新课标高三理科数学综合测试题与参(七)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1. 若复数

i R a i

i a ,(213∈-+为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为

（ ）

A ．－2

B ．4

C ．－6

D ．6

2．已知偶函数()f x 在[]0,2上单调递减，若()1a f =-，0.5

1log 4b f ⎛

⎫

= ⎪⎝⎭

，()lg 0.5c f =，

则,,a b c 之间的大小关系是 （ ）

A ．a b c >>

B ．c a b >>

C ．b a c >>

D ．c b a >>

3．如右图，该程序运行后输出的结果为（ ）.

A ．36

B ．56

C ．55

D ．45 4. 已知函数2()2cos 2sin cos 1f x x x x =+-的图象与()1

g x =-的图象在y 轴的右侧交点按从横坐标由小到大的顺序记为123,,,D D D ，则57D D ＝ ( )

A. π

B.

32

π C. 2π D.

52

π

5．某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在

同一部分，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有

（ ）

A ．36种

B ．38种

C ．108种

D ．24种

6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

7．已知方程1||+=ax x 有一负根且无正根，则实数a 的取值范围是 （ ）

A. a >-1

B. a=1

C. a ≥1

D. a ≤1

8．如果椭圆

19

16

2

2

=+

y

x

上一点P 到它的右焦点是距离3，那么点P 到左焦点的距离为：（ ）

A.5

B.1

C.15

D.8

二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，其中9－12为必做题，13－15为选做题，13－15题只需选做2小题．共30分．） 9．防疫站对学生进行身体健康调查，采用分层抽样法抽取.红星中学共有学生1600名，抽取一个容 量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人. 10．若函

数())(,)f x a b R =

∈的定义域是R ，则3a b +的取值范围

是 。

11．已知点B （1，0），点O 为坐标原点，点A 在圆1)

2()2(2

2

=-

+-y x 上，则向量OB

OA 与的夹角θ的最大值与最小值分别为 .

12．已知定义域为R 的函数()f x 满足2

()(2)242,(1)(1)

f x f x x x f x f x ++=

-+

+-- 4=1(2).(1),,()2

x f t f t ---

若成等差数列，则t 的值为 。

（选做题，从下面的3道题中任选两道题作答，若三题都做,则按前两题计分）

13．已知,,26x y R x y +

∈+=，则2

V x y =的最大值为 ．

14．已知直线l 的参数方程为⎩⎨

⎧==t

y t

x 3（t 为参数），又半径为2，经过原点O 的圆C ，其圆心在第

一象限并且在直线l 上，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方

程为 .

15．如下图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BD 、AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，且EF//BC ，若AD=12，BC=20，则EF= .

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

在ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的三边，已知2

2

()a b c bc --=， （1）求角A

（2

）若BC =B 等于x ，周长为y ，求()y f x =的最大值．

17. （本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点． （Ⅰ）试确定点F 的位置，使得E D 1⊥平面AB 1F ； （Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1―EF ―A 的余弦值; （III ）求异面直线D 1E 与BC 1所成的角.

18. （本小题满分14分）

为了对2006年某市中考成绩进行分析，所有成绩均按百分制进行了折算，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95.

（I ）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3倍同学的数学和物理分数均为优秀的概率；

②求y 与x 、z 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并用相关指数比较所求回归模型的效果.

（参考数学：,456)(,1050)(,81,85,5.778

1

28

1

2

≈-≈-===∑∑==i i i i y y x x z y x

7)ˆ(,755)()(,688)()(,550)(8

1

22

8

1

2

8

1

8

1

2

≈-≈--≈--≈-∑∑∑∑====i i i i i i i i i i

y

y z z x x y y x x z z

.5.23550,4.21456,4.321050,94)ˆ(8

1

2≈≈≈≈-∑=i i

z

z

19．（本小题满分14分）

已知大西北某荒漠上A 、B 两点相距2千米，现准备在荒漠上围垦出一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规定围墙总长8千米. (1)试求四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？

(3)该荒漠上一条直线型小溪L 刚好通过点A ，且L 与AB 成45°角.

现要对整条小溪进行改造，但考虑到小溪可能被农艺园围进的部分今

后重新设计改造，因此对该部分暂不改造.问暂不改造的部分有多长？

20．（本小题满分14分） 设)(2)(x f x

q px x g --

=，其中x x f ln )(=，且.2)(--

=e

p qe e g （e 为自然对数的底数）

（I ）求p 与q 的关系；

（II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （III ）证明：

① 1 ,)1(->≤+x x x f ；

② )2,()

1(412ln 3

3ln 2

2ln 2

2

2

2

≥∈+--<

+

++

n N n n n n n

n .

21．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且)(52*

1N n n S S n n ∈++=+。

（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；

（II ）令212()n

n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与

A B

2

2313n n -的大小.

参

一．选择题 DBCA ADCA 二．填空题

9．760 10．[6,)-+∞ 11．12

,

125π

π

12．2，3

13．8 14．)6

cos(4π

θρ-= 15．15

三．解答题

16．解：（1）由2

2

()a b c bc --=得：222

a b c bc --=- 222

1c o s 22

b c a

A bc

+-∴==

又0A π<< 3

A π

∴=

（2）sin sin A C B C x

A

= ，

sin sin 4sin sin 3

2

BC AC x x x π

∴=

⋅=

=

同理：2sin 4sin()sin 3B C A B C x A

π

=⋅=-

24s i n 4s i n (23

3

y x x π

∴=+-

s i n (36

x π

=++ 3A π

=

203

B x π∴<=<

故5(

,

)6

6

6

x π

ππ

+∈ ∴ 当6

23

x x π

π

π

+

=

⇒=

时，max y =

17．解：（Ⅰ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A 1上的射影．

∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1

于是D 1E ⊥平面AB 1F ， D 1E ⊥AF ．

连接DE ，则DE 是D 1E 在 底面ABCD 内的射影． ∴D 1E ⊥AF ，DE ⊥AF ．

∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点， ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ， 即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F ．

（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（Ⅰ）知点F 是CD 的中点．

又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD ．连接AC ；

设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ．连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影．

∴C 1H ⊥EF ，既∠C 1HC 上二面角C 1－EF －C 的平面角． 在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=

4

1，AC=

4

2．

∴224

21tan 11==

=

∠CH

C C HC C ．

∴cos ∠C 1HC=

3

1

故二面角C 1－EF －A 的余弦值为3

1

。

（III ）连结1BC ，取11D A 的中点G ，连接BG ，因为 BE//1GD ，BE=1GD ，

则BG//D 1E ，则直线BG 与BC 1所成的角，即为异面直线D 1E 与BC 1所成的角

在△BC 1G 中，由余弦定理得2

2cos 1

=

∠GBC

，则所求角为ο45．

18．解：（I ）这8位同学中恰有3倍同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀

分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是3

43

33

4(A A C 或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是5

5A . 根据乘法原理，满足条件的种数是

5

53334A A C .…………………………………………………………………………3分 这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有8

8A .…………………4分

故所求的概率.14

188

5

5

3

33

4=

=

A A A C P ………………………………………………5分

（II ）①变量y 与x 、z 与x 的相关系数分别是 99.04

.214.32688≈⨯=

r 、.99.05

.234.32755≈⨯=

'r

可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关.………………7分

②设y 与x 、z 与x 的线性回归方程分别是a bx y

+=ˆ、.ˆa x b z '+'= 根据所给的数据，可以计算出1050

755,85.335.7766.085,66.01050

688=

'=⨯-===

b a b

.20.255.7772.081,72.0=⨯-='=a ……………………………………9分

所以y 与x 、z 与x 的回归方程分别是

85.3366.0ˆ+=x y

、.20.2575.0ˆ+=x z …………………………………10分

又y 与x 、z 与x 的相关指数是.83.0550

941,98.0456

712

2

≈-

='≈-

=R R ………11分

故回归模型85.3366.0ˆ+=x y

比回归模型.20.2575.0ˆ+=x z 的拟合的效果好.…………12分

19解：(1)以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点， 建立如图直角坐标系，设平行四边形顶点为P (,)x y ， 由题意平行四边形的周长为8（千米），故|PA|+|PB|=4>|AB| ， 依椭圆定义可得P 的轨迹为椭圆（除去与x 轴的两个交点）， 可求得其方程为

)0y (13

y

4

x

2

2

≠=+

·

················5分 (2)农艺园的面积p p PAB y y AB S

S 2||2=

⋅==∆，由于P y 所以当点P 位于B 1或B 2时，农艺园的面积最大且此时

32S =(km 2

)·····································8分

(3)如图，设直线L 与椭圆交于两点C 、D ， 由题意可知|AB|即为所求。

点A 的坐标为,0)(－1，直线L 的方程为：1y x =+，

由22114

3y x x y

=+⎧⎪⎨+=⎪

⎩，消去y ，整理得27880x x +-=， 设1122(,),(,)C x y D x y ，则121288

,77

x

x x x +=-=-，

从而1224||||7

C D x x =-=

=

，

故暂不改造部分的长为247

千米。·················14分

20．解：（I ）由题意知x x

q px x g ln 2)(--

=，

又2)(--=e p qe e g ，

∴22--=--

e p qe e

q pe ，

∴ 01)()(=-+-e

q p e q p ，即0)1)((=+

-e

e q p ，

而01≠+

e

e ，∴ q p =. …………………………………………………………3分

（II ）由（I ）知x x

p px x g ln 2)(--

=，

2

2

2

22)(x

p x px

x

x

p p x g +-=

-

+

='，

令p x px x h +-=2)(2

，要使)(x g 在其定义域),0(+∞内为单调函数，只需)(x h 在),0(+∞内满足：0)(≥x h 或0)(≤x h 恒成立.

① 当0=p 时，x x h 2)(-=，∵0>x ，∴0)(<-

='x

x x g ，

∴)(x g 在),0(+∞内为单调递减，故0=p 适合题意. ………………………….5分 ② 当0>p 时，p x px x h +-=2)(2，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为∈=p

x 1),0(+∞， ∴p

p x h 1)(min -

=.

只需11≥-

p

p ，即1≥p 时0)(≥x h ，0)(≥'x g ，

∴)(x g 在),0(+∞内为单调递增，

故1≥p 适合题意. …………………………………………………7分 ③当0

p

x 1),0(+∞.

只需0)0(≤h ，即0≤p 时0)(≤x h 在),0(+∞恒成立. 故0

综上可得，1≥p 或0≤p . ……………………………………………………9分 （III ）证明：①即证明 )1( ,0)1ln(->≤-+x x x ， 设x x x k -+=)1ln()(，x

x x k +-=

'1)(，

∴ )0 ,1(-∈x 时，0)(>'x k ，∴ )(x k 为单调递增函数；

) ,0(∞+∈x 时，0)(<'x k ，∴ )(x k 为单调递减函数； 0=x 为)(x k 的极大值点.

∴0)0()(=≤k x k , 即 ,0)1ln(≤-+x x ∴.)1ln(x x ≤+ ……………………11分

② 由（I ）知x x ≤+)1ln(，又01>+x ， 设x t +=1，则0>t ， ∴1ln -≤t t . ∵ 2,≥∈n N n ， ∴1ln 2

2

-≤n n

∴ 2

2

2

22

111ln n

n

n n

n -

=-≤

，

∴)11(2

1ln 2

2

n

n

n -

≤

，

21．解：（Ⅰ）由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++ 两式相减得：

()1121n n n n S S S S +--=-+即()1121n n a a ++=+.

当1n =时，21215S S =++ ∴21126a a a +=+又15a =得211a = 从而()21121a a +=+，故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈ 又115,10a a =+≠从而

1121

n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；

（II ）由（I ）知

3

2n

n a =⨯-

212()n

n f x a x a x a x =+++

∴112()2n n f x a a x na x -'=+++

从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)n n ⨯-+⨯-++⨯- =()232222n n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1

(1)312

62

n n n n ++-⋅-

+；

=--'∴)1323()1(22n n f ()()1212121(21)n

n n n -⋅--+=12(1)2(21)n

n n ⎡⎤--+⎣⎦

① 当1n =时，①式=0 ∴22(1)2313f n n '=-；

当2n =时，①式=-120< ∴2

2(1)2313f n n '<-；

当3n ≥时，10n ->又()011211n

n n n

n n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+

∴ ()()12210n

n n ⎡⎤--+>⎣⎦

， 即①0> ， 从而2(1)f '>22313n n -.