数学教学中渗透研究性学习的主要途径

温州市四中     李星明（325000）

研究性学习是指学生在教师的指导下,从学生的学习生活和社会生活中选择并确定研究专题,用类似于科学研究的方式主动获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。它的核心是要改变学生的传统学习方式,强调一种主动探究式的学习,培养学生的创新精神和实践能力。人教版新教材根据教学内容每学期都安排了几个研究性学习课题，为学生进行研究性学习提供了一些素材。但学生的创新精神和创造能力的培养仅靠一学期几个研究性课题往往难以奏效，在当前数学学科课堂教学占优势的情况下，笔者认为，为了保证现行课堂教学系统掌握学科知识的同时，使学生获得有利于提高创新能力的学习方式，就必须将研究性学习渗透于数学教学的全过程，把握研究性学习的内涵，拓宽研究性学习的途径。本文对数学课堂教学中渗透研究性学习的主要途径作初步探讨。

一、以课本为依托，发现研究性学习课题

课本中的例习题，不但是传授知识、巩固知识，提高思维水平，培养能力的载体，同时也是进行研究性学习的重要材料。仅从表面上看，它们似乎较简单，而实际上它们都具有丰富的内涵，对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申就能发现一些较好的研究课题。

案例1   的推广与引申

人教版（试验修订本.必修）高中数学第一册（下）的“两角和与差的三角函数”这一节，由两角和的余弦公式从一般到特殊得到了及等一系列公式。从“特殊到一般”、“一般到特殊”这个思想方法在数学中具有举足轻重的作用，为此，我在教完本节以后，选择了教材40页练习4（1）作为研究课题，强化这个思想的应用。

（1）改变两个角是否仍可使右边的值为？即

（2）能否得到一般性的结论？

 若则

（3）能否改变与常数仍使右边为常数？即

常数

（4）能否进一步推广？

（5）中若，结论是什么？

（教材40页练习4（2）

（６）若结论是什么？

（教材42页15题）

（７）令结论是什么？

（教材42页17题）

（８）若为三角形三内角，有什么结论？

（９）你还能得到一些什么结论？

通过对这个课题的研究，不但沟通了课本中习题之间的内在联系，建立了知识网络，而且从中学习了数学研究的一些思想方法。这样的课题，在数列、不等式、解析几何等章节中都不难找到，关键是教师要做有心人。为了指导学生进行研究性学习，教师首先必须做一个研究型的教师。

二、以“探究式”教学为指导，优化教学过程

“探究式”教学是指教师根据教学内容创设问题情景，提出问题，从而引导学生探索研究的一种课堂教学模式。经过多年的摸索和实践，反复修改和完善，“探究式”教学模式的一般教学流程图如下：教师创设问题情景（提供原始问题）学生个人提出问题讨论、交流、修改提出的问题个人探究问题集体交流、讨论问题的解决，形成结论延伸问题。

“探究式”教学强调暴露思维过程。概念的形成要求构建情景，提供素材，观察实验；解题教学要求内化回味，深化探索；定理（公式）的教学要求揭示规律的发现，经历一番数学家发现定理（公式）的浓缩过程。在教学过程中，始终重视学生的思维方式、个人体验以及信息资料的搜索、整理，这对培养学生的创新能力是有效的。

案例2  “圆的一般方程”习题课

1、教师创设问题情景，提出原始问题

问题一  已知一条曲线是与两定点（0，0），（3，0）的距离这比为的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线。（高中数学第二册（上）78页例5）

2、学生提出问题

问题二  将定点改为（1，1），（-1，2）曲线的轨迹方程是什么？

问题三  将定点改为（1，1），（-1，2）比值改为，曲线的轨迹方程是什么？

3、个人探究问题

利用多媒体，启动《几何画板》探索轨迹的曲线。

4、集体交流、讨论问题的解决

问题二得到的曲线方程为，问题三得到的曲线方程为

5、延伸问题

问题四  在平面内一个动点到两个定点的距离的比为常数的轨迹是什么？

问题五  有一种商品O，A两地都有出售，两地的售价相同，但某地区的居民从O地往回运时，每单位距离运费是从A地往回运的2倍。已知O，A两地的距离为3公里，顾客购买这种商品选择从O地或A地购买的标准是包括运费在内的总费用比较便宜，求两地售货区域分界线的轨迹图形，及居民选择在O地或A地购货的区域。

三、以开放题为载体，开发研究潜能

随着信息社会中人们观念的开放，数学开放题教学日益被广大数学教育工作者所接受。开放性问题一般具有多种答案，开放性问题的求解，研究味较浓，富有探索性，常常要通过观察、试一试、凑一凑、猜一猜、特殊化、类比等途径去寻找答案。要求学生全面观察，广泛联想，多方向、多层次去思考问题，有助于激励每一个学生参与到问题解决的活动中去，因此，开放题教学是发展学生高层次思维品质的有效材料。运用开放题进行开放式教学，使学生学会与他人合作，对他人工作的认同，对他人成果的吸收，形成正确的答案，不只是一个现代理念。

案例3   已知

，由此你能得到一些什么结论？（人教版高中第一册（下）教材42页16题改编）

此题的幻灯片一打出，许多同学跃跃欲试。教师将全班分成4人一组，先小组讨论、探索、研究，然后每小组筛选出有代表性的结论在班里交流介绍。个人及小组活动后，学生陆续发言，得出了如下一些结论。

（1）+（2）得：

（1）—（2）得：

 得：

 得：

 得：

 得：

 得：

有些小组得到的结论虽然相同，但采用的方法却不一样，有些方法和结论教师也难以预料，真可谓五彩缤纷。极大地唤起了学生数学的兴趣，点燃了学生智慧的火花，使学生的探究能力和创新能力得到了发展。

四、以数学建模为突破口，探索数学的应用

 数学中的许多知识都源于社会生活，又为社会生活服务，如金融、彩票、基金、股票等等，活跃的资本市场哪一样与数学无关？因此数学研究性学习应该充分利用数学知识与日常生活所建立的内在联系，在学中用，在用中学，学会用数学知识解释日常生活中的数学现象，解决日常生活中的有关问题。

应用数学建模解决实际问题，就是从实际出发，通过认真审题，去粗取精，弄清题意，联想有关数学知识，建立相关数学模型，把实际问题转化为数学问题，通过对数学问题的求解，然后回到实际问题中去。要让学生经历从实际问题到数学模型的全过程，掌握数学语言的形成过程及建模程序，提高数学应用能力。

案例4  易拉罐用料最省问题的探讨

易拉罐是学生常见的物品，易拉罐的设计是否用料最省呢？学生可以观察探讨，必要时可到工厂作实地考察，请教工程师。

第一次数学建模：设易拉罐的体积V一定，高为h，底面直径为d，高与直径的比是多少时用料最省？

因为，用料

S=

当且仅当即，这时h=d。所以当易拉罐为等边圆柱时用料最省。

这是理论上的易拉罐作料最省，而商场里的易拉罐的底面直径和高明显不相等，难道厂家不愿意省料？不少同学通过观察发现易拉罐两底用料的厚度比罐身要厚（约为2倍），厂家设计时是否考虑了厚度因素呢？

第二次数学建模：设易拉罐的体积V为定量，易拉罐高为h，底面直径为d，罐身厚为a，底厚为2a，高与直径的比是多少时用料最省？

由于V=，用料S==

，当且仅当即时等号成立，这时

h=2d。考虑厚度因素，得到的结论与实际相吻合，厂家的作法是省料的。

通过对易拉罐用料最省问题的探讨，使学生懂得了数学就在我们身边，用数学的眼光观察问题，学会用数学知识解释日常生活中的数学现象，解决生产生活中的实际问题既是我们学习数学的出发点也是学习数学的归宿。

当然，进行研究性学习也有一个深度和广度的问题，这就要求我们根据量力性原则针对学生实际而选题，任何离开学生的实际情况而盲目地进行研究性学习都是不可取的。

参考文献

1、唐瑞芬  忻重义    探究性案例设计   华东师大出版社

2、李星明  课例点评：“圆的一般方程习题课”  中学数学教学参考   1998，10

3、李星明  设计应用题问题的主要途径和原则  数学通报    1996，12