三角函数的单调性和最值

例1已知函数，．求:

(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

(II) 函数的单调增区间．

解(I)

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为.

(II) 

由题意得: 

即: 

因此函数的单调增区间为.

例2 已知函数f(x)＝＋6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

(3)求f(x)在区间的单调区间和值域。

解：(1)f(x)＝sin 2x·＋3sin 2x－cos 2x

＝2sin 2x－2cos 2x＝.

所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f(0)＝－2，，，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－2.

                        练习题

练习1.已知函数在轴右侧的第一个最高点的横坐标为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的最大值及单调递减区间．

练习2.设函数    

(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(Ⅱ)当时，f(x)的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程．

练习3.已知函数

（1）求函数最小正周期；

（2）若，求出该函数在上的单调递增区间和最值。

练习4.已知函数，.

(Ⅰ)求函数的最小正周期；

(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.