20.五年级奥数第20讲——余数问题

两个整数相除或能整除（又称余数为零）；若不能整除，则余数不为零，用式子表示有以下等价的两种：

A＝B·C＋D（0≤D＜B）        A÷B＝C（0≤D＜B）

A被称为被除数，B称为除数，C称为商，D称为余数（0≤D＜B）。本讲我们只讨论D≠0的情况。

巧妙地利用余数可以解决一些看似复杂（常常又很有趣）的问题。余数应用的“巧妙”常在于它的“化简”功能。（将对数的运算转化为对该数除以某数的余数的运算，而往往余数比该数要小得多）

【例1】一个两位数除310，余数是37.求这样的两位数。

随堂练习1

已知一个两位数除1477，余数是49.那么满足条件的所有两位数是（       ）

【例2】有一个整数，用它去除70,110,160所得到的3个余数和是50，这个整数是多少？

随堂练习2

两个整数相除商8，余16，并且被除数，除数，商及余数和是463。那么被除数是（    ）。

【例3】一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3。若用这个自然数除以6，得余数（     ）。

随堂练习3

有三个自然数a,b,c，已知b除以a,得商3余3；c除以a，得商9余11，那么c除以b，得到的余数是（     ）。

【例4】有一张纸剪成6块，从所得纸片中取出若干块，每块各剪成6块，再从所得纸片中取出若干块，每块各剪成6块……如此进行下去，到剪完某一次后停止，所得纸总数有可能是2012,2013,2014,2015,2016这几个数中的（       ）。

随堂练习4

桌面上原有硬纸片5张，从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回，再取出，剪小，放回……是否可能在某次放回后，桌上的纸片刚好是2015快？

【例5】商店里有六箱货物，分别重15,16,18,19,20,31千克，两个顾客买走了其中的五箱，已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是（      ）千克。

随堂练习5

有六张卡片，每张卡片分别标有1193,1258,1842,1866,1912,2494这六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结果发现甲、乙各自手中卡片上数之和，一个是另一个的2倍，那么丙手中卡片上的数是（     ）。

【例6】有一列数：1,3,9,25,69,1,517，……，其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么着列数中的第2014个数除以6，得到的余数是（       ）。

随堂练习6

1除以44的商，从小数点右边开始的第1位到第100位的各个数位的数字相加的和是（      ）。

练习题

一、填空题

1、写出全部除109后余数为4的两位数。

2、任意写一个两位数，再将它重复3遍成一个8位数，将这个8位数除以这个两位数所得到的商再除以9，问得到的余数是多少？

3、5122除以一个两位数得到的余数是66.求这个两位数。

4、甲、乙两数和是1088，甲数除以乙数商11余32.求甲、乙两数。

5、桌子上放着6包糖，分别装有3,4,5,7,9,13块糖，小华拿走2包，已知小明拿走的糖的块数是小华的2倍，那么剩下的那包糖中，糖有（     ）块。

6、前2014个既能被2整除又能被3整除的正整数的和，除以9的余数是（      ）。

7、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3而余数没变，那么这道题除数是多少？

8、求111 …… 11被11除的余数。

       2013个1

9、哪些数除以7能使商和余数相同？

10、八个盒子，各盒内装有奶糖数分别为9,17,24,28,30,31,33,44块。甲取走一盒，其余各盒被乙，丙，丁三人所取走，已知乙，丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍。问甲取走的一盒中有多少块奶糖？

11、号码分别为101,126,173,193的四名运动员进行乒乓球比赛，规定每两个人比赛的局数是他们号码的和被3除所得的余数，那么打球局数最多的运动员打了（     ）局。

12、有一筐苹果，把他们三等分后还剩2个苹果；取出其中两份，将他们三等分还剩2个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个，这筐苹果至少有几个？