2018全国卷1数学(理)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z=+2i，则|z|=（　　）

A．0    B．    C．1    D．

2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（　　）

A．{x|﹣1＜x＜2}    B．{x|﹣1≤x≤2}    C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}    D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}

3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（　　）

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（　　）

A．﹣12    B．﹣10    C．10    D．12

5．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）

A．y=﹣2x    B．y=﹣x    C．y=2x    D．y=x

6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．+    D．+

7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）

A．2    B．2    C．3    D．2

8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

9．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）

A．[﹣1，0）    B．[0，+∞）    C．[﹣1，+∞）    D．[1，+∞）

10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（　　）

A．p1=p2    B．p1=p3    C．p2=p3    D．p1=p2+p3

11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（　　）

A．    B．3    C．2    D．4

12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为　   　．

14．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　   　．

15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　   　种．（用数字填写答案）

16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是　   　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC=2，求BC．

18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

19．（12分）设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

参与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z=+2i，则|z|=（　　）

A．0    B．    C．1    D．

【解答】解：z=+2i=+2i=﹣i+2i=i，

则|z|=1．

故选：C．

2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（　　）

A．{x|﹣1＜x＜2}    B．{x|﹣1≤x≤2}    C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}    D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}

【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，

可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，

则：∁RA={x|﹣1≤x≤2}．

故选：B．

3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（　　）

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．

A项，种植收入37×2a﹣60%a=14%a＞0，

故建设后，种植收入增加，故A项错误．

B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，

建设前，其他收入为4%a，

故10%a÷4%a=2.5＞2，

故B项正确．

C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，

建设前，养殖收入为30%a，

故60%a÷30%a=2，

故C项正确．

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为

（30%+28%）×2a=58%×2a，

经济收入为2a，

故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，

故D项正确．

因为是选择不正确的一项，

故选：A．

4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（　　）

A．﹣12    B．﹣10    C．10    D．12

【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，

∴=a1+a1+d+4a1+d，

把a1=2，代入得d=﹣3

∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．

故选：B．

5．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　）

A．y=﹣2x    B．y=﹣x    C．y=2x    D．y=x

【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，

可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，

曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，

则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．

故选：D．

6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．+    D．+

【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

=﹣=﹣

=﹣×（+）

=﹣，

故选：A．

7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）

A．2    B．2    C．3    D．2

【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，

直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．

故选：B．

8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y=2x+4，

联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2﹣6y+8=0，

解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），，．

则•=（0，2）•（3，4）=8．

故选：D．

9．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）

A．[﹣1，0）    B．[0，+∞）    C．[﹣1，+∞）    D．[1，+∞）

【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，

作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：

当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，

即函数g（x）存在2个零点，

故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），

故选：C．

10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（　　）

A．p1=p2    B．p1=p3    C．p2=p3    D．p1=p2+p3

【解答】解：如图：设BC=a，AB=c，AC=b，

∴a2=b2+c2，

∴SⅠ=×4bc=2bc，SⅢ=×πa2﹣2bc，

SⅡ=×πc2+×πb2﹣SⅢ=×πc2+×πb2﹣×πa2+2bc=2bc，

∴SⅠ=SⅡ，

∴P1=P2，

故选：A．

11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（　　）

A．    B．3    C．2    D．4

【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=，

则：解得M（，），

解得：N（），

则|MN|==3．

故选：B．

12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，

此时正六边形的边长明明就的最大值为：6×=．

故选：A．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为　6　．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=3x+2y得y=﹣x+z，

平移直线y=﹣x+z，

由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，

最大值为z=3×2=6，

故答案为：6

14．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　﹣63　．

【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1，①

当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，

当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②，

由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1，

∴an=2an﹣1，

∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，

∴S6==﹣63，

故答案为：﹣63

15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　16　种．（用数字填写答案）

【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4

根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，

方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种，

故答案为：16

16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是　　．

【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，

故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，

先来求该函数在[0，2π）上的极值点，

求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x

=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），

令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，

可得此时x=，π或 ；

∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或 和边界点x=0中取到，

计算可得f（ ）=，f（π）=0，f（ ）=﹣，f（0）=0，

∴函数的最小值为﹣，

故答案为：．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC=2，求BC．

【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

∴由正弦定理得：=，即=，

∴sin∠ADB==，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB==．

（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，

∵DC=2，

∴BC=

==5．

18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，

则，，

由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．

由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF．

又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．

（2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，联结DH，

由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，

则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．

在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，

因为DE∥BF且PF⊥BF，

所以PF⊥DE，

又因为△PDF≌△CDF，

所以∠FPD=∠FCD=90°，

所以PF⊥PD，

由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE，

故VF﹣PDE=，

因为BF∥DA且BF⊥面PEF，

所以DA⊥面PEF，

所以DE⊥EP．

设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a

在△PDE中，，

所以，

故VF﹣PDE=，

又因为，

所以PH==，

所以在△PHD中，sin∠PDH==，

即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．

19．（12分）设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

【解答】解：（1）c==1，

∴F（1，0），

∵l与x轴垂直，

∴x=1，

由，解得或，

∴A（1.），或（1，﹣），

∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，

证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，

A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，

直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，

由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=，

将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k）=0

从而kMA+kMB=0，

故MA，MB的倾斜角互补，

∴∠OMA=∠OMB，

综上∠OMA=∠OMB．

20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），

则f（p）=，

∴=，

令f′（p）=0，得p=0.1，

当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，

当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，

∴f （p）的最大值点p0=0.1．

（2）（i）由（1）知p=0.1，

令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），

X=20×2+25Y，即X=40+25Y，

∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．

（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，

∵E（X）=490＞400，

∴应该对余下的产品进行检验．

21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．

【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，

设g（x）=x2﹣ax+1，

当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，判别式△=a2﹣4，

①当0＜a≤4时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：

当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，

则（，）上是增函数．

（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，

则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），

则=﹣2+，

则问题转为证明＜1即可，

即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，

即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，

设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，

求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，

则h（x）在（0，1）上单调递减，

∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，

故2lnx＞x﹣，

则＜a﹣2成立．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0．

转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，

转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．

（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．

由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．

所以：必有一直线相切，一直线相交．

则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．

故：， 解得：k=或0，（0舍去） 故C1的方程为：．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，

由f（x）＞1，

∴或，

解得x＞，

故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），

（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，

∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即|ax﹣1|＜1，

∴﹣1＜ax﹣1＜1，

∴0＜ax＜2，

∵x∈（0，1），

∴a＞0，

∴0＜x＜，

∴a＜

∵＞2，

∴0＜a≤2，

故a的取值范围为（0，2]．