相似三角形在高中物理试题中的应用

                   陈庆威               2013.7.22    

 高中物理中我们常会用到一些数学知识来解决一些与生活实际相关的事情。在高考的考试说明中明确指出，要求学生能应用学过的数学知识处理物理问题。如三角函数、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等。

  其中“相似三角形法”指的是在对物体进行受力分析（尤其是准平衡态，即动态平衡过程）时找到两个相似三角形，其中一个三角形的边长表示长度（我们称之为“几何三角形”），另一个三角形的边长表示力的大小（我们称之为“矢量三角形”）。利用相似三角形法解题，往往能起到化繁为简，化难为易的良好效果。现把高中物理中常遇到的此类问题总结如下：

例1、半径为的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示，现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的情况是（　　　）

、变大，变小　　　　　　　　、变小，变大

、变小，先变小后变大　　　　、不变，变小

解析：如图1-2所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力不变，支持力，绳子的拉力一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力的大小和方向、绳子的拉力的大小和方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图1-2中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：

可得：　运动过程中变小，变小。

　运动中各量均为定值，支持力不变。正确答案D。

例2、如图2-1所示，竖直绝缘墙壁上的处由一固定的质点，在的正上方的点用细线悬挂一质点，、两点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成角，由于漏电使、两质点的电量逐渐减小，在电荷漏空之前悬线对悬点的拉力大小（　　）

　　　　、变小　　

、变大　　

、不变　　

　　　、无法确定

解析：有漏电现象，减小，则漏电瞬间质点的静止状态被打破，必定向下运动。对小球漏电前和漏电过程中进行受力分析有如图2-2所示，由于漏电过程缓慢进行，则任意时刻均可视为平衡状态。三力作用构成动态下的封闭三角形，而对应的实物质点、及绳墙和点构成动态封闭三角形，且有如图2-3不同位置时阴影三角形的相似情况，则有如下相似比例：

可得：　变化过程、、均为定值，所以不变。正确答案。

以上两例题均通过相似关系求解，相对平衡关系求解要直观、简洁得多，有些问题也可以直接通过图示关系得出结论。

例3. 如图1所示，支架ABC，其中，在B点挂一重物，，求AB、BC上的受力。

解：受力分析如图2所示，杆AB受到拉力作用为，杆BC受到支持力为，这两个力的合力与重力G等大反向，显然由矢量构造的三角形与图1中相似，由对应边成比例得：

  把代入上式，可解得，。

例4. 如图3所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立的地面上相距为4m的两杆的顶端A、B上，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体。平衡时，绳中的张力T=_________N。

解：受力分析，如图4所示。因轻质挂钩光滑，所以AO、BO两段绳的拉力相等，设均为T，且这两个力的合力与重力G等大反向。现在构建相似三角形，如图3所示，延长AO交左杆于，不难证明，又过作右杆的垂线交于，显然，图3、图4两图中阴影部分的三角形相似，又依题意知，，，。由相似三角形对应边成比例得：，代入数据解得。

图4

例5. 两根等长的轻绳，下端结于一点挂一质量为m的物体，上端固定在天花板上相距为S的两点上，已知两绳能承受的最大拉力均为T，则每根绳长度不得短于多少？

解：因为天花板水平，两绳又等长，所以受力相等。又因MN两点距离为S固定，所以绳子越短，两绳张角越大，当合力一定时，绳的张力越大。设绳子张力为T时，长度为L，受力分析如图6所示。在图5中过O点作MN的垂线，垂足为P，显然，图5、图6两图中阴影部分的三角形相似，由对应边成比例得：

      解得：

例6：如图所示，竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，在Q的正上方的P点用丝线悬另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A、B两质点的带电荷量逐渐减少，在电荷漏电完之前悬线对悬点P的拉力大小（    ）

   A. 变小        B. 变大    

    C. 不变        D. 无法确定

解：受力分析如图所示，设PA＝L，PB＝l

 由几何知识知：△APB∽△BDC

 因为T和T’是作用力和反作用力，故T＝T’，故选C

巩固练习：

1、如图所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为(　B　)

  A．F1>F2            B．F1＝F2        

  C．F12、如图甲所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A.现用力F拉绳，开始时∠BCA＞90°，使∠BCA缓慢减小，直到杆BC接近竖直杆AC.此过程中，杆BC所受的力(　 A  　)

A．大小不变　　B．逐渐增大

C．逐渐减小    D．先增大后减小

3、如图所示，有两个带有等量的同种电荷的小球A和B，质量都是m，分别悬于长为L的悬线的一端。今使B球固定不动，并使OB在竖直立向上，A可以在竖直平面内自由摆动，由于静电斥力的作用，A球偏离B球的距离为x。如果其它条件不变，A球的质量要增大到原来的几倍，才会使AB两球的距离缩短为。

4、如图所示，硬杆BC一端固定在墙上的B点，另一端装有滑轮C，重物D用绳拴住通过滑轮固定于墙上的A点。若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从A点稍向下移，则在移动过程中(   C    )

A.绳的拉力、滑轮对绳的作用力都增大

B.绳的拉力减小，滑轮对绳的作用力增大

C.绳的拉力不变，滑轮对绳的作用力增大

D.绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变     

5、如图所示，竖直杆CB顶端有光滑轻质滑轮，轻质杆OA自重不计，可绕O点自由转动OA＝OB．当绳缓慢放下，使∠AOB由00逐渐增大到1800的过程中（不包括00和180°．下列说法正确的是（  C D  ）

A．绳上的拉力先逐渐增大后逐渐减小     

B．杆上的压力先逐渐减小后逐渐增大

C．绳上的拉力越来越大，但不超过2G    

D．杆上的压力大小始终等于G

6、如图所示，质量不计的定滑轮用轻绳悬挂在B点，另一条轻绳一端系重物C，绕过滑轮后，另一端固定在墙上A点，若改变B点位置使滑轮位置发生移动，但使A段绳子始终保持水平，则可以判断悬点B所受拉力FT的大小变化情况是（   B    ）

A．若B向左移，FT将增大

B．若B向右移，FT将增大

C．无论B向左、向右移，FT都保持不变

D．无论B向左、向右移，FT都减小