江西省上饶市横峰中学、铅山一中联考2016-2017学年高二(上)第一次月考数学试卷(解析版).do

参与试题解析

一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）．

1．如果a＜b＜0，那么下列各式一定成立的是（　　）

A．a﹣b＞0    B．ac＜bc    C．a2＞b2    D．＜

【考点】不等式的基本性质．

【分析】根据不等式的性质判断即可．

【解答】解：∵a＜b＜0，

∴a﹣b＜0，a+b＜0，＞，

∴（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2＞0，即a2＞b2，

故C正确，C，D不正确

当c=0时，ac=bc，故B不一定正确，

故选：C．

2．某校高三年级共1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（　　）

A．700    B．660    C．630    D．610

【考点】分层抽样方法．

【分析】本题考查的知识点是分层抽样方法，由分层抽样中各分层在样本中所占比例与总体总所占的比例相等的条件，结合高三年级共1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，我们易求出该校男生人数．

【解答】解：设抽取的样本中男生共有X人，则女生有X﹣10人，

由样本容量为200

∴X+X﹣10=200

∴X=105

则该校男生共有=630人

故选C

3．设a=2，b=log32，c=cos100°，则（　　）

A．c＞b＞a    B．a＞c＞b    C．c＞a＞b    D．a＞b＞c

【考点】对数值大小的比较．

【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．

【解答】解：∵a=＞20=1，

0=log31＜b=log32＜log33=1，

c=cos100°＜0，

∴a＞b＞c．

故选：D．

4．下列函数中，最小值是2的是（　　）

A．y=    B．y=

C．y=    D．y=log3x+logx3

【考点】基本不等式．

【分析】运用基本不等式，即可得出结论．

【解答】解：对于A，x＞0时，函数的最小值是2，故不正确；

对于B，y=+≥2，x=0时，函数的最小值是2，故正确；

对于C，运用基本不等式，等号不能取，故不正确；

对于D，x＞1时，函数的最小值是2，故不正确；

故选：B．

5．用系统抽样法（按等距离的规则）要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（　　）

A．7    B．5    C．4    D．3

【考点】系统抽样方法．

【分析】根据系统抽样法按等距离的规则，故可转化成一个等差数列，公差为8，第16项为125的等差数列，求首项，然后根据通项公式求出即可．

【解答】解：由系统抽样知按等距离的规则可看成公差为8，第16项为125的等差数列，求首项

a16=a1+15×8=125

∴a1=5

第一组确定的号码是5．

故答案为：B

6．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（　　）

A．2    B．2+1    C．2+2    D．2+3

【考点】基本不等式．

【分析】由已知式子可得b=，代入整理可得a+b=a﹣1++3，由基本不等式可得．

【解答】解：∵a＞1，b＞2，且ab=2a+b，

∴ab﹣b=2a，∴b（a﹣1）=2a，解得b=，

∴a+b=a+==

==a﹣1++3

≥3+2=3+2

当且仅当a﹣1=即a=1+时取等号

故选：D

7．已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值=（　　）

A．    B．    C．    D．1

【考点】茎叶图．

【分析】由茎叶图性质及甲、乙两组数据的中位数相同，平均数也相同，列出方程组，能求出m，n，由此能求出结果．

【解答】解：甲、乙两组数据如图茎叶图所示，

∵它们的中位数相同，平均数也相同，

∴，

解得m=3，n=8，

∴=．

故选：A．

8．函数f（x）=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P，且点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，则+的最小值是（　　）

A．12    B．13    C．24    D．25

【考点】基本不等式．

【分析】函数f（x）=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），可得m+4n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：函数f（x）=ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），

∵点P在直线mx+ny﹣1=0（m＞0，n＞0）上，

∴m+4n=1．

则+=（m+4n）=17+≥17+4×2=25，当且仅当m=n=时取等号．

故选：D．

9．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（　　）

A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）    B．（﹣1，3）    C．（1，3）    D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出．

【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），∴．

∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0可化为（x+1）（x﹣3）＞0，

∴x＜﹣1或x＞3．

∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．

故选A．

10．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则a+b的值为（　　）

A．4    B．2    C．    D．0

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可确定z取最大值的条件，然后利用基本不等式进行求解．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域，

由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，

则目标函数对应直线的斜率﹣，

平移直线，由图象可知当直线，经过点B时，直线的截距最大，此时z最大．

由，解得，

即B（1，1），

此时z的最大值为z=a+b=4，

故选：A．

11．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：

A．45    B．50    C．55    D．60

【考点】线性回归方程．

【分析】求出，代入回归方程计算，从而得出p的值．

【解答】解： ==5，

∴=6.5×5+17.5=50，

∴=50，解得p=60．

故选：D．

12．已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，给出下列说法：

①3a﹣4b+10＞0；  

②＞2；

③当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；

④当a＞0且a≠1，b＞0时，的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．

其中正确的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】命题的真假判断与应用；直线的斜率．

【分析】画出图象，利用点与直线的位置关系判断①的正误；两点之间的距离判断②的正误；利用图象判断③的正误；利用直线的斜率判断④的正误；

【解答】解：点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，

3×1﹣4×0+10＞0，3a﹣4b+10＜0，所以①不正确；

原点到直线的距离为：，

∴＞2；所以②正确．

对于③，可知，A的可行域，不含边界，所以③不正确．

对于④，当a＞0且a≠1，b＞0时，表示可行域内的点与（1，0）连线的斜率，它的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．正确，

正确的命题两个．

故选：B．

二.填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）．

13．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是　2　．

【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．

【分析】根据这组数据的平均数是10，写出平均数的表示式，得到关于x的方程，求出其中x的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果．

【解答】解：∵数据8，9，x，11，12的平均数是10，

∴=10

∴x=10，

∴这组数据的方差是  （4+4+0+1+1）=2

故答案为：2．

14．若关于x的不等式ax＞b的解集为（﹣∞，），则关于x的不等式ax2+bx﹣a＞0的解集为　　．

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】由于关于x的不等式ax＞b的解集为（﹣∞，），可得a＜0，．因此不等式ax2+bx﹣a＞0可化为，代入解出即可．

【解答】解：∵关于x的不等式ax＞b的解集为（﹣∞，），

∴a＜0，．

∴不等式ax2+bx﹣a＞0可化为，

即，

解得：．

∴不等式ax2+bx﹣a＞0的解集为．

故答案为：．

15．给出平面区域为图中四边形ABOC内部及其边界，目标函数为z=ax﹣y，若当且仅当x=1，y=1时，目标函数z取最小值，则实数a的取值范围是　　．

【考点】简单线性规划．

【分析】根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，z=ax﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，a表示直线的斜率，只需求出a取值在什么范围时，直线z=ax﹣y在y轴上的截距最优解在点A处即可．

【解答】解：由可行域可知，直线AC的斜率==﹣1，

直线AB的斜率==﹣，

当直线z=ax﹣y的斜率介于AC与AB之间时，

A（1，1）是该目标函数z=ax﹣y的唯一最优解，

所以﹣1＜a＜﹣

故答案为：．

16．若不等式x2+2xy≤a（x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为　　．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】由题意可得a≥的最大值，由x2+y2=（1﹣m2）x2+m2x2+y2（m＞0），运用基本不等式，及解方程1﹣m2=m，可得m，进而得到a的最小值．

【解答】解：由题意可得a≥的最大值，

由x2+y2=（1﹣m2）x2+m2x2+y2（m＞0）

≥（1﹣m2）x2+2mxy，（当且仅当mx=y取得等号），

则≤，

当1﹣m2=m，即m=时，的最大值为=．

即有a≥．

故答案为：．

三．解答题（本题共6题，共70分）．

17．已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0}，B={x|5﹣2m≤x≤m+1}．

（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；

（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．

【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算．

【分析】（1）将m=3代入求出B，求出A，从而求出A∩B，A∪B即可；（2）根据B⊆A，通过讨论B=∅和B≠∅时得到关于m的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）当m=3时，B={x|5﹣6≤x≤3+1}=[﹣1，4]

因为A={x|2≤x≤6}

所以A∩B=[2，4]A∪B=[﹣1，6]

（2）因为B⊆A，所以当B=∅时，5﹣2m＞m+1

所以

当B≠∅时，则

解得

综上所述：实数m的取值范围为

18．（1）解不等式：

（2）求函数的最小值．

【考点】其他不等式的解法；函数的值域．

【分析】（1）把要求的不等式化为，可得，由此求得不等式的解集．

（2）函数y的解析式即，再利用基本不等式求得它的最小值．

【解答】（1）解：，

故此不等式的解集为{x|x≥3，或﹣1≤x＜1}

（2）解：，

当且仅当=时，即当等号成立，故函数y的最小值为25．

19．从某校参加高二年级学业水平考试模拟考试的学生中抽取60名学生，将其数学成绩分成6段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]后，画出如图的频率分布直方图．根据图形信息，解答下列问题：

（1）估计这次考试成绩的平均分；

（2）估计这次考试成绩的及格率和众数．

【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．

【分析】（1）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．

（2）由频率分布直方图，求出不及格率，即可求得这次考试成绩的及格率；在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数．

【解答】解：（1）这次考试成绩的平均分约为：

45×（0.005×10）+55×（0.01×10）+65×（0.025×10）+75×（0.025×10）+85×（0.03×10）+95×（0.005×10）=73；

（2）这次考试成绩的及格率1﹣（0.005×10﹣0.01×10）=0.85

由众数概念知，众数是出现次数最多的，

在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，

由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数为85．

20．已知正数x，y满足：x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y：（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．

【分析】利用题目条件求出x+y的范围，通过换元法化简表达式，利用恒成立分离变量，通过函数的单调性求解函数的最小值，即可推出a的范围．

【解答】解：因为x+y+3=xy≤，可得（x+y）2﹣4（x+y）﹣12≥0，正数x，y；可得x+y∈[6，+∞）．

令t=x+y，可得：t2﹣at+1≥0在区间[6，+∞）上恒成立，

即a≤t+在区间[6，+∞）上恒成立，

又f（t）=t+在区间[6，+∞）上单调递增，

∴f（t）min=f（6）=，∴a，

故a的取值范围为（﹣∞，]．

21．已知函数f（log2x）=x﹣．

（1）求f（x）的表达式；

（2）不等式2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

【考点】函数恒成立问题．

【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式．

（2）利用分解因式，化简不等式，求出m的范围即可．

【解答】解：（1）函数，令t=log2x，解得x=2t，

∴…

（2）不等式2tf（2t）+mf（t）≥0，即．

即，

∵．

t∈[1，2]，22t∈[4，16]．

∴m≥﹣（22t+1）

m≥﹣5．…

22．已知函数f（x）=1﹣在R上是奇函数．

（1）求a；

（2）对x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2x﹣1恒成立，求实数s的取值范围；

（3）令g（x）=，若关于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．

【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．

【分析】（1）根据f（0）=0可求得a的值，然后验证a的取值满足函数为奇函数；

（2）分离参数法，将问题转化为函数的最值问题求解；

（3）可先将方程化简，然后问题转化为一元二次方程在指定区间上根的分布问题，然后再进一步求解．

【解答】解：（1）由题意知f（0）=0．即，

所以a=2．此时f（x）=，

而f（﹣x）=，

所以f（x）为奇函数，故a=2为所求．

（2）由（1）知，

因为x∈（0，1]，所以2x﹣1＞0，2x+1＞0，

故s•f（x）≥2x﹣1恒成立等价于s≥2x+1恒成立，

因为2x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．

故s的取值范围是[3，+∞）．

（3）因为．

所以g（2x）﹣mg（x+1）=．

整理得22x﹣2m•2x﹣m+1=0．

令t=2x＞0，则问题化为t2﹣2mt﹣m+1=0有一个正根或两个相等正根．

令h（t）=t2﹣2mt﹣m+1（t＞0），则函数h（t）=t2﹣2mt﹣m+1在（0，+∞）上有唯一零点．

所以h（0）≤0或，

由h（0）≤0得m≥1，

易知m=1时，h（t）=t2﹣2t符合题意；

由解得，

所以m=．

综上m的取值范围是．

2016年12月16日