、5-6啮合，i14＝3. 24，n4= 617. 3 r/min，汽车以低速行驶;

第4档，A一B分离，齿轮1-2、7-8-6啮合，i14=－4. 05, n4= －493. 8 r/min，这里惰轮起换向作用，使本档成为倒档，汽车以最低速倒车。

图10.14汽车变速器传动简图

二、实现分路传动

利用轮系可以使一根主动轴带动若干根从动轴同时转动，获得所需的各种转速。例如图10.15所示的钟表传动示意图中，由发条盘驱动齿轮1转动时，通过齿轮1与齿轮2的啮合可使分针M转动;同时由齿轮1、2、3、4、5、6组成的轮系可使秒针S获得一种转速; 由齿轮1、2、9、10、11、12组成的轮系可使时针H获得另一种转速。按传动比的计算，如适当选择各轮的齿数，便可得到时针、分针、秒针之间所需的走时关系。

图10.15机械式钟表机构。

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10.5.1 实现大传动比传动

如图10.16a所示，当两轴之间需要较大的传动比时，如果仅用一对齿轮传动，必然使两轮的尺寸相差很大。这样不仅使传动机构的外廓尺寸庞大，而且小齿轮也较易损坏。所以一对齿轮的传动比一般不大于5~7。因此，当两轴间需要较大的传动比时，就往往采用轮系来满足(如图10.16b)。

图10.16

特别是采用行星轮系，可以在使用很少的齿轮并且结构也很紧凑的条件下，得到很大的传动比，图10.17所示的轮系即是一个很好的例子。图中z1=100，z2=101，z2 /=100，z3=99时，其传动比可达10000。具体计算如下：

带入已知数据，得：

故

应当指出，这种类型的行星齿轮传动，用于减速时。减速比越大，其机械效率越低，因此它一般只适用于作辅助装置的传动机构，不宜传递大功率。如将它用作增速传动，则可能发生自锁。

图10-12 大传动比行星轮系

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10.5.2 运动的合成与分解

运动的合成是将两个输入运动合为一个输出运动；分解是将一个输入运动分为两个输出运动。利用差动轮系可以实现运动的分解与合成。

图10.18是汽车后桥的差速器。为避免汽车转弯时后轴两车轮转速差过大造成的轮胎磨损严重，特将后轴做成两段，并分别与两车轮固连，而中间用差速器相连。发动机经传动轴驱动齿轮5，而轮5与活套在后轴上的轮4为一定轴轮系。齿轮2活套在轮4侧面突出部分的小轴上，它与两车轮固连的中心轮1、3和系杆(轮4)构成一差动轮系。由此可知，该差速器为一由定轴轮系和差动轮系串联而成的混合轮系。下面计算两车轮的转速。

因z1=z3，nH=n4，则：

                                             （a）

由此式可知，这种轮系可用作加(减)法机构。如果由齿轮1及齿轮3的轴分别输入被加数和加数的相应转角时。行星架转角之两倍就是它们的和。这种合成作用在机床、计算机构和补偿装置中得到广泛的应用。

同时该差速器可使发动机传到齿轮5的运动，以不同的转速分别传递给左右两车轮。

当汽车左转弯时，设P是瞬时转动中心，这时右轮要比左轮转得快。因为两轮直径相等，而它们与地面之间又不能打滑，要求为纯滚动，因此两轮的转速与转弯半径成正比，即

                                                   (b)

式中R1、R3为左、右两后轮转弯时的曲率半径。由(b)式可知，汽车两后轮的速比关系是一定的，取决于转弯半径。这一约束条件相当于把差动轮系的两个中心轮给封闭了，而使两轮得到确定的运动。

(a)、(b)两式联立，得：

这样，由发动机传入的一个运动就分解为两车轮的两个运动。

图10.18

本章小结

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本章主要介绍轮系的功用、工作原理及其分类，重点讲述定轴轮系、行星轮系及组合轮系传动比的计算方法，并通过实例说明各种轮系的计算方法和注意要点，最后举出了轮系在实际工程中的应用情况。.

习题与思考题

10-1 轮系传动比带正负号表示什么意义?是不是一定要带正负号，为什么？

10-2 计算周转轮系传动比时，为什么要引出转化机构？

10-3 计算复合轮系传动比时，为什么首先要划分出周转轮系？

11-4是行星齿轮系中G、K两轮间的传动比吗?为负值，是否说明G、K两轮的转向相反?

10-5 复合轮系中可不可以没有定轴轮系，可不可以没有周转轮系？

10-6 某外圆磨床的进给机构如图所示。已知各轮的齿数为: = 28, =56, = 38, =57，手轮与齿轮1相固联，横向丝杠与齿轮4相固联，其丝杠螺距为3mm。试求当手轮转动1/10转时，砂轮架的横向进给量s。

　　　　　　　　　.

题10-6图

10-7图示为钟表指针机构，S、M、H分别为秒、分、时针。已知各轮的齿数=50, =8, =,  =28, =42, =，试求和。

题10-7图

10-8 图所示为一手摇提升装置，其中各轮齿数均为已知，试求传动比i15，并指出当提升重物时手柄的转向。

题10-8图

10-9在图示轮系中，已知各轮齿数为z1=16, z2 =24, z3 =，轮1和轮3的转速为: nl =l r/min, n3 =4 r/min，转向如图，求nH和i1H。

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题10-9图

10-10　在图示差动轮系中，各轮的齿数为z1=20，z2=30，z2’=20，z3=70，转速n1＝200r/min (顺时针),nH＝100r/min(逆时针)，试求轮3的转速和转向。

题10-10图

10-11 如图所示为一减速器，巳知齿轮z1=26，z2=32，z1’=18，z5=14，z4’=24，z4=z3=z2’=12。求i1H。

题10-11图

10-12 如图所示的轮系，巳知齿轮z1=z2’=20，z2=z3=40，z4=z4’，z3’=z5，求i15。

题10-12图

10-13 在图示轮系中，已知z1=24，z2=z2’=28，z3=80，z4=78。轮1输入，轮4输出，求传动比i14。

题10-13图

1、在图示的定轴轮系中，已知：Z1=20，Z2 =60,Z3=30,Z4=90,Z5=1（左旋蜗杆）,Z6=40，Z7=21,Z8=105.求传动比ί18及轮8的转向。