北师大版八年级数学下册期中测试卷含答案

一、选择题：每题3分，共45分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号涂在答题卡上。

1．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　）

A．a﹣2＜b﹣2    B．＜    C．﹣2a＜﹣2b    D．﹣a＞﹣b

2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

3．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　）

A．a＞0    B．a＜0    C．a＞﹣1    D．a＜﹣1

4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．8或10    B．8    C．10    D．6或12

5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）

A．4.8    B．4.8或3.8    C．3.8    D．5

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

A．4cm    B．3cm    C．2cm    D．1cm

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（　　）

A．3cm    B．4cm    C．6cm    D．9cm

8．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）

A．①②    B．①④    C．②③    D．③④

9．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在AC、BC两边高线的交点处    

B．在AC、BC两边中线的交点处    

C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处    

D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处

10．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（　　）

A．30°    B．36°    C．45°    D．70°

11．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（　　）

A．6    B．﹣6    C．3    D．﹣3

12．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　）

A．    B．4    C．    D．5

13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到的△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为 （　　）

A．    B．3    C．4    D．5

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．

A．1    B．2    C．3    D．4

15．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4、…，△16的直角顶点的坐标为（　　）

A．（60，0）    B．（72，0）    C．（67，）    D．（79，）

二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上

16．在平面直角坐标系中，若点P（2x+6，5x）在第四象限，则x的取值范围是　   　．

17．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为　   　度．

18．已知等腰△OPQ的顶点P的坐标为（4，3），O为坐标原点，腰长OP＝5，点Q位于y轴正半轴上，则点Q的坐标为　   　．

19．初三的几位同学拍了一张合影作为留念，已知拍一张底片需要5元，洗一张相片需要0.5元．拍一张照片，在每位同学得到一张相片的前提下，平均每人分摊的钱不足1.5元，那么参加合影的同学人数为　   　．

20．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为　   　cm．

21．如图，边长为1的等边△ABO在平面直角坐标系的位置如图所示，点O为坐标原点，点A在x轴上，以点O为旋转中心，将△ABO按逆时针方向旋转60°，得到△OA′B′，则点A′的坐标为　   　．

三、解答题：共7小题，满分57分,解答应写出文字说明过程或演算步骤。

22．（8分）解下列不等式（组）：

（1）

（2），并把它的解集表示在数轴上．

23．（6分）已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围．

24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．

（1）若∠BAD＝45°，求证：△ACD为等腰三角形；

（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．

25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，0），O（0，0）．

（1）画出将△ABO向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A1B1O1；

（2）在（1）中，若△ABC上有一点M（3，1），则其在△A1B1O1中的对应点M1的坐标为　   　；

（3）若将（1）中△A1B1O1看成是△ABO经过一次平移得到的，则这一平移的距离是　   　；

（4）画出△ABO关于点O成中心对称的图形△A2B2O．

26．（8分）如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点（与点A分别在直线BC两侧），且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AE交BC于F．

（1）求证：AD垂直BC；

（2）如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；

（3）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系．

27．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为P′．

（1）画出旋转后的三角形；

（2）连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数；

28．（10分）为加快“秀美荆河水系生态治理工程”进度，污水处理厂决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，每台的价格分别为a万元，b万元，每月处理污水量分别为240吨，200吨．已知购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．

（1）求a，b的值；

（2）厂里预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种购买方案；

（3）在（2）的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为污水处理厂设计一种最省钱的购买方案．

2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题：每题3分，共45分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号涂在答题卡上。

1．如果a＞b，那么下列各式中正确的是（　　）

A．a﹣2＜b﹣2    B．＜    C．﹣2a＜﹣2b    D．﹣a＞﹣b

【分析】A、根据不等式的性质1，可得答案；

B、根据不等式的性质2，可得答案；

C、根据不等式的性质3，可得答案；

D、根据不等式的性质3，可得答案．

【解答】解：A、不等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A错误；

B、不等式的两边都除以2，不等号的方向不变，故B错误；

C、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故C正确；

D、不等式的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故D错误；

故选：C．

【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：图1、图5都是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．

图3不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；也不是中心对称图形，因为绕中心旋转180度后与原图不重合．

图2、图4既是轴对称图形，又是中心对称图形．

故选：B．

【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（　　）

A．a＞0    B．a＜0    C．a＞﹣1    D．a＜﹣1

【分析】本题可对a＞﹣1，与a＜﹣1的情况进行讨论．不等式两边同时除以一个正数不等号方向不变，同时除以一个负数不等号方向改变，据此可解本题．

【解答】解：（1）当a＞﹣1时，原不等式变形为：x＞1；

（2）当a＜﹣1时，原不等式变形为：x＜1．

故选：D．

【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意同除a+1时是否要改变符号这一点而出错．

解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变．在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．

4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．8或10    B．8    C．10    D．6或12

【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．

【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，

∵2+2＝4，

∴不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，

能组成三角形，

周长＝2+4+4＝10，

综上所述，它的周长是10．

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．

5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）

A．4.8    B．4.8或3.8    C．3.8    D．5

【分析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得SABC＝SABP+SACP，代入数值，解答出即可．

【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，

∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，

∴BF＝4，

∴△ABF中，AF＝＝3，

∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，

12＝×5×（PD+PE）

PD+PE＝4.8．

故选：A．

【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

A．4cm    B．3cm    C．2cm    D．1cm

【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．

【解答】解：

连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，

∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，

∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，

∴AB＝＝2cm＝AC，

∵AB的垂直平分线EM，

∴BE＝AB＝cm

同理CF＝cm，

∴BM＝＝2cm，

同理CN＝2cm，

∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，

故选：C．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE等于（　　）

A．3cm    B．4cm    C．6cm    D．9cm

【分析】求出AE＝BE，推出∠A＝∠1＝∠2＝30°，求出DE＝CE＝3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

【解答】解：∵DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，

∴∠2＝∠A，

∵∠1＝∠2，

∴∠A＝∠1＝∠2，

∵∠C＝90°，

∴∠A＝∠1＝∠2＝30°，

∵∠1＝∠2，ED⊥AB，∠C＝90°，

∴CE＝DE＝3cm，

在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，

∴AE＝2DE＝6cm，

故选：C．

【点评】本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠A＝30°和得出DE的长．

8．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③AF＝BF；④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）

A．①②    B．①④    C．②③    D．③④

【分析】根据等腰三角形的判定逐一进行判断即可．

【解答】解：选②AD＝BE；③AF＝BF，不能证明△ADF与△BEF全等，所以不能证明∠1＝∠2，

故不能判定△ABC是等腰三角形．

故选：C．

【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定得出△ADF与△BEF全等．

9．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（　　）

A．在AC、BC两边高线的交点处    

B．在AC、BC两边中线的交点处    

C．在∠A、∠B两内角平分线的交点处    

D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．

【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．

故选：C．

【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

10．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（　　）

A．30°    B．36°    C．45°    D．70°

【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．

【解答】解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵BD＝BC＝AD，

∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，

设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，

可得2x＝，

解得：x＝36°，

则∠A＝36°，

故选：B．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．

11．已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（　　）

A．6    B．﹣6    C．3    D．﹣3

【分析】先解不等式，求出解集，然后根据题中已告知的解集，进行比对，从而得出两个方程，解答即可求出a、b．

【解答】解：不等式组，

解得，，

即，2b+3＜x＜，

∵﹣1＜x＜1，

∴2b+3＝﹣1，，

得，a＝1，b＝﹣2；

∴（a+1）（b﹣1）＝2×（﹣3）＝﹣6．

故选：B．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

12．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　）

A．    B．4    C．    D．5

【分析】由∠ABC＝45°，AD是高，得出BD＝AD后，证△ADC≌△BDH后求解．

【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，

∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDH，

∵∠AHE+∠DAC＝90°，∠DAC+∠C＝90°，

∴∠AHE＝∠BHD＝∠C，

∴△ADC≌△BDH，

∴BH＝AC＝4．

故选：B．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．由∠ABC＝45°，AD是高，得出BD＝AD是正确解答本题的关键．

13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到的△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为 （　　）

A．    B．3    C．4    D．5

【分析】由平移的性质可求得OA′的长，则可求得A′点的坐标，可求得OO′的长，由平移的性质可得到BB′＝OO′，可求得答案．

【解答】解：

∵点A的坐标为（0，3），

∴OA＝3，

由平移的性质可得O′A′＝OA＝3，

∴点A′的纵坐标为3，

∵A′在直线y＝x上，

∴3＝x，解得x＝4，

∴点A′的横坐标为4，

∴OO′＝4，

又由平移的性质可得BB′＝OO′＝4，

故选：C．

【点评】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应点的连线平行且相等是解题的关键．

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．

A．1    B．2    C．3    D．4

【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD＝30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；

③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．

故①正确；

②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAB＝60°．

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，

∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．

故②正确；

③∵∠1＝∠B＝30°，

∴AD＝BD，

∴点D在AB的中垂线上．

故③正确；

④∵如图，在直角△ACD中，∠2＝30°，

∴CD＝AD，

∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．

∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，

∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD： AC•AD＝1：3．

故④正确．

综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．

故选：D．

【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．

15．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4、…，△16的直角顶点的坐标为（　　）

A．（60，0）    B．（72，0）    C．（67，）    D．（79，）

【分析】根据题目提供的信息，可知旋转三次为一个循环，图中第三次和第四次的直角顶点的坐标相同，由①→③时直角顶点的坐标可以求出来，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

△OAB旋转三次和原来的相对位置一样，点A（﹣3，0）、B（0，4），

∴OA＝3，OB＝4，∠BOA＝90°，

∴AB＝

∴旋转到第三次时的直角顶点的坐标为：（12，0），

16÷3＝5…1

∴旋转第15次的直角顶点的坐标为：（60，0），

又∵旋转第16次直角顶点的坐标与第15次一样，

∴旋转第16次的直角顶点的坐标是（60，0）．

故选：A．

【点评】本题考查规律性：点的坐标，解题的关键是可以发现其中的规律，利用发现的规律找出所求问题需要的条件．

二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上

16．在平面直角坐标系中，若点P（2x+6，5x）在第四象限，则x的取值范围是　﹣3＜x＜0　．

【分析】根据第四象限点的特征，列出不等式组即可解决问题；

【解答】解：∵点P（2x+6，5x）在第四象限，

∴，

解得﹣3＜x＜0，

故答案为﹣3＜x＜0

【点评】本题考查点的坐标、一元一次不等式组等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

17．如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为　15　度．

【分析】根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数．

【解答】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC＝BD，

则△CBD是等腰三角形，∠BDC＝∠BCD，∠CBD＝180°﹣∠DBE＝180°﹣30°＝150°，

∠BDC＝（180°﹣∠CBD）＝15°．

故答案为15°．

【点评】根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可．

18．已知等腰△OPQ的顶点P的坐标为（4，3），O为坐标原点，腰长OP＝5，点Q位于y轴正半轴上，则点Q的坐标为　（0，6）或（0，5）　．

【分析】分PO＝PQ及OP＝OQ两种情况考虑：①当PO＝PQ时，过点P作PM⊥y轴于点M，由点P的坐标可得出点M的坐标，再利用等腰三角形的性质可求出点Q的坐标；②当OP＝OQ时，利用两点间的距离公式（勾股定理）可得出OP的长度，再利用等腰三角形的性质可得出点Q的坐标．综上即可得出结论．

【解答】解：分两种情况考虑，如图所示．

①当PO＝PQ时，过点P作PM⊥y轴于点M．

∵点P的坐标为（4，3），

∴点M的坐标为（0，3）．

又∵PO＝PQ，

∴OQ＝2OM＝6，

∴点Q的坐标为（0，6）；

②当OP＝OQ时，∵点P的坐标为（4，3），

∴OP＝＝5，

∴点Q的坐标为（0，5）．

故答案为：（0，6）或（0，5）．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离公式，分PO＝PQ及OP＝OQ两种情况求出点Q的坐标是解题的关键．

19．初三的几位同学拍了一张合影作为留念，已知拍一张底片需要5元，洗一张相片需要0.5元．拍一张照片，在每位同学得到一张相片的前提下，平均每人分摊的钱不足1.5元，那么参加合影的同学人数为　至少6人　．

【分析】首先依据题意得出不等关系即平均每人分摊的钱不足1.5元，由此列出不等式，进而解决问题．

【解答】解：设参加合影的同学人数为x人，

则有5+0.5x＜1.5x，

解得x＞5，

∵x取正整数，

∴参加合影的同学人数至少为6人，

故答案为至少6人．

【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

20．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为　16　cm．

【分析】根据DE是AC的垂直平分线以及AE＝3cm，即可得出DA＝DC且AC＝6cm，再根据△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系即可得出C△ABC的值．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，

∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC．

∵C△ABD＝AB+BD+DA，C△ABC＝AB+BD+DC+CA＝AB+BD+DA+CA＝C△ABD+CA，且C△ABD＝10cm，

∴C△ABC＝10+6＝16cm．

故答案为：16．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长，解题的关键是找出△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系．本题属于基础题，难道不大，解决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键．

21．如图，边长为1的等边△ABO在平面直角坐标系的位置如图所示，点O为坐标原点，点A在x轴上，以点O为旋转中心，将△ABO按逆时针方向旋转60°，得到△OA′B′，则点A′的坐标为　（﹣，﹣）　．

【分析】作BC⊥x轴于C，如图，根据等边三角形的性质得OA＝OB＝1，AC＝OC＝，∠BOA＝60°，则易得A点坐标和O点坐标，再利用勾股定理计算出BC＝，然后根据第二象限点的坐标特征可写出B点坐标；由旋转的性质得∠AOA′＝∠BOB′＝60°，OA＝OB＝OA′＝OB′，则点B′与点A重合，于是可得点A′的坐标．

【解答】解：作BC⊥x轴于C，如图，

∵△OAB是边长为1的等边三角形

∴OA＝OB＝4，AC＝OC＝1，∠BOA＝60°，

∴A点坐标为（﹣1，0），O点坐标为（0，0），

在Rt△BOC中，BC＝＝，

∴B点坐标为（﹣，）；

∵△OAB按逆时针方向旋转60°，得到△OA′B′，

∴∠AOA′＝∠BOB′＝60°，OA＝OB＝OA′＝OB′，

∴点A′的坐标为（﹣，﹣），

故答案为：（﹣，﹣）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：记住关于原点对称的点的坐标特征；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．

三、解答题：共7小题，满分57分,解答应写出文字说明过程或演算步骤。

22．（8分）解下列不等式（组）：

（1）

（2），并把它的解集表示在数轴上．

【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：（1）去分母，得：3（x﹣2）≥2（7﹣x），

去括号，得：3x﹣6≥14﹣2x，

移项，得：3x+2x≥14+6，

合并同类项，得：5x≥20，

系数化为1，得：x≥4；

（2）解不等式﹣x+3＜2x，得：x＞1，

解不等式﹣≥0，得：x≤4，

则不等式组的解集为1＜x≤4，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键．

23．（6分）已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围．

【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．

【解答】解：解5x+1＞3（x﹣1）得：x＞﹣2，

解x≤8﹣x+2a得：x≤4+a．

则不等式组的解集是：﹣2＜x≤4+a．

不等式组只有两个整数解，是﹣1和0．

根据题意得：0≤4+a＜1．

解得：﹣4≤a＜﹣3．

【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，∠B＝30°，连接AD．

（1）若∠BAD＝45°，求证：△ACD为等腰三角形；

（2）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC＝120°，求出∠CAD＝∠ADC，根据等腰三角形的判定得出即可；

（2）有两种情况：①当∠ADC＝90°时，当∠CAD＝90°时，求出即可．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠B＝30°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∵∠BAD＝45°，

∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣45°＝75°，∠ADC＝∠B+∠BAD＝75°，

∴∠ADC＝∠CAD，

∴AC＝CD，

即△ACD为等腰三角形；

（2）解：有两种情况：①当∠ADC＝90°时，

∵∠B＝30°，

∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；

②当∠CAD＝90°时，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣90°＝30°；

即∠BAD的度数是60°或30°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．

25．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（4，0），O（0，0）．

（1）画出将△ABO向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A1B1O1；

（2）在（1）中，若△ABC上有一点M（3，1），则其在△A1B1O1中的对应点M1的坐标为　（﹣1，3）　；

（3）若将（1）中△A1B1O1看成是△ABO经过一次平移得到的，则这一平移的距离是　2　；

（4）画出△ABO关于点O成中心对称的图形△A2B2O．

【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A1B1O1即可；

（2）根据点平移的性质即可得出结论；

（3）根据勾股定理即可得出结论；

（4）分别作出各点关于点O的对称点，再顺次连接即可．

【解答】解：（1）如图，△A1B1O1即为所求；

（2）∵M（3，1），

∴M1（﹣1，3）．

故答案为：（﹣1，3）；

（3）连接BB1，则BB1＝＝2．

故答案为：2；

（4）如图，△A2B2O即为所求．

【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．

26．（8分）如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点（与点A分别在直线BC两侧），且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AE交BC于F．

（1）求证：AD垂直BC；

（2）如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；

（3）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定定理得到直线AD是BC的垂直平分线，证明结论；

（2）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠BAD＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠EDA，根据等腰三角形的判定定理证明；

（3）仿照（2）的证明方法解答．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，DB＝DC，

∴直线AD是BC的垂直平分线，

∴AD垂直BC；

（2）证明：在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE；

（3）DE＝AC+BE．

由（2）得，∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE，

∵AB＝AC，

∴DE＝AB+BE＝AC+BE．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

27．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为P′．

（1）画出旋转后的三角形；

（2）连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数；

【分析】（1）将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为P′，据此可得旋转后的三角形；

（2）依据旋转的性质，即可得到∠PAP'＝∠BAC＝50°，AP＝AP'，△ABP≌△ACP'，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数以及∠AP'P＝65°、∠APB＝95°＝∠AP'C，最后依据∠PP'C＝∠AP'C﹣∠AP'P进行计算即可．

【解答】解：（1）旋转后的三角形ACP'如图所示：

（2）由旋转可得，∠PAP'＝∠BAC＝50°，AP＝AP'，△ABP≌△ACP'，

∴∠APP'＝∠AP'P＝65°，∠AP'C＝∠APB，

∵∠BAC＝50°，AB＝AC，

∴∠B＝65°，

又∵∠BAP＝20°，

∴∠APB＝95°＝∠AP'C，

∴∠PP'C＝∠AP'C﹣∠AP'P＝95°﹣65°＝30°．

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质的运用，利用图形旋转前后对应线段以及对应角相等得出∠AP′C的度数是解题关键．

28．（10分）为加快“秀美荆河水系生态治理工程”进度，污水处理厂决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，每台的价格分别为a万元，b万元，每月处理污水量分别为240吨，200吨．已知购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．

（1）求a，b的值；

（2）厂里预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有哪几种购买方案；

（3）在（2）的条件下，若每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为污水处理厂设计一种最省钱的购买方案．

【分析】（1）由“已知购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”，即可得出关于a、b的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买A型设备m台，则购买B型设备（10﹣m）台，根据总价＝单价×数量结合厂里预算购买污水处理设备的资金不超过105万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的整数即可得出各购买方案；

（3）由每月要求处理污水量不低于2040吨，来验证m的值，再利用总价＝单价×数量找出最省钱的购买方案．

【解答】解：（1）根据题意得：，

解得：．

答：a的值为12，b的值为10．

（2）设购买A型设备m台，则购买B型设备（10﹣m）台，

根据题意得：12m+10（10﹣m）≤105，

解得：m≤，

∴m可取的值为0，1，2．

故有3种购买方案，方案1：购买B型设备10台；方案2：购买A型设备1台，B型设备9台；方案3：购买A型设备2台，B型设备8台．

（3）当m＝0时，每月的污水处理量为：200×10＝2000（吨），

∵2000＜2040，

∴m＝0不合题意，舍去；

当m＝1时，每月的污水处理量为：240+200×9＝2040（吨），

∵2040＝2040，

∴m＝1符合题意，此时购买设备所需资金为：12+10×9＝102（万元）；

当m＝2时，每月的污水处理量为：240×2+200×8＝2080（吨），

∵2080＞2040，

∴m＝2符合题意，此时购买设备所需资金为：12×2+10×8＝104（万元）．

∵102＜104，

∴为了节约资金，该公司最省钱的一种购买方案为：购买A型设备1台，B型设备9台．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）由每月要求处理污水量来确定m可取的值．