二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

                  一、二阶常系数齐次线性微分方程

 二阶常系数齐次线性微分方程 方程

 ypyqy0

称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 

 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解 

 我们看看  能否适当选取r 使yerx  满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程

 ypyqy0

得

 r 2prq)erx 0 

由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解 

 特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式

求出 

 特征方程的根与通解的关系 

 特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数、是方程的两个线性无关的解 

 这是因为 

 函数、是方程的解 又不是常数 

因此方程的通解为

 特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 

 这是因为 是方程的解 又

所以也是方程的解 且不是常数 

 因此方程的通解为

  特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye( i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 

 函数y1e(i)x和y2e( i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得

    y1e(i)xe x(cos xisin x) 

 y2e( i)xe x(cos xisin x)

    y1y22e xcos x 

    y1y22ie xsin x  

故excosx、y2exsinx也是方程解 

可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解 

 因此方程的通解为

 yex(C1cosxC2sinx ) 

 求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为 

第一步  写出微分方程的特征方程

 r2prq0

第二步  求出特征方程的两个根r1、r2 

第三步  根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解