广东省广外外校2014届九年级数学期中复习模拟试卷(一)

一、选择题（每题3分共计30分）

1． 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为(  )

Ａ.  Ｂ. Ｃ. Ｄ. 

2．二次函数的图象如图所示，则m的值是

A．－8     B．8       C．±8       D．6

3．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为【    】

A．直线x=1       B．直线x=﹣2       C．直线x=﹣1      D．直线x=﹣4

4．若抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是(   )

A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1

C．当x=1时，y的最大值为﹣4D．抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）

5．二次函数（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

（3）二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是    (       )            A．3      B．2      C．1      D．0

6．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，则的值是【    】

A．　   　B．　　   C．　   　D．

 7．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为(     )

A．12米    B．4米      C．5米        D．6米

8．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=(      )

A．       B．       C．      D．

9．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【    】

A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2

 10．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为

A、      B、（m，n）     C、     D、

二、填空题（每题3分共计18分）

11．如图，AB是⊙O的直径， ，AB=5，BD=4，则sin∠ECB=．

12．如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为　　．

13．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD=，BP=，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF=　  　．

 14．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是　  　．

15．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=　    　．

3、解答题（102分）

17网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．

18．．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.

（1）设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 , 则S1S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；

（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

19．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以 点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.（1）画出位似中心点O； 

（2）直接写出△ABC与△A’B’C’的位似比； 

（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点 O中心对称的△A"B"C"，如果△ABC内部一点M的坐标为（x，y），写出△A"B"C"中M的对应点M"的坐标。

20．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC

 21．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西600的方向，从B测得小船在北偏东450的方向．

（1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西150的方向．求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）

 22．已知二次函数.

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由。

23．某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？

（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

24、 如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．

（1）求点P运动的速度是多少？

（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

25．如图，抛物线（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）间平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由。

参

1．C2．B3．C。4．C。5．B6．B。7．A8．D9．B。10．D11．12．413．14．15．

16．

20．解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，

∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=60°﹣30°=30°。∴∠B=∠BAD。

∴AD=BD=62（米）。

在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）。

答：小岛的高度是53米

21．解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，

设PD=x，

由题意可知 ，PBD=450，∠PAD=300，

∴在Rt△BDP中，BD=PD= x。

在Rt△PDA中，AD=PD=。

∵AB=2，∴。

解得。

∴点P到海岸线l的距离为km。

（2）如图，过点B作BF⊥CA于点F，

在Rt△ABF中，，

在Rt△ABC中，∠C=1800－∠BAC－∠ABC=450，

∴在Rt△BFC中，。

∴点C与点B之间的距离为。

22．解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），

∴代入得：，解得：m=±1。

∴二次函数的解析式为：或。

（2）∵m=2，∴二次函数为：。

∴抛物线的顶点为：D（2，－1）。

当x=0时，y=3，

∴C点坐标为：（0，3）。

（3）存在，当P、C、D共线时PC+PD最短。

过点D作DE⊥y轴于点E，

∵PO∥DE，∴△COP∽△CED。

∴，即，解得：

∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（，0）。

23．解：（1）∵抛物线（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），

∴，解得。

∴抛物线的解析式为。

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A（3，0），点C（0，4），

∴，解得。

∴直线AC的解析式为。

∵点M的横坐标为m，点M在AC上，

∴M点的坐标为（m，）。

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，

∴点P的坐标为（m，）。

∴PM=PE－ME=（）－（）=。

∴PM=（0＜m＜3）。

（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似。理由如下：

 由题意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：

①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），

∵m≠0且m≠3，∴m=。

∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME。

∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF。

在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°。

∴△PCM为直角三角形。

②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），

∵m≠0且m≠3，∴m=1。

∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME。

∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF。∴CP=CM。

∴△PCM为等腰三角形。

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形。

24．解：（1）∵直线与坐标轴分别交于点A、B，

∴x=0时，y=4；y=0时，x=8。∴BO=4，AO=8。∴。

当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，

∵EP∥BO，∴△ABO∽△ARP。∴，即。

∴AP=2t。

∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，

∴点P运动的速度是每秒2个单位长度。

（2）∵当OP=OQ时，PE与QF重合，此时t=，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，

∴分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：

如图1，当0＜t＜。即点P在点Q右侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形， 

∵OQ=FQ=t，PA=2t，

∴QP=8－t－2t=8－3t。

∴8－3t=t。

解得：t=2。

如图2，当＜t≤4，即点P在点Q左侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t。

∴。

∴。

解得：t=4。

∴当t为2秒或4秒时，矩形PEFQ为正方形。

（3）同（2）分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：

如图1，当0＜t＜时，Q在P点的左边

∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，

∴。

∴当t=时，S的最大值为，

如图2，当＜t≤4时，Q在P点的右边，

∵OQ=t，PA=2t，∴。

∴。

∵当＜t≤4时，S随t的增大而增大，∴t=4时，S的最大值为：3×42﹣8×4=16。

综上所述，当t=4时，S的最大值为：16。

25．解：（1）y与x的函数关系式为：y=﹣10x+1000。

（2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000）=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000。

∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70。

∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大。

（3）当购进该商品的贷款为10000元时，y=10000÷40=250（件），此时x=75。

由（2）得当x≥70时，S随x的增大而减小，

∴当x=70时，销售利润最大，此时S=9000。

∴该商家最大捐款数额是9000元。