2022年浙江省宁波市镇海区中考数学一模试题及答案解析

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D. 

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D. 

3.  若一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是(    )

A.  B.  C.  D. 

4.  如图是一个由个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是(    )

A.  B.  C.  D. 

5.  如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温如何随时间的变化而变化．下列从图象中得到的信息正确的是(    )

A. 点时气温达到最低 B. 点的温度为零下度

C. 点到点之间气温持续上升 D. 最高气温是

6.  一个不透明布袋里装有个白球、个黑球、个红球，它们除颜色外都相同从中任意摸出一个球，是红球的概率为(    )

A.  B.  C.  D. 

7.  关于的一元二次方程有两个相等的实根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 

8.  我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D. 

9.  如图，反比例函数图象的表达式为，图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为(    )

10.  如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为(    )

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  不等式的解是______．

12.  数据，，，，，的中位数是______．

13.  当，时，代数式的值是______．

14.  扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为______结果保留．

15.  如图，在四边形中，，，，点在对角线上运动，为的外接圆，当与四边形的一边相切时，其半径为______．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

计算：．

计算：．

某校七年级共有名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．

学生读书数量统计表

阅读量

估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？

在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．在图中画出与成轴对称的格点三角形画出个即可．

20.  本小题分

图是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中底盒固定在地面下，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图是其示意图，经测量，钢条，．

求车位锁的底盒长．

若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？

参考数据：，，

21.  本小题分

如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于，两点，与轴交于点点的坐标是．

求，两点的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围．

将图象向上平移个单位后，二次函数图象与轴交于，两点，若，求的值．

要从甲、乙两仓库向，两工地运送水泥．已知甲仓库可运出吨水泥，乙仓库可运出吨水泥：工地需吨水泥，工地需吨水泥．设甲运往地的水泥为吨，两仓库到，两工地的运量和每吨的运费如表：

求出总运费关于的函数表达式；

利用一次函数的增减性，求出的最小值．

23.  本小题分

【基础巩固】

如图，为等腰直角三角形，，求证：≌．

【尝试应用】

如图，在的条件下，连结，，求的长．

【拓展提高】

如图，在中，，分别在直角边，上，，，求．

24.  本小题分

如图，是的外接圆，点在上，连结，，，过点作的平行线交于点．

如图，求证：∽；

如图，若，，，求；

如图，为的内心，若在线段上，，，当最大时，求出的半径．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得

，

故四个数中，最大的数是．

故选：．

有理数比较大小的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

本题主要考查了有理数比较大小的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了积的乘方和幂的乘方，属于基础题．

积的乘方等于积中各个因式分别乘方，然后再将所得的幂相乘，解答此题根据积的乘方的法则计算即可．

【解答】

解：．

故选A．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．

【解答】

解：设第三边为，

则，即，

所以符合条件的选项为，

故选B．  

4.【答案】 

【解析】解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，

故选：．

根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

5.【答案】 

【解析】解：、由函数图象知时气温达到最低，此选项不合题意；

B、最低气温是零下，此选项不合题意；

C、点到点之间气温持续上升，此选项不合题意；

D、最高气温是，说法正确，故本选项符合题意；

故选：．

根据该市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．

本题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了概率公式，属于基础题．

让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．

【解答】

解：一共是个球，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是．

故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实根，

，

解得：，

故选：．

根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．

本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．

8.【答案】 

【解析】解：设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为：

．

故选：．

直接利用“绳长木条长；绳长木条长”分别得出等式求出答案．

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．

9.【答案】 

【解析】解：由对称性可得函数的解析式为：，

令，整理得，，

设点的横坐标为，点的横坐标为，

则和是的两根，

由根与系数的关系可得出，，

点是的中点，

，

由可知，，，

．

故选：．

由对称性可得函数的解析式为：，令，组成一元二次方程，设点的横坐标为，点的横坐标为，由根与系数的关系可得出，，再结合点是的中点，可得出和的值，由此可得出结论．

本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系等知识，求出函数的解析式是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，延长交于，

，

设，则，

，

将绕点顺时针旋转至，

，，，，，

，

，

，

又，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

的面积．

故选：．

由将绕点顺时针旋转至，可得，，，，，由锐角三角函数可求，，由面积公式可求的值，即可求解．

本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用参数解决问题是本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：，

移项及合并同类项，得：，

系数化为，得：，

故原不等式的解集是，

故答案为：．

根据移项及合并同类项、系数化为，可以求得不等式的解集．

本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

12.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、、，

这组数据的中位数为，

故答案为：．

根据中位数的定义求解即可．

本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

13.【答案】 

【解析】解：，

当，时，原式，

故答案为：．

原式利用平方差公式分解，化简后将与的值代入计算即可求出值．

本题考查了完全平方公式以及平方差公式，掌握相关公式是解答本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：扇形的半径为，弧长为，

此扇形的面积，

故答案为：．

根据扇形的面积公式和弧长公式得出扇形的面积等于弧长和半径积的一半，再代入求出答案即可．

本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．

15.【答案】或或 

【解析】解：如图，点在边上，

，

，

与相切于点，

，

，

的半径为．

如图，与相切，连接，连接并延长交于点，

点到的距离等于的半径，且是的半径，

就是点到的距离， 

，

，

，，，

≌，

，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

，，

，且，

，

或不符合题意，舍去， 

的半径为．

如图，与相切于点，连接、，，作于点，设的半径为，

，

四边形是矩形，

，

，

作于点，交于点，作于点，则，

，

四边形是矩形，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

整理得，

解得或不符合题意，舍去，

的半径为，

综上所述，的半径为或或，

故答案为：或或．

分三种情况，一是与相切于点，则，此时圆的半径为；二是与相切于点，此时，，所以，，则，在中根据勾股定理列方程即可求出的长为，即此时圆的半径为；三是与相切于点，连接、，，作于点，设的半径为，则，作于点，交于点，作于点，则，可推导出，，在中根据勾股定理列方程求出的值即可．

此题考查全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长交的延长线于点，

，点为中点，

，

，

，

，

，

设，则，

由折叠得：，，

，

，即，

，

，

，

，

，

在中，，

，

解得：，

经检验，是原方程的根，

，

故答案为：．

如图，延长交的延长线于点，设，则，根据，可得出：，，再由，可得：，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案．

本题考查直角三角形斜边上的中线，等边对等角的性质，翻折变换的性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性较强，作辅助线，应用三角函数定义和方程思想是解题的关键．

17.【答案】解：原式 

；

原式 

． 

【解析】直接利用完全平方公式以及单项式乘多项式计算，进而合并同类项得出答案；

直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．

此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、完全平方公式以及单项式乘多项式，正确化简各数是解题关键．

18.【答案】解：由题意可得，

，，，

即的值是，的值是，的值是；

本，

答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是本． 

【解析】根据题意和统计图中的数据可以求得、、的值；

根据统计图中的数据可以求得该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本．

本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

19.【答案】解：如图所示，、、、即为所求．

【解析】根据轴对称图形的概念作图即可．

本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．

20.【答案】解：过点作于点，

，

，

在中，，，

，

．

在中，

，

，

当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位． 

【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义．

过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

根据锐角三角函数的定义求出的长度即可判断．

21.【答案】解：把代入，得，解得，

，

，

对称轴为直线，，关于对称，

，

当时，．

抛物线向上平移个单位，可得抛物线的解析式为，

设二次函数图象与轴交于，两点，则，，

，

，

，

，

． 

【解析】利用待定系数法求出，再求出点的坐标即可解决问题．

由题意得抛物线的解析式为，设二次函数图象与轴交于，两点，则，，由可得出答案．

本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是能够把二次函数的一般形式化为顶点式．

22.【答案】     

【解析】解：由题意可得，

，两工地的运量和每吨的运费如表： 

由表格可得，

，

即总运费关于的函数表达式是；

，

随的增大而减小，

，

解得，

当时，取得最小值，此时，

答：的最小值是．

根据题意和表格中的数据，可以将表格空白处补充完整；

根据中表格中的数据，可以得到总运费关于的函数表达式；

先求出的取值范围，再根据一次函数的性质即可求得的最小值．

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质求最值．

23.【答案】证明：是等腰直角三角形，

，

，

，，

，

在和中，

，

≌；

解：如图中，过点作于点．

，

四边形是矩形，

，

，，

，

≌，

，，

，

设，则，

在中，，

，

解得或舍去，

；

解：如图中，过点作，在上截取使得，连接，，作的角平分线交的延长线于点设，，．

，，，

≌，

，，

，

，

，

，

，，

，

平分，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

，

整理得，

负值已经舍去，

． 

【解析】根据证明三角形全等即可；

如图中，过点作于点证明，时，则，再利用勾股定理构建方程求解即可；

如图中，过点作，在上截取使得，连接，，作的角平分线交的延长线于点设，，证明，构建二次方程，求出，的关系可得结论．

本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

24.【答案】证明：点在圆上，

，，

又，

，

∽；

解：由可得∽，

，

，

，

；

解：由得：，

，

如图，作，

，

设，，，

，

解得，，

故BC，

，

连接，

为的内心，

，，

，

，

，

当时，最大，

此时，圆的半径为． 

【解析】证出，由相似三角形的判定可得出结论；

由相似三角形的性质可得出，则可得出答案；

设，，，由勾股定理可得出，证出，当时，最大，则可得出答案．

本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内心的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．