高一数学必修1第一章集合教案

§1．1集合

教学目标： 

    (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；

    (2)知道常用数集及其专用记号；

    (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；

(4)会用集合语言表示有关数学对象；

教学重点.难点

    重点：集合的含义与表示方法.

    难点：表示法的恰当选择.

                              1.1.1

（一）集合的有关概念

⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

2.表示方法：集合通常用大括号{  }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

            而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

5.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.

整数集，记作Z；　　有理数集，记作Q；　　　　实数集，记作R；

6.关于集合的元素的特征

 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” 

 （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大

 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

 ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.

 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2

 ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数；　　　⑵我国的小河流；

⑶非负奇数；           　　　⑷某校2011级新生；

⑸ 血压很高的人；

7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作aA；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作aA。

   例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。

练：A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A.

8. 空集：定义

9. 集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};  

 2. {xR∣0  3. {xR∣x2+1=0}

由此可以得到

       集合的分类

（二）例题讲解：

例1．用“∈”或“”符号填空：

  ⑴8   N；      ⑵0    N；    ⑶-3    Z；     ⑷    Q；

  练：5页１题

例2．已知集合P的元素为,  若2∈P且-1P，求实数m的值。    

练：⑴给出下面四个关系:R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:(  )

A．4个        B．3个      C．2个      D．1个

（2）求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件?

（3）若{t},求t的值.

1.1.2

一、集合的表示方法

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为

例1．用列举法表示下列集合：

(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)从51到100的所有整数的集合；

(4)小于10的所有自然数组成的集合；

(5)方程的所有实数根组成的集合；

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ 　}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意：

１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

例2．用描述法表示下列集合：

(1)由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;

(2)到定点距离等于定长的点的集合;

(3)方程的所有实数根组成的集合

(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合。

   说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意， 

         一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

 课本P7 例1例2

　　　1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数

2．集合A＝{x|∈Z，x∈N}，则它的元素是        。

3.判断下列两组集合是否相等？

 　　　（1）A={x|y=x+1}与B自然数}与B={正整数}

 1.2 集合间的基本关系

教学目的：

（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；

                                  1.2.1                     

⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 

    记作：      读作：A包含于B，或B包含A

    当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉A)

     用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

2.真子集定义：若集合，但存在元素，则称集合A是集合B的真子集。 

   记作：A  B（或B A）    读作：A真包含于B（或B真包含A）

3.集合相等 定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B

     中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若，则。

  如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。

4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：

用适当的符号填空：

     ； 0      ；      {}；       {}

5.几个重要的结论：

  ⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。

  ⑵空集是任何非空集合的真子集；

  ⑶任何一个集合是它本身的子集；

  ⑷对于集合A，B，C，如果，且，那么。

练习 ⑴2   N；          N；            A;       

   ⑵已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则 

 A     B；    A     C；    {2}     C；      2     C

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

⑶结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，

 特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

1.2.2  集合间的基本运算

考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系：

（1），；

（2），；

1.并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B 

 的并集，即A与B的所有部分，

记作A∪B，  读作：A并B即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

 Venn图表示：

2.交集定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），

记作：A∩B  读作：A交B         即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

Venn图表示：

常见的五种交集的情况：

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个

集合没有交集

3. 全集、补集概念及性质：

全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么

              就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集

              合A相对于全集U的补集,

  记作：，读作：A在U中的补集，即

    Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）

说明：补集的概念必须要有全集的

高一数学必修1集合单元综合练习

1、U＝｛1，2，3，4，5｝，若A∩B＝｛2｝，(CUA)∩B＝｛4｝，(CUA)∩(CUB)＝｛1，5｝，则下列结论正确的是            .

  ①、3A且3B；②、3A且3B；   

  ③、3A且3B；④、3A且3B。

2、设集合M=｛x｜－1≤x＜2｝，N=｛x｜x－k≤0｝，若M∩N≠，则k的取值范围是              

3、已知全集，，则为                

4、设，集合，则                   

5、已知集合，．若，则实数的取值范围是                   

6、设集合N}的真子集的个数是              

7、以下六个关系式：，，, ,  ， 是空集中，错误的个数是                

8、若，，用列举法表示B