2020-2021学年湖北省武汉市武昌区七校联考九年级(上)期中数学试卷

数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）一元二次方程x2＝x的根为（）

A．0B．1C．0或1D．0或﹣1

2．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的对称轴是（）

A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2

3．（3分）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'，且点B刚好落在A'B'上，若∠B'＝70°，则∠B'CB等于（）

A．30°B．35°C．40°D．45°

4．（3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB＝4，OC＝1，则⊙O半径的长是（）

A．B．C．D．

5．（3分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（）A．﹣2B．﹣3C．2D．3

6．（3分）某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为（）

A．2×2.25%（1﹣x）＝1.98%B．2.25%（1﹣2x）＝1.98%

C．1.98%（1+x）＝2.25%D．2.25%（1﹣x）2＝1.98%

7．（3分）如图AB为⊙O的直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝（）A．40°B．45°C．50°D．55°

8．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x+6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（）A．6B．7C．8D．9

9．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）

A．B．C．D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）已知平面直角坐标系中，A（a，1）、B（5，b）关于原点对称，则a+b＝．12．（3分）平面直角坐标系中，将点A（1，3）绕坐标原点顺时针旋转90°得点B，则点B的坐标为．

13．（3分）如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，若∠AOD＝130°，则∠BOC＝．14．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有实根，则m的取值范围为．

15．（3分）已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣k）2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k ，则k的值为．

16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，BD＝4，∠BCD＝30°，我们知道满足条件的点C不是唯一的，则AC长的最大值为．

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）解方程：x2﹣4x+1＝0．

18．（8分）已知抛物线y1＝﹣x2+2x+3．

①求其顶点坐标；

②若直线y2＝kx+b与抛物线交于A（﹣1，m），B（4，n），当y1＞y2时，求x的取值

范围．

19．（8分）若a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，求a2+2a+b的值．20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．（1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行；

（2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF；

（3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC 的直线，使其与AD平行．

21．（8分）如图，⊙O中的弦AB⊥CD于H，BE⊥AC于E，交CD于F．（1）求证：HD＝HF．

（2）若∠ABC＝60°，求证：BD等于⊙O的半径．

22．（10分）某商品的成本为20元，市场调查发现：当售价为180元时，每周可售出50件，每涨价10元每周少售出1件．现要求每周至少售出35件，且售价不低于180元．（1）设售价为x元（x为10的整数倍），每周利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（2）当售价为多少时，（销售这种商品）每周的利润最大？最大利润是多少？

（3）若希望每周利润不得低于10400元，则售价x的范围为．23．（10分）已知：⊙O的两条半径OA⊥OB．

（1）如图1，点C在⊙O上，OD平分∠BOC交AC的延长线于点D．求证：∠D＝45°．

（2）如图2，点F在⊙O上，点E在FO的延长线上，∠AEB＝90°，若EF＝6，求△ABE的周长．

（3）如图3，点G在BO上，OG＝3，BG＝8，P在AO的延长线上，直线PG交AB于K．则△APK的面积的最小值为．

24．（12分）已知抛物线l1：y＝ax2﹣2ax+5a．

（1）将抛物线向左移动一个单位，所得抛物线l2的解析式为．

（2）已知，a＜0，D（3，8a），l1交y轴于M，N点在直线MD上方的抛物线l1上．若使得S△DMN＝3的N点只有一个，求a的值．

（3）在（1）所得的抛物线中，令，过A（0，2）作直线与此抛物线交于B、C两点，作BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．求证：BE+CF＝BC．2020-2021学年湖北省武汉市武昌区七校联考九年级（上）期中

数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）一元二次方程x2＝x的根为（）

A．0B．1C．0或1D．0或﹣1

【解答】解：x2＝x，

x2﹣x＝0，

x（x﹣1）＝0，

∴x＝0或x＝1，

故选：C．

2．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1的对称轴是（）

A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2

【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣1的对称轴是直线x＝﹣＝1．

故选：A．

3．（3分）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'，且点B刚好落在A'B'上，若∠B'＝70°，则∠B'CB等于（）

A．30°B．35°C．40°D．45°

【解答】解：∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'，

∴BC＝B'C，

∴∠B'＝∠CBB'＝70°，

∴∠B'CB＝40°，

故选：C．

4．（3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB＝4，OC＝1，则⊙O半径的长是（）

A．B．C．D．

【解答】解：∵OC⊥AB于点C，

∴AC＝AB＝2．

根据勾股定理，得

OB＝＝．

故选：B．

5．（3分）设x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则x1+x2的值为（）A．﹣2B．﹣3C．2D．3

【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的二次项系数是a＝1，一次项系数b＝﹣2，

∴由韦达定理，得

x1+x2＝2．

故选：C．

6．（3分）某银行经过最近两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，设平均每次降息的百分率为x，则可列方程为（）

A．2×2.25%（1﹣x）＝1.98%B．2.25%（1﹣2x）＝1.98%

C．1.98%（1+x）＝2.25%D．2.25%（1﹣x）2＝1.98%

【解答】解：依题意得：2.25%（1﹣x）2＝1.98%．

故选：D．

7．（3分）如图AB为⊙O的直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝（）

A．40°B．45°C．50°D．55°

【解答】解：连接OD，如图，∵∠BOD＝2∠BED＝2×40°＝80°，

∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣80°＝100°，

∴∠ACD＝∠AOD＝×100°＝50°．

故选：C．

8．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x+6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（）A．6B．7C．8D．9

【解答】解：由题意得：，

解得：x＝﹣3或x＝5，

故在直线y＝﹣9上截得的线段的长为5﹣（﹣3）＝8，

故选：C．

9．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解答】解：①∵开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴在y轴右侧，a、b异号，

∴b＜0，

∴b2＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴c3＜0，

∴ab2c3＜0，故①错误；

②∵对称轴x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，故②正确；

③根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为（4，0），

∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣2，x2＝4，故③正确；

④由图象得：x＝﹣3时，y＞0，

∴9a﹣3b+c＞0，

∴9a+c＞3b，故④正确；

故选：C．

10．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）

A．B．C．D．

【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，

∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝2，

∴AB＝BC＝4，

∴OC＝AB＝2，OP＝AB＝2，

∵∠ACB＝90°

∴C在⊙O上，∵M为PC的中点，

∴OM⊥PC，

∴∠CMO＝90°，

∴点M在以OC为直径的圆上，

点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2，

∴M点的路径为以EF为直径的半圆，

∴点M运动的路径长＝•2π•＝π．

故选：B．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）已知平面直角坐标系中，A（a，1）、B（5，b）关于原点对称，则a+b＝﹣6．

【解答】解：∵A（a，1）、B（5，b）关于原点对称，

∴a＝﹣5，b＝﹣1，

∴a+b＝﹣5﹣1＝﹣6．

故答案为：﹣6．

12．（3分）平面直角坐标系中，将点A（1，3）绕坐标原点顺时针旋转90°得点B，则点B的坐标为（3，﹣1）．

【解答】解：如图所示，由图中可以看出点P′的坐标为（3，﹣1）．故答案为（3，﹣1）．

13．（3分）如图，⊙O的两条弦AB⊥CD，若∠AOD＝130°，则∠BOC＝50°．【解答】解：如图，设AB交CD于T，连接BD．

∵AB⊥CD，

∴∠DTB＝90°，

∵∠AOD＝130°，

∴∠ABD＝∠AOD＝65°，

∴∠TDB＝90°﹣65°＝25°，

∴∠COB＝2∠CDB＝50°，

故答案为：50°．

14．（3分）若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有实根，则m的取值范围为m≤且m≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有实根

则有，

解之得m≤且m≠0．

所以m的取值范围为m≤且m≠0．

答：m的取值范围为m≤且m≠0．

15．（3分）已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣k）2+11，当1≤x≤4时，函数有最小值2k ，则k的值为1或．

【解答】解：函数对称轴为直线x＝k，

∴①k≤1时，x＝4函数取得最小值，﹣k2+8k﹣16+11＝2k，

解得k1＝1，k2＝5（舍去），

②k≥4时，x＝1函数取得最小值，﹣（1﹣k）2+11＝2k，

解得k＝±（舍去），

③1＜k＜4，x＝4或x＝1函数取得最小值，则k＝，

综上所述，k的值为1或．

故答案为：1或．

16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，BD＝4，∠BCD＝30°，我们知道满足条件的点C不是唯一的，则AC长的最大值为4+2+4．

【解答】解：如图，作△BCD的外接圆⊙O，连接OB，OD，OC，OA，设AO交BD于T．

∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，

∴OB＝OD＝OC＝BD＝4，

∵AB＝AD＝6，

∴OA垂直平分线段BD，

∴BT＝DT＝2，

∴AT＝＝＝4，OT＝＝＝2，

∴OA＝AT+OT＝4+2，

∵AC≤OA+OC，

∴AC≤4+2+4，

∴AC的最大值为4+2+4．

三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x+1＝0．【解答】解：x2﹣4x+1＝0

x2﹣4x+4＝3

（x﹣2）2＝3

x﹣2＝

∴x1＝2+，x2＝2﹣；

18．（8分）已知抛物线y1＝﹣x2+2x+3．

①求其顶点坐标；②若直线y2＝kx+b与抛物线交于A（﹣1，m），B（4，n），当y1＞y2时，求x的取值

范围．

【解答】解：①y1＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；

②∵y1＝﹣x2+2x+3．

∴抛物线开口向下，

∵直线y2＝kx+b与抛物线交于A（﹣1，m），B（4，n），

∴当y1＞y2，则x的取值范围为﹣1＜x＜4．

19．（8分）若a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，求a2+2a+b的值．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个不相等的实数根，

∴a+b＝﹣1，a2+a＝2021，

∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2021﹣1＝2020．

20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．

（1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行；

（2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF；

（3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC 的直线，使其与AD平行．

【解答】解：（1）如图，直线AF即为所求作．

（2）如图，直线GH即为所求作．（3）如图，直线EF即为所求作．

21．（8分）如图，⊙O中的弦AB⊥CD于H，BE⊥AC于E，交CD于F．（1）求证：HD＝HF．

（2）若∠ABC＝60°，求证：BD等于⊙O的半径．

【解答】证明：（1）∵CH⊥AB，

∴∠BFH+∠FBH＝90°，

∵BE⊥AC，

∴∠A+∠ABE＝90°，

∴∠BFH＝∠A，

∵∠A＝∠D，

∴∠BFH＝∠D，

∴BF＝BD，

∵BH⊥FD，∴HD＝HF；

（2）连接OD、OB，如图，

∵∠BCD+∠CBH＝90°，

∴∠BCH＝90°﹣∠CBH＝90°﹣60°＝30°，

∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，

∵OB＝OD，

∴△OBD为等边三角形，

∴BD＝OB，

∴BD等于⊙O的半径．

22．（10分）某商品的成本为20元，市场调查发现：当售价为180元时，每周可售出50件，每涨价10元每周少售出1件．现要求每周至少售出35件，且售价不低于180元．（1）设售价为x元（x为10的整数倍），每周利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（2）当售价为多少时，（销售这种商品）每周的利润最大？最大利润是多少？

（3）若希望每周利润不得低于10400元，则售价x的范围为280≤x≤330，且x为10的整数倍．

【解答】解：（1）由题意得：

y＝（x﹣20）（50﹣）

＝﹣x2+70x﹣1360，

∵要求每周至少售出35件，

∴50﹣≥35，

解得：x≤330，

又∵售价不低于180元，∴180≤x≤330．

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+70x﹣1360（180≤x≤330，且x为10的整数倍）；

（2）∵y＝﹣x2+70x﹣1360

＝﹣（x﹣350）2+100，

∵二次项系数为负，当x≤350时，y随x的增大而增大，

又∵180≤x≤330，

∴当x＝330时，y最大值＝10850，

∴当售价为330元时，（销售这种商品）每周的利润最大，最大利润是10850元；

（3）∵每周利润不得低于10400元，

∴﹣（x﹣350）2+100≥10400，

∴（x﹣350）2≤4900，

解得：280≤x≤420，

又∵180≤x≤330，

∴280≤x≤330．

故答案为：280≤x≤330，且x为10的整数倍．

23．（10分）已知：⊙O的两条半径OA⊥OB．

（1）如图1，点C在⊙O上，OD平分∠BOC交AC的延长线于点D．求证：∠D＝45°．

（2）如图2，点F在⊙O上，点E在FO的延长线上，∠AEB＝90°，若EF＝6，求△ABE的周长．

（3）如图3，点G在BO上，OG＝3，BG＝8，P在AO的延长线上，直线PG交AB于K．则△APK的面积的最小值为48．【解答】解：（1）∵OD平分∠BOC，

∴∠BOD＝∠COD，

设∠BOD＝∠COD＝α，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB＝90°，

∴∠AOC＝90°﹣2α，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，

∵∠ACO＝∠D+∠COD，

∴∠D＝∠ACO﹣∠COD＝（45°+α）﹣α＝45°；

（2）如下图，过点O作OK⊥OE，交EB的延长线于点K，

∴∠KOE＝90°，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB＝90°，

∴∠KOE﹣∠BOE＝∠AOB﹣∠BOE，

即∠AOE＝∠BOK，

在四边形OAEB中，∠AOB＝90°，∠AEB＝90°，

∴∠OAE+∠OBE＝180°，

又∵∠OBE+∠OBK＝180°，

∴∠OAE＝∠OBK，

在△OAE和△OBK中，

，

∴△OAE≌△OBK（ASA），

∴AE＝BK，OE＝OK，

∴EB+AE＝EB+BK＝EK＝OE，

设⊙O的半径为r，

∵EF＝6，

∴EB+AE＝OE＝（6﹣r），

在Rt△OAB中，OA＝OB，AB＝OA＝r，

∴△ABE的周长＝AE+EB+AB＝（6﹣r）+r＝6；（3）以O为原点建立平面直角坐标系，如图，

∵OG＝3，BG＝8，

设P（0，m），直线PG过点G（3，0），P（0，m），∴直线PG解析式为：y＝﹣x+m，∵直线AB过点A（0，﹣11），B（11，0），

∴直线AB解析式为：y＝x﹣11，

∵直线AB与PG相交于点K，

∴﹣x+m＝x﹣11，

∴x＝，

即K点的横坐标x K＝，

∴S△APK＝•AP•x K

＝（m+11）•

＝•

＝•

＝[（m+3）++16]，

∵（m+3）+＝（﹣）2+16≥16，

∴S△APK≥×（16+16）＝48，

即面积最小值为48．

故答案为48．

24．（12分）已知抛物线l1：y＝ax2﹣2ax+5a．

（1）将抛物线向左移动一个单位，所得抛物线l2的解析式为y＝ax2+4a．

（2）已知，a＜0，D（3，8a），l1交y轴于M，N点在直线MD上方的抛物线l1上．若使得S△DMN＝3的N点只有一个，求a的值．

（3）在（1）所得的抛物线中，令，过A（0，2）作直线与此抛物线交于B、C两点，作BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．求证：BE+CF＝BC．【解答】解：（1）由平移的性质，得抛物线l2的解析式为y＝ax2﹣2ax+5a＝a（x+1）2﹣2a（x+1）+5a＝ax2+4a，

故答案为y＝ax2+4a；

（2）如图1，抛物线的表达式知，点M（0，5a），

由点M、D的坐标知，直线MD的表达式为y＝ax+5a，

由点D、M的坐标知，MD＝＝3，

在直线MD的上方作直线m∥MD交y轴于点H，过点M作MQ⊥m于点Q，延长MQ

交x轴于点R，

则S△DMN＝3＝×MD×MQ＝×3×MQ＝3，解得MQ＝，

∵m∥MD，

∴直线MD的表达式和直线m表达式中的k值相同，则tan∠HMR＝﹣a，

令OM＝1，OR＝﹣a，则MR＝＝，则cos∠HMR＝，

在Rt△HMQ中，cos∠HMQ＝＝，解得HM＝2，

故点H（0，5a+2），

设直线m的表达式为y＝ax+b，将点H的坐标代入上式并解得b＝5a+2，

故直线m的表达式为y＝ax+5a+2，

联立y＝ax2﹣2ax+5a与直线m的表达式并整理得：ax2﹣3ax﹣2＝0，

∵符合条件的N点只有一个，故△＝（﹣3a）2+8a＝0，解得a＝0（舍去）或﹣，故a＝﹣；

（3）当a＝时，y＝ax2+4a＝x2+1①，

设过点A（0，2）的直线表达式为y＝kx+2②，

联立①②并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，

则x B+x C＝4k，x B x C＝﹣4，

过点B作BH⊥CF于点H，直线BC的表达式斜率为k，

则tan∠CBH＝k，

∴cos∠CBH＝，

则|x B﹣x C|＝＝＝4＝BH，则BC＝＝＝4k2+4，

而y B+y C＝y＝kx B+2+kx C+2＝k（x B+x C）+4＝4k2+4＝BC，即BE+CF＝BC．